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浙江省宁波市镇海区镇海区尚志中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·镇海区期末）如图是镇海学伴小组的，下列图案能用原图平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的logo是由旋转原图形得到的，故此选项不符合题意；
B、此选项中的logo是由平移原图形得到的，故此选项符合题意；
C、此选项中的logo是由旋转原图形得到的，故此选项不符合题意；
D、此选项中的logo是由轴对称原图形得到的，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据平移不会改变图形的形状、方向和大小，只会改变图形的位置，据此逐一判断可得答案.
2．（2024七下·镇海区期末）下列运算结果为m4的是（　　）
A．m2+m2 B．m6-m2 C．（-m2）2 D．m8÷m2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、不能进行计算，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．（2024七下·镇海区期末）某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共400人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（　　）
A．抽取前100名同学的数学成绩
B．抽取后100名同学的数学成绩
C．抽取其中100名女子的数学成绩
D．抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：要使所抽取的样本较为合理，应尽量使抽样调查能够很好的反映总体的情况，所以抽取各班学号为5号的倍数的同学的数学成绩是较为合理的，它属于简单随机抽样，具有对总体的代表性．
故答案为：D.
【分析】抽样调查的样本需具有随机性与广泛性，据此判断.
4．（2024七下·镇海区期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故选：A．
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0．
5．（2024七下·镇海区期末）下列因式分解错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项分解正确，不符合题意；
B、 ，故此选项分解正确，不符合题意；
C、，故此选项分解正确，不符合题意；
D、，故此选项分解错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
6．（2024七下·镇海区期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行公理的推论；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
根据题意得：，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点C作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得，由二直线平行，同位角相等得到，，最后根据角的和差，由即可求解．
7．（2024七下·镇海区期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于，的方程组的解是，
∴关于，的方程组的解是，即，
∴关于，的方程组的解是，
故答案为：B．
【分析】通过观察题干给出的两个方程组可得第二个方程组中的x+1与y相当于第一个方程组中的x、y，从而可得关于，的方程组的解是，再求解即可.
8．（2024七下·镇海区期末）要使多项式不含的一次项，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=
=
因为两多项式乘积不含的一次项，
所以，
所以，
故答案为：A．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”计算，然后根据多项式中不含某一项，则某一项的系数为零，据此列出关于字母p、q的等式，再变形即可得出结论.
9．（2024七下·镇海区期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴∠DCE=
∵，
∴，即，
解得，，
故答案为：B．
【分析】由已知及角的构成可推出，由折叠的性质及平角定义得，从而整体代入可求；由折叠的性质及平角定义得，则∠DCE=，由二直线平行，同旁内角互补可得，从而代入计算求解即可．
10．（2024七下·镇海区期末）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：．
【分析】
为便于计算，先设大长方形的宽为，则两个阴影部分的面积和周长，，，均可表示出来，再利用已知的等量关系，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出与的数量关系．
11．（2024七下·镇海区期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】提取公因式2x，即可得到答案。
12．（2024七下·镇海区期末）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012科学记数法表示为　 　．
【答案】1.2×10-7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000012=1.2×10-7．
故填1.2×10-7．
【分析】利用科学记数法表示出来即可。
13．（2024七下·镇海区期末）某校七年级（1）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是7，第2，3组的频率之和为0.46，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是　 　．
【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第5组的频率，
第5组的频数，
故答案为：10．
【分析】根据各组频率和为1求出第5组的频率，再用总人数乘以第5组的频率即可得到第5组的频数．
14．（2024七下·镇海区期末） 为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动已知甲组每小时比乙组多植棵树，甲组植棵树用时与乙组植棵树用时相同设甲组每小时植棵树，根据题意列出分式方程：　 　 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲组每小时植棵树 ，则乙组每小时植（x-2）棵树，
由题意得： ；
故答案为： .
【分析】 设甲组每小时植棵树 ，则乙组每小时植（x-2）棵树，根据“ 甲组植棵树用时与乙组植棵树用时相同 ”列出方程即可.
15．（2024七下·镇海区期末）如图，已知四边形、四边形都是正方形，的面积为5，的长为7，那么阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形、四边形都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
∴S阴影=
故答案为：．
【分析】由正方形性质得∠A=∠G=90°，AD=AB=BC=CD，CG=FG，由三角形面积公式得BC×FG=10，易得BC+CG=7，将该式两边同时平方后利用完全平方公式恒等变形得BC2+CG2=29，结合正方形面积计算公式得，再由三角形面积计算公式表示出△DEF的面积，由S阴影=列式计算可得答案.
16．（2024七下·镇海区期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角　 　．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则　 　．
　　　 　　　
【答案】80；105
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：在图2中，∵，
∴，
又，
∴；
在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：80；105．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠CFG=∠BCE=150°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得=∠CFG-∠ABO，从而代值计算可得答案；图3中，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及已知推出∠FCE=∠AFH+105°，由二直线平行，内错角相等得∠DCO=∠ABO，根据邻补角及三角形的内角和定理可推出∠FCE=∠FAB+∠AFB，结合角平分线的定义可退出∠FAB+∠AFH=105°，从而根据三角形的外角和定理可得的度数.
17．（2024七下·镇海区期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】整式的加减运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）去括号，然后合并同类项解题即可；
（2）运算有理数的乘方，零次幂和负整数指数幂，然后加减解题．
18．（2024七下·镇海区期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
得：
把代入方程②中，得
原方程组的解为；
（2）解：
去分母，得
解这个方程得
经检验，是原方程的根．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解；
（2）方程两边同时乘以(1+x)(1-x)约去分母，把分式方程转变为整式方程，再解这个整式方程求出x的值，最后再检验即可得出原方程的解.
19．（2024七下·镇海区期末）某学校七年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：4.7；4.6；4.5；5.0；4.5；4.8；4.5；4.9；4.9；4.8；4.6；4.5；4.5；5.0
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级 视力（x） 频数 所占百分比
A x＜4.2 4 10%
B 4.2≤x≤4.4 12 30%
C 4.5≤x≤4.7 a 　
D 4.8≤x≤5.0 　 b
E 5.1≤x≤5.3 10 25%
合计 40 100%
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校七年级学生视力为E级的有多少人？
【答案】（1）8；15%
（2）解：D组对应的频数为40×0.15＝6，
补全图形如下：
（3）解：400×0.25＝100（人）
答：估计该校七年级学生视力为“E级”的有100人.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意知C等级的频数a＝8，
则C组对应的频率为8÷40＝0.2，
∴b＝1﹣(0.1+0.3+0.2+0.25)＝15%，
故答案为：8、15%；
【分析】（1）根据所列数据得出a的值，继而根据C组的人数求求出所对应频率，再根据频率之和等于1，求出b的值；
（2）运用总人数乘以b求出D组频数，补全条形统计图；
（3）根据400×E级的占比解答即可．
20．（2024七下·镇海区期末）先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值．
【答案】解：
，
∵，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入使原分式有意义的x的值计算即可.
21．（2024七下·镇海区期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；线段的和、差、倍、分的简单计算；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据等式性质，由CE=BF可推出BE=CF，从而用SSS判断出△ABE≌△DCF，由全等三角形对应角相等得∠B=∠C，最后根据内错角相等，两直线平行得出AB∥CD；
（2）根据线段和差可得CE+BF=BC-EF=4，结合CE=BF可求出CE=2，最后根据BE=BC-CE可算出答案.
（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
22．（2024七下·镇海区期末）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，
由题意得，
即，
则有，解得，
所以另一个因式为，的值是．
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若，则__________，__________；
（2）已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
【答案】解：（1），；
（2）设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，解得
所以另一个因式为，的值是.
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用；多项式相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
故答案为：，.
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则将已知等式的右边展开在合并同类项化简，然后根据多项式性质“对应次项系数相同”即可求出b、c的值；
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式法则求出(2x-3)(x+p)的积，然后根据多项式性质“对应次项系数相同”可得关于字母k、p的方程组，求解得出k、p的值，即可得出答案.
23．（2024七下·镇海区期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计板材裁切方案？
素材1 图l中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材 2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出a和b的值， 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背9张和座垫 a 张． 方法三：裁切靠背 b 张和座垫6张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和l张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完） 并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案．
【答案】解：任务一：3，2；
任务二：由题意得，（把），
答：能制作成480把学生椅．
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和座垫3张，用y张裁切靠背2张和座垫6张，
由题意得，，
解得，
∵（张），
答：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和座垫3张，用88张板材裁切靠背2张和座垫6张．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：任务一：方法二：由题意得，，
解得：，
故答案为：3；
方法三：由题意得，，
解得，
故答案为：2；
【分析】任务一：由于靠背、座垫的长度与板材的宽度一致都是40cm，所以剪裁的时候只需要考虑剪裁的靠背、座垫的总宽度与板材的总长度的关系，据此列出方程求解即可；
任务二：根据“100张板材的总长度除以制作一把椅子所需要的长度”求解即可；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张裁切靠背2张和坐垫6张，则可剪裁靠背（9x+2y）张，剪裁座垫（3x+6y）张，根据一把学生椅需要一张靠背一张座垫，可得剪裁的靠背总数为(700-11)张，剪裁的座垫总数为(700-1)张，据此建立方程，求解即可.
24．（2024七下·镇海区期末）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点．
①若，求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】（3）如图3，与，，，，与交于点，，，的长为7，请直接写出的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）①，
，
，
，
，
，
；
②过点作于点，
则，
由①可得，，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）△BCF的面积为.
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（3）连接CE，
同（2）得：，
，
，
，
，
，
∵S△BCF=S△ABC-S△ABF，S△AFE=S△ABE-S△ABF，
∴S△BCF=S△AEF
．
【分析】（1）由等式性质，根据等量减去等量差相等得∠CAE=∠BAD，从而由SAS判断出△AEC≌△ADB；
（2）①由邻补角可得∠ADB=135°，由三角形全等对应角相等可得∠AEC=∠ADB=135°，由角的和差可得∠BEC=∠AEC-∠AED=90°，然后根据三角形的内角和定理可算出∠BCE的度数；
②过点A作AG⊥DE于点G，结合对顶角相等，由AAS判断出△AGF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得AG=CE=5，GF=EF，根据等腰直角三角形的性质得到DG=AG=GE=5，进而得出EF的长，然后根据同高等底三角形面积相等可得S△ACE=2S△CEF，从而利用三角形面积计算公式列式计算即可；
（3）连接CE，同（2）可得△CDE≌△FDA，由全等三角形的性质得CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，由角的和差求出∠ACE=90°，由内错角相等两直线平行得CE∥AB，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得，然后利用各部分求出S△BCF=S△AEF，从而根据三角形面积计算公式计算可得答案.
1 / 1浙江省宁波市镇海区镇海区尚志中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·镇海区期末）如图是镇海学伴小组的，下列图案能用原图平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·镇海区期末）下列运算结果为m4的是（　　）
A．m2+m2 B．m6-m2 C．（-m2）2 D．m8÷m2
3．（2024七下·镇海区期末）某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共400人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（　　）
A．抽取前100名同学的数学成绩
B．抽取后100名同学的数学成绩
C．抽取其中100名女子的数学成绩
D．抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩
4．（2024七下·镇海区期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．0 C． D．1
5．（2024七下·镇海区期末）下列因式分解错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·镇海区期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·镇海区期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·镇海区期末）要使多项式不含的一次项，则(　　)
A． B． C． D．
9．（2024七下·镇海区期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·镇海区期末）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·镇海区期末）因式分解：　 　．
12．（2024七下·镇海区期末）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012科学记数法表示为　 　．
13．（2024七下·镇海区期末）某校七年级（1）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是7，第2，3组的频率之和为0.46，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是　 　．
14．（2024七下·镇海区期末） 为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动已知甲组每小时比乙组多植棵树，甲组植棵树用时与乙组植棵树用时相同设甲组每小时植棵树，根据题意列出分式方程：　 　 ．
15．（2024七下·镇海区期末）如图，已知四边形、四边形都是正方形，的面积为5，的长为7，那么阴影部分的面积是　 　．
16．（2024七下·镇海区期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角　 　．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则　 　．
　　　 　　　
17．（2024七下·镇海区期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·镇海区期末）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·镇海区期末）某学校七年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：4.7；4.6；4.5；5.0；4.5；4.8；4.5；4.9；4.9；4.8；4.6；4.5；4.5；5.0
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级 视力（x） 频数 所占百分比
A x＜4.2 4 10%
B 4.2≤x≤4.4 12 30%
C 4.5≤x≤4.7 a 　
D 4.8≤x≤5.0 　 b
E 5.1≤x≤5.3 10 25%
合计 40 100%
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校七年级学生视力为E级的有多少人？
20．（2024七下·镇海区期末）先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值．
21．（2024七下·镇海区期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
22．（2024七下·镇海区期末）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，
由题意得，
即，
则有，解得，
所以另一个因式为，的值是．
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若，则__________，__________；
（2）已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
23．（2024七下·镇海区期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计板材裁切方案？
素材1 图l中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材 2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出a和b的值， 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背9张和座垫 a 张． 方法三：裁切靠背 b 张和座垫6张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和l张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完） 并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案．
24．（2024七下·镇海区期末）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点．
①若，求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】（3）如图3，与，，，，与交于点，，，的长为7，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的logo是由旋转原图形得到的，故此选项不符合题意；
B、此选项中的logo是由平移原图形得到的，故此选项符合题意；
C、此选项中的logo是由旋转原图形得到的，故此选项不符合题意；
D、此选项中的logo是由轴对称原图形得到的，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据平移不会改变图形的形状、方向和大小，只会改变图形的位置，据此逐一判断可得答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、不能进行计算，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：要使所抽取的样本较为合理，应尽量使抽样调查能够很好的反映总体的情况，所以抽取各班学号为5号的倍数的同学的数学成绩是较为合理的，它属于简单随机抽样，具有对总体的代表性．
故答案为：D.
【分析】抽样调查的样本需具有随机性与广泛性，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故选：A．
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0．
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项分解正确，不符合题意；
B、 ，故此选项分解正确，不符合题意；
C、，故此选项分解正确，不符合题意；
D、，故此选项分解错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行公理的推论；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
根据题意得：，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点C作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得，由二直线平行，同位角相等得到，，最后根据角的和差，由即可求解．
7．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于，的方程组的解是，
∴关于，的方程组的解是，即，
∴关于，的方程组的解是，
故答案为：B．
【分析】通过观察题干给出的两个方程组可得第二个方程组中的x+1与y相当于第一个方程组中的x、y，从而可得关于，的方程组的解是，再求解即可.
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=
=
因为两多项式乘积不含的一次项，
所以，
所以，
故答案为：A．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”计算，然后根据多项式中不含某一项，则某一项的系数为零，据此列出关于字母p、q的等式，再变形即可得出结论.
9．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴∠DCE=
∵，
∴，即，
解得，，
故答案为：B．
【分析】由已知及角的构成可推出，由折叠的性质及平角定义得，从而整体代入可求；由折叠的性质及平角定义得，则∠DCE=，由二直线平行，同旁内角互补可得，从而代入计算求解即可．
10．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：．
【分析】
为便于计算，先设大长方形的宽为，则两个阴影部分的面积和周长，，，均可表示出来，再利用已知的等量关系，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出与的数量关系．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】提取公因式2x，即可得到答案。
12．【答案】1.2×10-7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000012=1.2×10-7．
故填1.2×10-7．
【分析】利用科学记数法表示出来即可。
13．【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第5组的频率，
第5组的频数，
故答案为：10．
【分析】根据各组频率和为1求出第5组的频率，再用总人数乘以第5组的频率即可得到第5组的频数．
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲组每小时植棵树 ，则乙组每小时植（x-2）棵树，
由题意得： ；
故答案为： .
【分析】 设甲组每小时植棵树 ，则乙组每小时植（x-2）棵树，根据“ 甲组植棵树用时与乙组植棵树用时相同 ”列出方程即可.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形、四边形都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
∴S阴影=
故答案为：．
【分析】由正方形性质得∠A=∠G=90°，AD=AB=BC=CD，CG=FG，由三角形面积公式得BC×FG=10，易得BC+CG=7，将该式两边同时平方后利用完全平方公式恒等变形得BC2+CG2=29，结合正方形面积计算公式得，再由三角形面积计算公式表示出△DEF的面积，由S阴影=列式计算可得答案.
16．【答案】80；105
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：在图2中，∵，
∴，
又，
∴；
在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：80；105．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠CFG=∠BCE=150°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得=∠CFG-∠ABO，从而代值计算可得答案；图3中，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及已知推出∠FCE=∠AFH+105°，由二直线平行，内错角相等得∠DCO=∠ABO，根据邻补角及三角形的内角和定理可推出∠FCE=∠FAB+∠AFB，结合角平分线的定义可退出∠FAB+∠AFH=105°，从而根据三角形的外角和定理可得的度数.
17．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】整式的加减运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）去括号，然后合并同类项解题即可；
（2）运算有理数的乘方，零次幂和负整数指数幂，然后加减解题．
18．【答案】（1）解：
得：
把代入方程②中，得
原方程组的解为；
（2）解：
去分母，得
解这个方程得
经检验，是原方程的根．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解；
（2）方程两边同时乘以(1+x)(1-x)约去分母，把分式方程转变为整式方程，再解这个整式方程求出x的值，最后再检验即可得出原方程的解.
19．【答案】（1）8；15%
（2）解：D组对应的频数为40×0.15＝6，
补全图形如下：
（3）解：400×0.25＝100（人）
答：估计该校七年级学生视力为“E级”的有100人.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意知C等级的频数a＝8，
则C组对应的频率为8÷40＝0.2，
∴b＝1﹣(0.1+0.3+0.2+0.25)＝15%，
故答案为：8、15%；
【分析】（1）根据所列数据得出a的值，继而根据C组的人数求求出所对应频率，再根据频率之和等于1，求出b的值；
（2）运用总人数乘以b求出D组频数，补全条形统计图；
（3）根据400×E级的占比解答即可．
20．【答案】解：
，
∵，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入使原分式有意义的x的值计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；线段的和、差、倍、分的简单计算；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据等式性质，由CE=BF可推出BE=CF，从而用SSS判断出△ABE≌△DCF，由全等三角形对应角相等得∠B=∠C，最后根据内错角相等，两直线平行得出AB∥CD；
（2）根据线段和差可得CE+BF=BC-EF=4，结合CE=BF可求出CE=2，最后根据BE=BC-CE可算出答案.
（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
22．【答案】解：（1），；
（2）设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，解得
所以另一个因式为，的值是.
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用；多项式相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
故答案为：，.
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则将已知等式的右边展开在合并同类项化简，然后根据多项式性质“对应次项系数相同”即可求出b、c的值；
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式法则求出(2x-3)(x+p)的积，然后根据多项式性质“对应次项系数相同”可得关于字母k、p的方程组，求解得出k、p的值，即可得出答案.
23．【答案】解：任务一：3，2；
任务二：由题意得，（把），
答：能制作成480把学生椅．
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和座垫3张，用y张裁切靠背2张和座垫6张，
由题意得，，
解得，
∵（张），
答：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和座垫3张，用88张板材裁切靠背2张和座垫6张．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：任务一：方法二：由题意得，，
解得：，
故答案为：3；
方法三：由题意得，，
解得，
故答案为：2；
【分析】任务一：由于靠背、座垫的长度与板材的宽度一致都是40cm，所以剪裁的时候只需要考虑剪裁的靠背、座垫的总宽度与板材的总长度的关系，据此列出方程求解即可；
任务二：根据“100张板材的总长度除以制作一把椅子所需要的长度”求解即可；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张裁切靠背2张和坐垫6张，则可剪裁靠背（9x+2y）张，剪裁座垫（3x+6y）张，根据一把学生椅需要一张靠背一张座垫，可得剪裁的靠背总数为(700-11)张，剪裁的座垫总数为(700-1)张，据此建立方程，求解即可.
24．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）①，
，
，
，
，
，
；
②过点作于点，
则，
由①可得，，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）△BCF的面积为.
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（3）连接CE，
同（2）得：，
，
，
，
，
，
∵S△BCF=S△ABC-S△ABF，S△AFE=S△ABE-S△ABF，
∴S△BCF=S△AEF
．
【分析】（1）由等式性质，根据等量减去等量差相等得∠CAE=∠BAD，从而由SAS判断出△AEC≌△ADB；
（2）①由邻补角可得∠ADB=135°，由三角形全等对应角相等可得∠AEC=∠ADB=135°，由角的和差可得∠BEC=∠AEC-∠AED=90°，然后根据三角形的内角和定理可算出∠BCE的度数；
②过点A作AG⊥DE于点G，结合对顶角相等，由AAS判断出△AGF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得AG=CE=5，GF=EF，根据等腰直角三角形的性质得到DG=AG=GE=5，进而得出EF的长，然后根据同高等底三角形面积相等可得S△ACE=2S△CEF，从而利用三角形面积计算公式列式计算即可；
（3）连接CE，同（2）可得△CDE≌△FDA，由全等三角形的性质得CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，由角的和差求出∠ACE=90°，由内错角相等两直线平行得CE∥AB，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得，然后利用各部分求出S△BCF=S△AEF，从而根据三角形面积计算公式计算可得答案.
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