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5.3 分式的乘除 同步分层作业
1．计算的结果是（　　）
A． B． C．xy D．
2．化简的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
5．的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算不正确的题是（　　）
A． B．
C． D．
7．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（）÷，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（　　）
A． B． C． D．
8．表格第一列是王江化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为（　　）
原式＝ ①x+2
＝ ②x﹣2
＝ ③（x﹣2）2
＝﹣ ④（x+2）2
A．④①② B．③①② C．③②① D．④②①
9．计算：＝　 ．
10．计算：＝ 　　 ．
11．的结果为　　 ．
12．计算：＝ 　　 ．
13．计算：＝　　 ．
14．计算：＝ 　 　 ．
15．化简的结果是　　 ．
16．计算：
（1）；（2）；
（3）．
17．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：÷（x﹣1）
19．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　）
A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误
20．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
21．若分式可进行约分化简，则整式P不可以是（　　）
A．x﹣2 B．x（x﹣2） C．x D．x2﹣4
22．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1
23．化简（a+b）÷（a﹣b） ＝　　 ．
24．甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？
25．计算：
（1）；
（2）．
26．关于式子，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝1时，其值为2 B．当x＝﹣1时，其值为0
C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数 D．当x＜﹣1时，其值为正数
27．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1．
求的值．
28．计算：．
29．一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则：
（1）最小的“友好数”为　 　 最大的“友好数”为　 　 ；
（2）将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到m′，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到m″，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值．
答案与解析
1．计算的结果是（　　）
A． B． C．xy D．
【点拨】根据分式的乘法计算即可．
【解析】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．化简的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
【点拨】先把除法运算变为乘法运算，然后约分计算即可．
【解析】解：
＝
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键，注意结果应是最简的结果．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接约分即可．
【解析】解：＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法：熟练掌握分式的乘法法则是解决问题的关键．
4．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
【解析】解：
＝
＝，
故选：C．
【点睛】此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进行求解．
5．的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】原式变形后，约分即可得到结果．
【解析】解：原式＝
＝．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列计算不正确的题是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】先把各个选项中的分子和分母分解因式，然后除法化成乘法，进行约分，然后判断即可．
【解析】解：A．∵
＝
＝，
∴此选项的计算正确，
故此选项不符合题意；
B．∵
＝
＝，
∴此选项的计算正确，
故此选项不符合题意；
C．∵
＝
＝x，
∴此选项的计算正确，
故此选项不符合题意；
D．∵
＝
＝，
∴此选项的计算不正确，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法．
7．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（）÷，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据除式＝被除式÷商式，列出算式，进行计算即可．
【解析】解：由题意得：
＝
＝，
∴被污染的代数式为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除，解题关键是熟练掌握分式的乘除法则和几种常见的分解因式的方法．
8．表格第一列是王江化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为（　　）
原式＝ ①x+2
＝ ②x﹣2
＝ ③（x﹣2）2
＝﹣ ④（x+2）2
A．④①② B．③①② C．③②① D．④②①
【点拨】将原式利用分式乘法法则计算后即可求得答案．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝﹣，
那么在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为③②①，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9．计算：＝　﹣6a　 ．
【点拨】根据分式的运算法则计算即可．
【解析】解：根据分式的运算法则可得：，
故答案为：﹣6a．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键．
10．计算：＝ 　　 ．
【点拨】先化简分式，然后把除法转化成乘法运算，然后约分即可．
【解析】解：
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟练掌握该知识点是关键．
11．的结果为　　 ．
【点拨】先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答．
【解析】解：原式＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．
12．计算：＝ 　　 ．
【点拨】利用分式的乘除法则计算即可．
【解析】解：原式＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．计算：＝　　 ．
【点拨】根据分式的乘法法则计算即可．
【解析】解： ＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
14．计算：＝ 　x﹣1　 ．
【点拨】先把能够分解因式的分子分解因式，然后约分即可．
【解析】解：原式＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的约分．
15．化简的结果是　1　 ．
【点拨】先将第二项的分母进行因式分解，约分后即可得出答案．
【解析】解：原式＝
＝
＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
16．计算：
（1）；（2）；
（3）．
【点拨】（1）分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可；
（2）先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案．
（3）先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可．
【解析】解：（1），
（2）原式＝
＝；
（3）原式＝
＝．
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则．
17．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【点拨】（1）先算乘方，再把除法变乘法，最后用乘法进行运算即可；
（2）先把除法变乘法，第一个式子和第二个式子先因式分解，再约分即可；
（3）先把除法变乘法，第一个式子和第三个式子先因式分解，再约分即可．
（4）先把除法变乘法，第一个式子和第二个式子先因式分解，再约分即可．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝；
（3）
＝
＝；
（4）
＝
＝a+1．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
18．先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：÷（x﹣1）
【点拨】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式＝××
＝，
当x＝0时，
原式＝．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除，正确分解因式是解题关键．
19．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　）
A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误
【点拨】乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误．
【解析】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，
而分母和分式本身的符号并没有发生变化，
所以乙有错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的乘除法法则，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键．
20．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题．
【解析】解：先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分可得：
原式＝（﹣）＝﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
21．若分式可进行约分化简，则整式P不可以是（　　）
A．x﹣2 B．x（x﹣2） C．x D．x2﹣4
【点拨】分别令P＝x﹣2、x（x﹣2）、x或x2﹣4，代入原分式并将分子、分母分解因式，不能约分化简的即为正确选项．
【解析】解：A、当P＝x﹣2时，
＝
＝，不符合题意；
B、当P＝x（x﹣2）时，
，
＝
＝，选项不符合题意；
C、当P＝x时，
＝不能约分化简，选项符合题意；
D、当P＝x2﹣4时，
＝
＝，选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除法，单项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键．
22．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1
【点拨】设“口”中的式子为M，把除法运算化乘法运算，约分得到原式＝，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案．
【解析】解：设“口”中的式子为M，
原式＝
＝，
所以当M＝x2﹣x＝x（x﹣1）时，
原式＝＝1，结果为整式．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，因式分解，正确因式分解是解题的关键．
23．化简（a+b）÷（a﹣b） ＝　　 ．
【点拨】先变除为乘，再进行计算．
【解析】解：原式＝（a+b）××
＝．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
24．甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？
【点拨】根据题意，分别表示出甲工程队修900m所用时间和乙工程队修600m所用时间，再作两时间的比值即可求解．
【解析】解：甲工程队修900m所用时间为，乙工程队修600m所用时间为，
由题意可得：
÷
＝
＝，
∴甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍．
【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的乘除法运算，读懂题目，根据题意能列出分式是解题的关键．
25．计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
【解析】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
26．关于式子，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝1时，其值为2 B．当x＝﹣1时，其值为0
C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数 D．当x＜﹣1时，其值为正数
【点拨】根据分式的乘除法的法则对分式进行化简，再根据分式的性质对各项进行分析即可．
【解析】解：
＝
＝，
∵x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1，
x≠0，
∴A、x≠1，故A说法错误，不符合题意；
B、x≠﹣1，故B说法错误，不符合题意；
C、当﹣1＜x＜0时，，故C说法错误，不符合题意；
D、当x＜﹣1时，，故D说法正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
27．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1．
求的值．
【点拨】根据题意得到（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，根据完全平方公式求出a+b、ab，根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可．
【解析】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48，
∴ab＝12，
∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）××
＝
＝
＝14．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
28．计算：．
【点拨】先分解因式，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解析】解：原式＝
＝．
【点睛】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
29．一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则：
（1）最小的“友好数”为　1243　 最大的“友好数”为　9867　 ；
（2）将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到m′，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到m″，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值．
【点拨】（1）根据“友好数”定义即可得出最小和最大的“友好数”；
（2）设正整数m的千位数是a，百位数为b，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为x，则十位数为x﹣a，个位数为x﹣b，分别表示出m，m′，m''，得出，要使m最大，则a＝9，分情况讨论即可．
【解析】解：（1）∵四位数m为“友好数”，
∴数位从高到低尽量小时，可得到最小的“友好数”为1243，数位从高到低尽量大时，可得到最大的“友好数”为9867，
故答案为：1243，9867；
（2）设正整数m的千位数是a，百位数为b，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为x，则十位数为x﹣a，个位数为x﹣b，
∴m＝1000a+100b+10（x﹣a）+x﹣b＝990a+99b+11x，
m′＝1000（x﹣b）+100（x﹣a）+10b+a＝1100x﹣99a﹣990b，
m''＝1000（x﹣a）+100（x﹣b）+10a+b＝1100x﹣990a﹣99b，
∴，
，
∴，
∵一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，
∴1≤a≤9，1≤b≤9，1≤x﹣b≤9，1≤x﹣a≤9，
∵要使m最大，
∴a＝9，
∴10≤x＜18，
由条件可知的取值为6或11或16，
∴当时，7x＝54+6b，解得，
∴x﹣a＝12﹣9＝3，x﹣b＝12﹣5＝7，此时m为9537，
当时，12x＝99+11b，解得，
∴x﹣a＝11﹣9＝2，x﹣b＝11﹣3＝8，此时m为9328，
当时，17x＝144+16b，解得，
∴x﹣a＝16﹣9＝7，x﹣b＝16﹣8＝8不符合题意，
∴满足条件的m的最大值为9537．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，整式的加减的应用，理解新定义，准确进行计算是解题的关键．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
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