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(共89张PPT)
第一部分 专项突破
难点·压轴专项
专项九 二次函数的综合探究
二次函数是初中数学的核心内容之一，它是学生升入高中学习函数的基础.在
学考中，往往将二次函数的综合探究题设为主压轴题或次压轴题.其呈现形式灵活，
在以二次函数为主体的条件下与其他方面的知识结合考查极为普遍，同时伴有对各
种数学思想方法的考查，渗透抽象能力、推理能力、模型观念、运算能力、几何直
观等核心素养.考查的类型主要有：①与二次函数性质有关的探究问题；②与动点
有关的二次函数问题；③与图形变换有关的二次函数问题；④与规律有关的二次函
数问题；⑤与新定义有关的二次函数问题;⑥几何背景下的二次函数图象与性质探
究问题.
类型1 与二次函数性质有关的探究问题
【解题策略】在二次函数的性质探究问题中，一般用待定系数法求解二次函数
的解析式.当问题中涉及等腰三角形时，一般需要分类讨论，根据二次函数的性质
解决相关问题.
. .
. .
例1 [2024·湖北模拟] 在平面直角坐标系中，已知抛物线
和直线，点， 均在直线
上．
（1） 若抛物线与直线有交点，求出 的取值范围；
（2） 当，二次函数的自变量满足 时，
函数的最大值为，求 的值；
（3） 若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出 的取值范围．
【自主解答】
（1） 若抛物线与直线有交点，求出 的取值范围；
解：将点，代入，得
．
联立与，则有 .
抛物线与直线有交点，，且 .
（2） 当，二次函数的自变量满足 时，
函数的最大值为，求 的值；
解：根据题意可得 .
， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ．
当时，有最大值， 当时，有 ，
或 .
①在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时， 有最大值
， ；
②在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值 ．
综上所述，或 .
（3） 若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出 的取值范围．
【自主解答】
解：①，时，，即 ；
②，时，，即 .
直线的解析式为 ，
将抛物线与直线联立得 ，
，
， ．
的取值范围为或 ．
类型2 与动点有关的二次函数问题
【解题策略】与动点有关的二次函数问题，主要表现在：①某一动点在抛物线
上运动所产生的线段、三角形或其他图形运动变化的一系列相关的数学问题；②抛
物线自身（顶点）沿着某条直线或曲线运动，从而产生图形位置、线段长短、图形
面积等变化.对于第①种情况，需要特别关注动点的坐标始终满足抛物线的解析式，
据此建立变量关系；对于第②种情况，一般把握抛物线顶点与运动状态、抛物线开
口方向的变化特征.两种情况都要准确把握运动变化过程中的等量关系及变量关系.
. .
. .
例2 [2024·南昌模拟] 如图，已知抛物线
与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点 .
（1） 判断 的形状，并说明理由．
（2） 设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点
作轴于点，交于点，设四边形的面积为 ，
（3） 在（2）的条件下，点 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点
，使得以,,,为顶点的四边形是菱形 若存在，写出点 的坐标，并选择一个
点写出过程；若不存在，请说明理由．
求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和 的面积.
【自主解答】
（1） 判断 的形状，并说明理由．
解： 是直角三角形.理由如下：
与轴交于,两点（点在点 的
左侧），与轴交于点 ，
令，得；令，得或 .
，， .
，，，， .
，即， 是直角三角形，且
.
（2） 设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于点 ，交
于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使 最大时
点的坐标和 的面积.
解：，， 直线 的解析式为
.
， ，
.
.
，
，
.
当时， 的最大值为8，此时
， .
.
（3） 在（2）的条件下，点 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点
，使得以,,,为顶点的四边形是菱形 若存在，写出点 的坐标，并选择一个
点写出过程；若不存在，请说明理由．
【自主解答】
解：点的坐标为或或，
或或， ．
理由如下：
， 抛物线的对称轴为直线 ，
则可设 .
， ，
.
由菱形的对称性可知，若以,,,为顶点的四边形是菱形，则 是等腰三角
形，需要分以下三种情况：
①当时， ，
解得 ，
或 ；
②当时， ，
解得 ，
，或 ；
③当时，，解得 ，
， ．
综上，点的坐标为或或，或或， ．
类型3 与图形变换有关的二次函数问题
【解题策略】解决此类问题，要先弄清变换前后抛物线上的关键点的坐标发生
了什么变化，再按照找点—求点—代点的步骤进行分析思考，把这些点求出或根据抛
物线的解析式表示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据图形的性质求解.
. .
. .
例3 [2024·南昌模拟] 已知抛物线 的解析式：
.
（1） 若抛物线 经过原点．
① ________；
② 将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
得到抛物线，则抛物线 的解析式为________.
（2） 在（1）的条件下，将抛物线沿直线 平
移得到抛物线，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于， 两点，若
，求抛物线 的解析式.
（3） 设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接， ，在
围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接
写出 的取值范围．
【自主解答】
（1） 若抛物线 经过原点．
① ____；
② 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线
的解析式为_________________.
[解析] ， 抛物线的解析式为 .
将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
平移后的函数解析式为 .
故答案为 .
（2） 在（1）的条件下，将抛物线沿直线
平移得到抛物线，抛物线与轴交于， 两点，抛物
线与轴交于，两点，若，求抛物线 的
解析式.
解：当时，抛物线 ，顶点坐标
为 ，
平移前后抛物线的顶点都在直线 上.
设抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线的解析式为 .
令，可得，， .
抛物线与轴交于, 两点，
令，得 ，
. .
，，解得 .
抛物线的解析式为 .
（3） 设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，
两点，连接，，在 围成的区域内
（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，
直接写出 的取值范围．
【自主解答】
解： ，
.
在中必有整数点，.当抛物线经过点，时， ;
当抛物线经过点，时， .
当 时，横、纵坐标都为整数的点恰好为4个．
类型4 与规律有关的二次函数问题
【解题策略】解决二次函数中的规律性探究问题，应遵循从特殊到一般的思维
方法，也就是从简单的情况出发，探究抛物线上的关键点所满足的规律，然后归纳
一般情况.
例4 我们定义：抛物线为正整数 为特征
抛物线族.如:， ，
都是特征抛物线.
. .
. .
（1） 抛物线与轴的交点坐标为 ，
，与轴的交点坐标为；抛物线
与轴的交点坐标为，，与 轴的交点坐标为
；抛物线与 轴的交点坐标为
，
________，0，与 轴的交点坐标为（0，________）.
【特例感知】
【抽象感悟】
特征抛物线族为正整数中的每一条抛物线与轴交点的横坐标
的绝对值均等于这条抛物线与轴交点的纵坐标的绝对值.
（2） 已知抛物线 是特征抛物线，求该特征抛物线的
解析式.
【拓展应用】
（3） 直线与特征抛物线族为正整数 在第一象限
（或轴正半轴）的交点分别为，，， ，，在第三象限（或 轴负半轴）
的交点分别为，，， ， .
① 当时，________（用含 的代数式表示）；
② 求证： .
【自主解答】
（1） 抛物线与轴的交点坐标为 ，
，与轴的交点坐标为；抛物线
与轴的交点坐标为，，与 轴的交点坐标为
；抛物线与 轴的交点坐标为
，___，0，与 轴的交点坐标为（0，____）.
3
【抽象感悟】
特征抛物线族为正整数中的每一条
抛物线与轴交点的横坐标的绝对值均等于这条抛物线与轴交点的纵坐标的绝对值.
（2） 已知抛物线 是特征抛物线，求该特征抛物线的
解析式.
解：依题意有 .
，
.
解得， （舍去）.
.
【拓展应用】
（3） 直线与特征抛物线族为正整数 在第一象限
（或轴正半轴）的交点分别为，，， ，，在第三象限（或 轴负半轴）
的交点分别为，，， ， .
① 当时，____（用含 的代数式表示）；
② 求证： .
【自主解答】
证明：当 时，
.
当时，联立
整理，得 .
又， .
.
，
.
.
.
同理可得 .
.
类型5 与新定义有关的二次函数问题
【解题策略】解答新定义类二次函数问题，首先要理解新定义的含义，做到
“化生为熟”，现学现用；其次要结合问题中的其他数学条件，挖掘新定义下那些隐
藏的数量关系或几何图形的性质，寻找解题方法.
例5 [2024· 永修县一模] 定义概念：在平面直角坐标系
中，我们定义直线 为抛物线
的“衍生直线”．如图1，抛物线
与其“衍生直线”交于， 两点
（点在轴上，点在点的左侧），与 轴负半轴交
于点 ．
. .
. .
（1） 求抛物线和“衍生直线”的解析式及点 的坐标．
（2） 如图2，抛物线的“衍生直线”与轴交于点 ，依次作正方形
，正方形， ，正方形为正整数，使得点 ，
，， ，在“衍生直线”上，点，，， ，在 轴负半轴上．
① 直接写出下列各点的坐标：________，________，________， ________．
② 试判断点，， ， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解
析式；若不是，请说明理由．
【自主解答】
（1） 求抛物线和“衍生直线”的解析式及点 的坐
标．
解： 抛物线 的“衍生直线”为
， .
将点，点的坐标代入抛物线 ，
解得
抛物线的解析式为 .
当时，解得 或
， .
（2） 如图2，抛物线的“衍生直线”与轴交于点 ，依次作正方形
，正方形， ，正方形为正整数，使得点 ，
，， ，在“衍生直线”上，点，，， ，在 轴负半轴上．
① 直接写出下列各点的坐标：________，________，________，
_______________．
.
[解析] 当时，， .
四边形是正方形，， .
四边形是正方形，， .
四边形是正方形，， .
……
， .
故答案为：，，， .
② 试判断点，， ， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解
析式；若不是，请说明理由．
【自主解答】
[答案] 点，， ， 在同一条直线上.理由如下：
设直线的解析式为，解得
直线的解析式为 .
当时， ，
点在直线 上.
点，， ，在直线 上．
类型6 几何背景下的二次函数图象与性质探究问题
【解题策略】认真观察几何图形，弄清楚动点从何处开始出发、运动到何处停
止，整个运动过程分为几段，何处（时刻）是特殊点（时刻）；写出动点在不同路
段的函数表达式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出特殊点处的函数值和自
变量的值；最后结合题目要求探究二次函数（或新函数）的相关性质.
. .
. .
例6 综合与实践
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在正方形中，，动点 以每秒1个
单位的速度从点出发匀速运动，到达点时停止，作的垂线交于点 ，连接
，设点的运动时间为，的面积为，探究与 的关系．
【初步感知】
（1） 如图1，当点由点向点运动时，①当
时，________， ________；
②经探究发现是关于的二次函数，请写出 关
于 的函数解析式:________；
自变量的取值范围为________.
（2） 根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图2的坐标系中绘制出函数的图象.
0 1 2 3 4
S 8 ____ ____ ____ 8
【延伸探究】
（3）① 当________时， ；
② 当的面积为的一半时，求 的值．
【自主解答】
（1） 如图1，当点由点向点运动时，①当
时，___， ___；
②经探究发现是关于的二次函数，请写出 关
于 的函数解析式:_________________；
自变量的取值范围为__________.
（2） 根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图2的坐标系中绘制出函数的图象.
0 1 2 3 4
S 8 ____ ___ ____ 8
6.5
6
6.5
【延伸探究】
（3）① 当________时， ；
② 当的面积为的一半时，求 的值．
【自主解答】
解：当点由点运动到点时， ，
.
的面积为的一半， ，
解得 .
， ．
类型1 与二次函数性质有关的探究问题
1.[2024·上饶月考] 如图1，在平面直角坐标系 中，
直线分别与轴、轴相交于， 两点，
抛物线经过，两点，与 轴的另一
交点为 ．
（1） 若抛物线的对称轴为直线，求 的值.
（2） 如图2，点在线段上，且.点 在第
一象限内，且于点，轴于点，设四边形的面积为，点
的横坐标为，请求出关于 的解析式.
（3） 在（2）的条件下，若四边形的面积为29，且线段 与抛物线相交，
求 的取值范围．
（1） 若抛物线的对称轴为直线，求 的值.
解： 直线交轴于点，交轴于点 ，
， .
，抛物线的对称轴为直线 ，
，解得 ．
（2） 如图2，点在线段上，且.点在第一象限内，且 于点
，轴于点，设四边形的面积为，点的横坐标为 ，请求出
关于 的解析式.
解：设直线 的解析式为
， ，
，，解得 ．
直线的解析式为 ，
．
由于点，可得直线 的解析式为
．
点的横坐标为，轴于点， ．
，
化简得 ．
（3） 在（2）的条件下，若四边形的面积为29，且线段 与抛物线相交，
求 的取值范围．
解：令，解得，
（舍去）．
将代入，可得 ，
， ．
点在直线和抛物线上， .
当点在抛物线上时，将，代入 ，
得解得
当点在抛物线上时，点与点重合，得， .
的取值范围为 ．
类型2 与动点有关的二次函数问题
2.[2024·萍乡一模] 如图，已知抛物线与 轴交
于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点 .已知
，，连接， .
（1） 求抛物线的函数解析式.
（2） 在抛物线的对称轴上找一点，使得以，， 为顶点的
三角形与相似，求出点 的坐标.
（3） 若点是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接， .设
的面积为，试求 的最大值．
（1） 求抛物线的函数解析式.
解： 抛物线经过和 两点，
解得 抛物线的解析式为 .
（2） 在抛物线的对称轴上找一点，使得以，， 为顶点的
三角形与相似，求出点 的坐标.
解： ，
点的坐标是，， .
抛物线的对称轴是，， 点 的横坐标是1.
以，，为顶点的三角形与 相似，
，
或 .
或或 .
点的坐标为或或或 .
（3） 若点是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接， .设
的面积为，试求 的最大值．
解：如图，过点作交于点，交轴于点 .
设点的坐标为 .
点 位于第一象限，
.
， ，
直线的解析式为，点的坐标为 .
.
的最大值是 ．
类型3 与图形变换有关的二次函数问题
3.[2024·江西模拟] 已知二次函数
的图象经过，两定点（点在点的左侧），顶点为 ．
（1） 求定点， 的坐标.
（2） 把二次函数的图象在直线 下方的
部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于直线
（3） 在（2）中，已知 的面积为8．
① 当时，求图象中 的取值范围；
② 若直线与图象从左到右依次交于，，，四点，若 ，
求 的值．
上方的部分的组合图象记作图象 ，求向上翻折部分的函数解析式.
（1） 求定点， 的坐标.
解：原函数可化为 ，
可得该函数图象恒过两点， ，
故定点为， ．
（2） 把二次函数的图象在直线 下方的部分向上翻折，将
向上翻折得到的部分与原抛物线位于直线上方的部分的组合图象记作图象 ，
求向上翻折部分的函数解析式.
解： 直线就是轴， 折叠即为沿 轴向上折叠.
解析式为 .
（3） 在（2）中，已知 的面积为8．
① 当时，求图象中 的取值范围；
[答案] ， ，
对称轴为直线，代入得 .
的面积为8， ．
， .
图象向上翻折部分的函数解析式为 ．
，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当时，；当时， ．
在图象中，的取值范围为 ．
② 若直线与图象从左到右依次交于，，，四点，若 ，
求 的值．
[答案] 若直线与图象从左到右依次交于，，， 四点，
的图象与直线交于点，，可得 .
.
的图象与直线交于点， ，
，则 ．
，
，即 ，
解得 ．
类型4 与规律有关的二次函数问题
4.[2024·修水县模拟] 综合与实践
【特例感知】
（1） 如图，对于抛物线， ，
， ，下列结论中正确的是
_________．（填序号）
①抛物线，，，的对称轴都是直线 ；
②抛物线，，，由抛物线 依次向上平移2个单位长度得到；
③抛物线，，，与直线 的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离
相等．
【知识应用】
如图，“族抛物线”的顶点依次为，，，， ，
．
（2） 试求线段的长．（用含 的代数式表示）
（3） “族抛物线”，，， ，上分别有点， ，
， ，，它们的横坐标分别是2，3，4， ， ．试判
断点，，， ， 是否在同一条直线上，如果在，求出
此直线的解析式；如果不在，请说明理由．
【概念形成】
把满足的抛物线称为“族抛物线”．
（1） 如图，对于抛物线 ，
， ，
，下列结论中正确的是______．
（填序号）
①抛物线，，，的对称轴都是直线 ；
②抛物线，，，由抛物线 依次向上平移2个单
位长度得到；
③抛物线，，，与直线 的交点中，对称轴两侧相
邻两点之间的距离相等．
①③
【概念形成】
把满足的抛物线称为“族抛物
线”．
【知识应用】
如图，“族抛物线”的顶点依次为，，，， ，
．
（2） 试求线段的长．（用含 的代数式表示）
解： ，
“族抛物线”的顶点坐标为 ，
则 .
.
（3） “族抛物线”，，， ，上分别有点， ，
， ，，它们的横坐标分别是2，3，4， ， ．试判
断点，，， ， 是否在同一条直线上，如果在，求出
此直线的解析式；如果不在，请说明理由．
解：把代入 ,
得，则 .
同理可得，，, .
设直线的解析式为，把， 代入得
解得
直线的解析式为 .
把代入，得， 点在直线 上.
点， ，
， ， 在同一条直线上．
类型5 与新定义有关的二次函数问题
5.[2024· 临川区一模] 定义：若直线 与开口向
下的抛物线有两个交点，则把这两个交点之间的距离
叫作这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线
与直线相交于点， ．
（1） 抛物线的“反碟长” ________；
（2） 抛物线随其顶点沿直线 向上平移，得到
抛物线 ．
① 当抛物线的顶点平移到点时，抛物线 的
解析式是________，抛物线 的“反碟长”是________；
② 若抛物线 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵
坐标可能是________（填写所有正确的选项）；
A.15 B.16 C.24 D.25
③ 当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点， 构成一个等边三
角形时（点在点左边），求点 的坐标．
（1） 抛物线的“反碟长” ___；
2
（2） 抛物线随其顶点沿直线 向上平移，得到
抛物线 ．
① 当抛物线的顶点平移到点时，抛物线 的解析式是__________________，
抛物线 的“反碟长”是___；
4
② 若抛物线 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是____（填写所有
正确的选项）；
A.15 B.16 C.24 D.25
[解析] 抛物线的顶点在直线 上，
顶点的横坐标是纵坐标的2倍.
当顶点的纵坐标为15时，由得或 ，
抛物线 的“反碟长”是8，为偶数，故A符合题意；
当顶点的纵坐标为16时，由得或，
抛物线的“反碟长”是 ，不是偶数，故B不符合题意；
当顶点的纵坐标为24时，由得或 ，
抛物线 的“反碟长”是10，是偶数，故C符合题意；
当顶点的纵坐标为25时，由得 或
，
抛物线的“反碟长”是，不是偶数，故D不符合题意.故答案为： .
解：AC
③ 当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点， 构成一个等边三
角形时（点在点左边），求点 的坐标．
解：如图，过点作于点，设 ，
则抛物线的解析式为 .
在中，令 得
，
解得或 .
， .
是等边三角形，
.
，
解得或（舍去）， ．
类型6 几何背景下的二次函数图象与性质探究问题
6.【问题提出】
如图，四边形是矩形，，
为射线上的动点，连接，过点 作
（点在 的左侧），且
，过点作交射线 于
点，连接.设的长为 ,四边形
的面积为,均可等于0 .
【初步感知】
（1） 如图1，当点由点运动到点时，经探究，发现是关于 的二次函数，图
象如图2所示，直线为其对称轴.请根据图象信息直接写出关于 的函数解析
式及线段 的长.
（2） 当点在线段的延长线上运动时，求关于 的函数解析式.
【延伸探究】
（3） 若存在三个不同位置的点（从右向左依次用，， 表示），对应的四
边形 的面积均相等.
① 试确定， 的数量关系，并说明理由；
② 当时，求四边形 的面积.
（1） 如图1，当点由点运动到点时，经探究，发现是关于 的二次函数，图
象如图2所示，直线为其对称轴.请根据图象信息直接写出关于 的函数解析
式及线段 的长.
解：， .
（2） 当点在线段的延长线上运动时，求关于 的函数解析式.
解：当点在 的延长线上时，如答图1.
， .
又 ，
.
又， .
.又 ，
.
.又， .
四边形 为平行四边形.
， .
.
【延伸探究】
（3） 若存在三个不同位置的点（从右向左依次用，， 表示），对应的四
边形 的面积均相等.
① 试确定， 的数量关系，并说明理由；
[答案] 画出关于的图象，如答图2.∴存在三个不同位置的点时， .
点和在抛物线上. .
② 当时，求四边形 的面积.
[答案] ， .
令,则有，整理得 ，
解得或 （舍去）.
，即四边形的面积为 .

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