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广东省广州市海珠区2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·海珠期末）要使有意义，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·海珠期末）在直角三角形中，若两直角边长分别为3和4，则斜边为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
3．（2024八下·海珠期末）下列一次函数的图象中，与直线平行的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·海珠期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·海珠期末）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，则这组数据的平均数和方差分别是(　　)
A．， B．， C．， D．，
6．（2024八下·海珠期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
7．（2024八下·海珠期末）如图，在中，，D为中点，若，则的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2024八下·海珠期末）下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是(　　)
A．直线与轴交点的坐标是
B．直线经过第一、二、四象限
C．随的增大而减小
D．与两坐标轴围成的三角形面积为
9．（2024八下·海珠期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·海珠期末）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·海珠期末）甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是　 　．
12．（2024八下·海珠期末） 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为　 　．
13．（2024八下·海珠期末）若，则　 　．
14．（2024八下·海珠期末）如图，是平行四边形对角线的交点，过的直线分别交于点，若，，，则四边形的周长是　 　．
15．（2024八下·海珠期末）已知一次函数，当时，，则　 　．
16．（2024八下·海珠期末）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：若为上任意一点，则；若，则；若为的中点，则四边形是正方形；若：：，则；若过点作正方形交边于，则则其中正确的是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八下·海珠期末）（1）；
（2）．
18．（2024八下·海珠期末）某校开展“满园书香，奉献互助”的志愿活动，倡议学生利用双休日在海珠少儿图书馆参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，根据如图提供的信息，解答下列问题：
（1）抽查的学生劳动时间的众数为　 　，中位数为　 　．
（2）已知全校学生人数为人，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？
19．（2024八下·海珠期末）函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象；
（3）求直线、与y轴围成的三角形面积．
20．（2024八下·海珠期末）学校操场边有一根垂直于地面的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子紧系于旗杆顶端处（打结处忽略不计），小杰同学通过操作、测量发现：如图，当绳子紧靠在旗杆上拉紧到底端后，还多出米，即米；如图，当离开旗杆底端处米后，绳子恰好拉直且绳子末端处恰好接触地面，即米，求旗杆的高度．
21．（2024八下·海珠期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
22．（2024八下·海珠期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）点的坐标是______，点的坐标是______；
（2）在上找一点，使最小，求点坐标．
23．（2024八下·海珠期末）红星学院计划举办数学活动周，王老师负责购买一批奖品，据了解，甲商店所有商品按每件元出售，在乙商店，购物金额与购买商品数量的关系如图所示，设在甲商店的购物金额为，在乙商店的购物金额为，购买的奖品数量为件．
（1）根据图象，求出在乙商场购物时与的函数关系式；
（2）直接写出在甲商场购物时与的函数关系式，并画出图象若在同一家商店购买奖品数量为件时，在乙商店比在甲商店更划算，求此时的取值范围．
24．（2024八下·海珠期末）已知在平面直角坐标系中，，一次函数解析式为，其图象直线记为．
（1）求直线的解析式；
（2）我们定义：平面直角坐标系中，点，若，，且，则称点Q是点P的“t级变换点”，例如，点是点的“级变换点”．
①现将直线上的每个点进行“2级变换”，变换后的点都在一条直线上，直接写出该直线的解析式；
②记①中的直线为，当时，与有交点，求m的取值范围；
③已知点，对M先进行“级变换”得到点E，再对点E进行“级变化”得到点N，其中，求证：直线必经过原点O．
25．（2024八下·海珠期末）如图，等边中，．
（1）尺规作图：在图中作点关于的对称点，连接，，并证明四边形是菱形；
（2）在的条件下，点是四边形对角线交点，动点，，分别在线段，，上，且满足，，是中点；
当时，求证；
当时，求长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
解得：x≥2，
∴的值可以是2，
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义：被开方数为非负数，据此求出x的范围，再判断即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：这个直角三角形的斜边长，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中，是最简二次根式，故符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】平均数，方差S2=
答案：C.
【分析】先求其平均数，再由方差公式可得方差.
6．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米.
故选：B.
【分析】根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为C．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】对函数令y=0，得x=2，故一次函数与x轴的交点为(2，0)，故A错误；
令x=0，y=4，故一次函数与y轴的交点为(0，4)，同时k=-2<0，y随x的增大而减小且经过一、二、四象限，故B、C正确；
与坐标轴围成的三角形面积为S=，故D正确；
答案：A
【分析】根据函数解析式分别求出函数与x，y轴的交点坐标，即可判断A、D，由一次函数的性质即可判断B、C选项.
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作轴于，过点作轴于，则，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标分别为，，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：C．
【分析】过点作轴于，过点作轴于，则，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据两点间距离可得，，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
．
．
故答案为：A．
【分析】连接，根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
这位同学发挥最稳定的是乙
故答案为：乙
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：×5×12=30，
故答案为：30．
【分析】首先根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可解答．
13．【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】26
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，由等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据四边形周长即可求出答案.
15．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当，；，时，
，
解得；
当，；，时，
，
解得；
∴或，
故答案为：或．
【分析】分别把，；，和，；，代入到函数解析式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】由正方形性质知点A、C关于BD所在的直线对称，故GA=GC，而GE⊥CD、GF⊥BC，EC⊥CF得四边形ECFG为矩形，故EF=GC，故AG=EF，故正确；
当BG=AB时，∠BAG=而∠ABG=45°，得∠BAG=75°，∠DAG=90°-∠BAG=90°-75°=15°，故②错误；
当G为BD的中点时，如下图所示，GE||BC，得，G为BD的中点，DG=BG，得DE=EC，同理BF=CF，故CF=CE，故CEGF为正方形，故③正确；
当DG：BG=1：4，BD=2，得DG=，于是GE=，S△ADG=S△CDG=，故④错误；
ABCD和CGMN为正方形，故CG=CN，∠GCN=90°，CD=CB，∠BCD=90°，得∠BCN=∠DCG，故△CBN≌△CDG，得DG=BN，故BG+BN=BG+DG=BD=AB，即，故⑤正确；
综上所述，正确；
答案：
【分析】由正方形的对称性可判断①，由等腰三角形的性质知BAG=75即可得DAG的15，由特殊位置G为BD的中点可得CEGF为正方形，由DG：：4可得DG的长，即可得CDG的面积，证明△CBN≌△CDG可得结论.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)直接由二次根式的乘除法规则进行运算即可.
18．【答案】（1）小时；小时
（2）解：，
答：估计该校学生参加义务劳动小时的有人．
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)由条形统计图知劳动时间1.5小时的人数为40人最多，故众数为40；调查的总人数为12+30+40+18=100人，第50和51位同学位于1.5小时范围，故中位数为1.5小时；
【分析】(1)由条形统计图中的信息可直接判断众数和中位数；
(2)根据劳动时间为2小时的人数为18人，总人数为100人，利用此比例可估计学校劳动2小时的人数.
19．【答案】（1）解：将C代入得，，
解得，，
将C代入得，，
解得，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，
∴的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；作函数图象如下；
（3）解：由题意知，，
∴直线、与y轴围成的三角形面积为4．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C分别代入，即可求出答案.
（2）由（1）可知，，则的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；然后作函数图象即可；
（3）根据三角形面积即可求出答案.
20．【答案】解：设旗杆米，则米，
根据勾股定理可得，，
∴，
解得，
答：旗杆的高度为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】设旗杆米，则米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，作于，
，
，
由勾股定理得，，
解得，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)由平行的性质得，，由中点得AF=BF，可得≌，即可得ADBE为平行四边形；
(2)作AGBC，利用勾股定理可得AB、BG、AG的长，即可得CG的长，由勾股定理得AC的长.
22．【答案】（1），；
（2）解：作点关于的对称点，连接，交于点，则，
∴，由两点之间线段最短，可得此时最小，
∵点和点关于对称，
∴点，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
23．【答案】（1）解：当时，设，把代入得，，
，
；
当时，设，把和代入得，
，
解得，
；
综上，
（2）解：由题意可得，，当时，，画函数图象如下：
由得，，
由函数图象可得，当时，乙商店购物比在甲商店购物更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)分两段和分别求出相应的函数解析式即可；
(2)由题意知，甲乙两店费用相等时可得m=100，当m>100时，乙更划算.
24．【答案】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得，
，
∴直线的解析式为，
（2）解：①将点分别进行“2级变换”得到点，
设变换后的直线解析式为，把代入得，
，
∴变换后的直线解析式为，
②由题意，两直线有交点，则，
联立和为，
可得，，
则，
∵
∴或
解得或
③由题意得，点E的坐标是，则点N的坐标为，
∵，
∴，
∴点N的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
∴直线必经过原点O．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①将点分别进行“2级变换”得到点，利用待定系数法求出变换后的直线解析式即可；
②联立和得到方程组，求出，根据得到或，解得或即可；
③由题意得点E的坐标是，则点N的坐标为，由得到点N的坐标为，又由点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可证明结论成立．
25．【答案】（1）解：作的平分线，交于，截取，点即为所作；
是等边三角形，
垂直平分，即，，
又，
四边形是菱形；
（2）解：证明：四边形是菱形，
，，，，，
，
，，，
，
如图，作于点，则，
，
是的中点，
如图，连接，
是中点，
，
，
，，
，，
，
如图，作交于，则，
四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
解：菱形，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
如图，作于，连接，延长，交于，交于，则四边形是矩形，
，，
由可知，，，，
，，
设，，则，，，，，，
，，，
≌，
，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
解得，，
同理，，
，
，
解得，，
，
，
的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；作图﹣轴对称
1 / 1广东省广州市海珠区2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·海珠期末）要使有意义，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
解得：x≥2，
∴的值可以是2，
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义：被开方数为非负数，据此求出x的范围，再判断即可.
2．（2024八下·海珠期末）在直角三角形中，若两直角边长分别为3和4，则斜边为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：这个直角三角形的斜边长，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
3．（2024八下·海珠期末）下列一次函数的图象中，与直线平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
4．（2024八下·海珠期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中，是最简二次根式，故符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024八下·海珠期末）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，则这组数据的平均数和方差分别是(　　)
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】平均数，方差S2=
答案：C.
【分析】先求其平均数，再由方差公式可得方差.
6．（2024八下·海珠期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米.
故选：B.
【分析】根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
7．（2024八下·海珠期末）如图，在中，，D为中点，若，则的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为C．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
8．（2024八下·海珠期末）下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是(　　)
A．直线与轴交点的坐标是
B．直线经过第一、二、四象限
C．随的增大而减小
D．与两坐标轴围成的三角形面积为
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】对函数令y=0，得x=2，故一次函数与x轴的交点为(2，0)，故A错误；
令x=0，y=4，故一次函数与y轴的交点为(0，4)，同时k=-2<0，y随x的增大而减小且经过一、二、四象限，故B、C正确；
与坐标轴围成的三角形面积为S=，故D正确；
答案：A
【分析】根据函数解析式分别求出函数与x，y轴的交点坐标，即可判断A、D，由一次函数的性质即可判断B、C选项.
9．（2024八下·海珠期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作轴于，过点作轴于，则，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标分别为，，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：C．
【分析】过点作轴于，过点作轴于，则，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据两点间距离可得，，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024八下·海珠期末）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
．
．
故答案为：A．
【分析】连接，根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·海珠期末）甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是　 　．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
这位同学发挥最稳定的是乙
故答案为：乙
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．（2024八下·海珠期末） 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为　 　．
【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：×5×12=30，
故答案为：30．
【分析】首先根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可解答．
13．（2024八下·海珠期末）若，则　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．（2024八下·海珠期末）如图，是平行四边形对角线的交点，过的直线分别交于点，若，，，则四边形的周长是　 　．
【答案】26
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，由等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据四边形周长即可求出答案.
15．（2024八下·海珠期末）已知一次函数，当时，，则　 　．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当，；，时，
，
解得；
当，；，时，
，
解得；
∴或，
故答案为：或．
【分析】分别把，；，和，；，代入到函数解析式即可求出答案.
16．（2024八下·海珠期末）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：若为上任意一点，则；若，则；若为的中点，则四边形是正方形；若：：，则；若过点作正方形交边于，则则其中正确的是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】由正方形性质知点A、C关于BD所在的直线对称，故GA=GC，而GE⊥CD、GF⊥BC，EC⊥CF得四边形ECFG为矩形，故EF=GC，故AG=EF，故正确；
当BG=AB时，∠BAG=而∠ABG=45°，得∠BAG=75°，∠DAG=90°-∠BAG=90°-75°=15°，故②错误；
当G为BD的中点时，如下图所示，GE||BC，得，G为BD的中点，DG=BG，得DE=EC，同理BF=CF，故CF=CE，故CEGF为正方形，故③正确；
当DG：BG=1：4，BD=2，得DG=，于是GE=，S△ADG=S△CDG=，故④错误；
ABCD和CGMN为正方形，故CG=CN，∠GCN=90°，CD=CB，∠BCD=90°，得∠BCN=∠DCG，故△CBN≌△CDG，得DG=BN，故BG+BN=BG+DG=BD=AB，即，故⑤正确；
综上所述，正确；
答案：
【分析】由正方形的对称性可判断①，由等腰三角形的性质知BAG=75即可得DAG的15，由特殊位置G为BD的中点可得CEGF为正方形，由DG：：4可得DG的长，即可得CDG的面积，证明△CBN≌△CDG可得结论.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八下·海珠期末）（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)直接由二次根式的乘除法规则进行运算即可.
18．（2024八下·海珠期末）某校开展“满园书香，奉献互助”的志愿活动，倡议学生利用双休日在海珠少儿图书馆参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，根据如图提供的信息，解答下列问题：
（1）抽查的学生劳动时间的众数为　 　，中位数为　 　．
（2）已知全校学生人数为人，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？
【答案】（1）小时；小时
（2）解：，
答：估计该校学生参加义务劳动小时的有人．
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)由条形统计图知劳动时间1.5小时的人数为40人最多，故众数为40；调查的总人数为12+30+40+18=100人，第50和51位同学位于1.5小时范围，故中位数为1.5小时；
【分析】(1)由条形统计图中的信息可直接判断众数和中位数；
(2)根据劳动时间为2小时的人数为18人，总人数为100人，利用此比例可估计学校劳动2小时的人数.
19．（2024八下·海珠期末）函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象；
（3）求直线、与y轴围成的三角形面积．
【答案】（1）解：将C代入得，，
解得，，
将C代入得，，
解得，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，
∴的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；作函数图象如下；
（3）解：由题意知，，
∴直线、与y轴围成的三角形面积为4．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C分别代入，即可求出答案.
（2）由（1）可知，，则的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；然后作函数图象即可；
（3）根据三角形面积即可求出答案.
20．（2024八下·海珠期末）学校操场边有一根垂直于地面的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子紧系于旗杆顶端处（打结处忽略不计），小杰同学通过操作、测量发现：如图，当绳子紧靠在旗杆上拉紧到底端后，还多出米，即米；如图，当离开旗杆底端处米后，绳子恰好拉直且绳子末端处恰好接触地面，即米，求旗杆的高度．
【答案】解：设旗杆米，则米，
根据勾股定理可得，，
∴，
解得，
答：旗杆的高度为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】设旗杆米，则米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2024八下·海珠期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，作于，
，
，
由勾股定理得，，
解得，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)由平行的性质得，，由中点得AF=BF，可得≌，即可得ADBE为平行四边形；
(2)作AGBC，利用勾股定理可得AB、BG、AG的长，即可得CG的长，由勾股定理得AC的长.
22．（2024八下·海珠期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）点的坐标是______，点的坐标是______；
（2）在上找一点，使最小，求点坐标．
【答案】（1），；
（2）解：作点关于的对称点，连接，交于点，则，
∴，由两点之间线段最短，可得此时最小，
∵点和点关于对称，
∴点，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
23．（2024八下·海珠期末）红星学院计划举办数学活动周，王老师负责购买一批奖品，据了解，甲商店所有商品按每件元出售，在乙商店，购物金额与购买商品数量的关系如图所示，设在甲商店的购物金额为，在乙商店的购物金额为，购买的奖品数量为件．
（1）根据图象，求出在乙商场购物时与的函数关系式；
（2）直接写出在甲商场购物时与的函数关系式，并画出图象若在同一家商店购买奖品数量为件时，在乙商店比在甲商店更划算，求此时的取值范围．
【答案】（1）解：当时，设，把代入得，，
，
；
当时，设，把和代入得，
，
解得，
；
综上，
（2）解：由题意可得，，当时，，画函数图象如下：
由得，，
由函数图象可得，当时，乙商店购物比在甲商店购物更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)分两段和分别求出相应的函数解析式即可；
(2)由题意知，甲乙两店费用相等时可得m=100，当m>100时，乙更划算.
24．（2024八下·海珠期末）已知在平面直角坐标系中，，一次函数解析式为，其图象直线记为．
（1）求直线的解析式；
（2）我们定义：平面直角坐标系中，点，若，，且，则称点Q是点P的“t级变换点”，例如，点是点的“级变换点”．
①现将直线上的每个点进行“2级变换”，变换后的点都在一条直线上，直接写出该直线的解析式；
②记①中的直线为，当时，与有交点，求m的取值范围；
③已知点，对M先进行“级变换”得到点E，再对点E进行“级变化”得到点N，其中，求证：直线必经过原点O．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得，
，
∴直线的解析式为，
（2）解：①将点分别进行“2级变换”得到点，
设变换后的直线解析式为，把代入得，
，
∴变换后的直线解析式为，
②由题意，两直线有交点，则，
联立和为，
可得，，
则，
∵
∴或
解得或
③由题意得，点E的坐标是，则点N的坐标为，
∵，
∴，
∴点N的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
∴直线必经过原点O．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①将点分别进行“2级变换”得到点，利用待定系数法求出变换后的直线解析式即可；
②联立和得到方程组，求出，根据得到或，解得或即可；
③由题意得点E的坐标是，则点N的坐标为，由得到点N的坐标为，又由点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可证明结论成立．
25．（2024八下·海珠期末）如图，等边中，．
（1）尺规作图：在图中作点关于的对称点，连接，，并证明四边形是菱形；
（2）在的条件下，点是四边形对角线交点，动点，，分别在线段，，上，且满足，，是中点；
当时，求证；
当时，求长度．
【答案】（1）解：作的平分线，交于，截取，点即为所作；
是等边三角形，
垂直平分，即，，
又，
四边形是菱形；
（2）解：证明：四边形是菱形，
，，，，，
，
，，，
，
如图，作于点，则，
，
是的中点，
如图，连接，
是中点，
，
，
，，
，，
，
如图，作交于，则，
四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
解：菱形，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
如图，作于，连接，延长，交于，交于，则四边形是矩形，
，，
由可知，，，，
，，
设，，则，，，，，，
，，，
≌，
，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
解得，，
同理，，
，
，
解得，，
，
，
的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；作图﹣轴对称
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