资源简介

浙江省绍兴市越城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·越城期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·越城期末）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·越城期末）用配方法解一元二次方程 ， 此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·越城期末）对于反比例函数 ， 下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象关于直线 对称
C．图象位于第二、四象限
D．在每一个象限内， 随着 的增大而增大
5．（2024八下·越城期末）牛顿曾说过： “反证法是数学家最精当的武器之一.” 那么我们用反证法证明命题 “等腰三角形的底角是锐角" 时， 第一步应假设（ ）
A．等腰三角形的底角是直角或钝角
B．等腰三角形的底角是直角
C．等腰三角形的底角是钝角
D．等腰三角形的底角是锐角
6．（2024八下·越城期末）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2
C．x1+x2=3 D．x1x2=2
7．（2024八下·越城期末）已知 是反比例函数 的图象上的三个点， 且 ， ， 则 的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
8．（2024八下·越城期末）如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案：
小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处．
小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（　　）
A．两个方案都能
B．小聪的方案
C．小明的方案两个方案都不能
9．（2024八下·越城期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点为第一象限内一点，以，为邻边向右作，若的面积为12，则直线必经过一点，这个点的坐标为
A． B． C． D．
10．（2024八下·越城期末）如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（　　）
A．1刀 B．2刀 C．3刀 D．4刀
11．（2024八下·越城期末）要使二次根式有意义，则a的值可以是　 　．（写出一个即可）
12．（2024八下·越城期末）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是　 　边形．
13．（2024八下·越城期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的3万元/m2降到现在的2.43万元/m2，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　 　
14．（2024八下·越城期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则　 　．
15．（2024八下·越城期末）如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为　 　．
16．（2024八下·越城期末）如图，正方形边长为，点是线段上一点，且，点是直线上一动点，以为边作正方形（逆时针排列），连接，直线与直线交于点．若点中的其中一点到其余两点距离相等，则的长为　 　．
17．（2024八下·越城期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2024八下·越城期末）某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差（分）
甲 95 ▲ 4
乙 ▲ 95 5
（1）求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分；
（2）为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
19．（2024八下·越城期末）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上．请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图①的网格内找一点，使得四边形为菱形，并作出此菱形；
（2）在图②的网格内作一点，满足点在线段上，且；
（3）在图③的网格内作一点，满足点在线段上，且平分．
20．（2024八下·越城期末）已知关于 的一元二次方程 ， 其中 为常数.
（1）若 是方程的一个根， 求 的值；
（2）当 时， 求该方程的根；
（3）若方程有实数根， 且 为正整数， 求 的值及此时方程的根.
21．（2024八下·越城期末）如图，在矩形中，，分别过点，作，于点，，连结，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
22．（2024八下·越城期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
23．（2024八下·越城期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，根据图象直接写出x的取值范围；
（3）设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式．
24．（2024八下·越城期末）折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片，，，E，F分别为边，上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形，点A，B的对应点分别为点，．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点，C，三点在同一直线上．
【深入探究】
操作 探究内容 图形
操作一 当点E位于中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点D，，C，四个点在同一直线上.
操作二 将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且得到是直角三角形.
操作三 当点E位于靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且与交于点G.
【解决问题】
（1）根据操作一探究内容，求证：；
（2）根据操作二探究内容，当为直角三角形时，求的长度；
（3）根据操作三探究内容，直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
A、不是同类二次根式，不能合并，故A错误
B、，故B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A、不是同类二次根式，不能合并
B、把转化，再合并同类二次根式即可
C、根据
D、根据平方差公式：，进行化简即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的汽车标志，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的汽车标志，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的汽车标志，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的汽车标志，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故选D.
【分析】
先将移项得：，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】
A、当x=3时，y=3，图象经过点(3，3)，故A错误
B、图象关于直线y=x对称，故B正确
C、图象位于第一、三象限，故C错误
D、在每一个象限，y随着x的增大而减小，故D错误
故选：B．
【分析】
A、把x=3代入得出y的值，和-3进行比较即可
B、 反比例函数 是轴对称图形，关于直线y=x，和直线y=-x对称
C、k>0，图像位于一，三象限
D、 k>0，在每一个象限内， 随着 的增大而减小.
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】
解：用反证法证明命题 “等腰三角形的底角是锐角" 时， 第一步应假设：等腰三角形的底角是直角或钝角，故选A.
【分析】
反证法的第一步：假设结论不成立，即：等腰三角形两底角不是锐角，故等腰三角形的底角是直角或钝角.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣ =3，x1 x2= =﹣2，
∴C选项正确．
故选C．
【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣ =3，x1 x2= =﹣2”，再结合四个选项即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=3，x1 x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
解： 反比例函数 ，K=2024>0
当时，y随x增大而减小
∴
∵
∴
∴
故选B.
【分析】对于反比例函数，K=2024>0时，在每个象限内，y随x增大而减小，而，可得：，因为，则，即可判定 的大小关系 .
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接EF，因为△ABC是等边三角形，CH所在直线是△ABC的一条对称轴，
由折叠方法可知：，，、是关于的对称，
∴，，即CH是EF的垂直平分线，，
小聪的方案，将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点G处，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
又∵，
∴菱形EHFG是正方形；
小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形EHFG是平行四边形
∴平行四边形EHFG是是正方形；
综上所述：两种方案中折出的四边形EHFG为正方形；
故答案为：A．
【分析】连接EF，由等边相等性质及折叠性质可得CH所在直线是△ABC的一条对称轴，由等边三角形的轴对称性得EH=FH及∠EHA=∠EHC=∠CHF=∠FHB=45°，点E与点F关于GH对称，则CH是EF的垂直平分线，∠EHF=90°；小聪的方案可得EH=HF=FG=GE，由四边相等的四边形是菱形，进而根据有一个内角为直角的菱形是正方形可得结论；小明的方案可推出∠HEG=90°，由等腰直角三角形性质可得EG=EH=HF，由内错角相等两直线平行可得EG∥HF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而根据有一个内角为直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形得出平行四边形EHFG是是正方形，综上即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，过B作BM⊥y轴交CD于M，连接AM，作AH⊥BM于H．
则，
∴四边形是矩形，
，
四边形为平行四边形，
．
又直线与轴交于点，
当时，
．
．
又，
．
．
直线必经过点．
故答案为：D．
【分析】过B作BM⊥y轴交CD于M，连接AM，作AH⊥BM于H，又四边形为平行四边形，由有三个内角为直角的平行四边形是矩形得四边形OAHB是矩形，由矩形对边相等得AH=OB；由三角形及平行四边形面积计算公式可得S△ABM=S平行四边形ABCD=6；根据直线与y轴交点的坐标特点可求出点B（0，6），从而可得AH=6，从而再根据三角形面积计算公式建立方程可求出BM的长，即可得出点M的坐标.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板如解图所示剪开，使剪成的若干块能够拼成如解图所示的一个大正方形，最少只需剪2刀．
故答案为：B．
【分析】观察图4，发现与一个2×2的正方形相比，多了一个小正方形，因此，剪拼后的正方形面积为5，边长为，而刚好是两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，于是我们需要通过剪切，将多余的部分进行重新分配，使其能填补到正方形的空缺部分，从而将十字形纸片的四个角（标注①②③④的部分）剪下来，拼接到十字形纸片的四个内角，形成了一个正方形.
11．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知
解得
故答案为：3（答案不唯一）.
【分析】由二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”列出关于字母a的不等式，求解得出a的取值范围，然后再在a的取值范围内随便取一个值即可.
12．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形为边形
根据题意可知，这个边形的内角和为
则
解得：
故答案为：六．
【分析】设这个多边形的边数为，根据“ 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍 ”列出方程并解之即可．
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解： 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x
根据题意：
故答案为：.
【分析】 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x， 根据等量关系：降价后的销售单价=2.43，列出方程即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，即，
∵，且b＞a，
∴
故答案为：．
【分析】首先利用估算无理数大小的方法判断出，然后用与3分别题干新定义运算法则中的a与b，得出式子，再根据根号具有括号的作用，利用平方差公式计算被开方数即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，过作轴于，
∵点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积为16，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴AH=b，OH=a，BG=3b，OG=a，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：3.
【分析】过B作BG⊥x轴于G，过A作AH⊥x轴于H，由反比例函数的对称性得OA=OC，OB=OD，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则，由反比例函数k的几何意义得S△BOG=S△AOH=k，利用那个割补法及等量替换可推出，根据直角梯形面积计算公式建立方程求出ab=3，最后结合反比例函数图象上点的坐标特点可求出k的值.
16．【答案】或或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；异侧一线三垂直全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点H在点A、P间时，如图， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，
∵点中的其中一点到其余两点距离相等，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，
同理可得，，
∴，
∴；
③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，
同理可得，，
∴，
∴；
综上，的长为或或．
【分析】 分三种情况：①点H在点A、P间， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，由题意得AH=PH，由正方形性质得∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，由同位角相等两直线平行及平行于同一直线的两条直线互相平行得PC∥HM∥AB，由平行线等分线段定理得CM=BM=3，根据线段和差可算出CE=4，EM=1，由正方形性质得EH=EF，∠HEF=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠KEM=∠EFC，从而用AAS判断出△HEM≌△EFC，由全等三角形的对应边相等得EM=CF=1，进而利用勾股定理算出EF； ②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，同理得BC=CN=6及△FCE≌△ENH，由全等三角形的对应边相等得CF=NE=10，从而利用勾股定理算出EF；③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，同理得BT=BC=6△FCE≌△ETH，由全等三角形的对应边相等得CF=ET=2，再用勾股定理算出EF，综上可得答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
∴
∴
解得：
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据二次根式乘法法则“”计算二次根式乘法，同时根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（2）方程的左边易于利用完全平方公式分解为(x+3)2，然后把x+3看成一个整体，将方程的右边整体移到方程的左边，进而将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
18．【答案】（1）解：∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
∴乙的平均分为：（分）.
（2）解：∵甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，
∴甲成绩更稳定，
∵从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，
∴推荐甲参加．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义，分别求解；
（2）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析，得出结论，再提出合理建议．
19．【答案】（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及菱形的对角线互相垂直平分，作B点关于AC的对称点D，连接AD、CD即可；
（2）取格点J，连接AJ交BC于点E，线段AE即为所求；
（3）利用方格纸的特点及勾股定理，取格点Q，使AB=AQ，连接BQ，取AQ的中点，连接AT并延长，交BC于点F，根据等腰三角形底边上的三线合一可得AF平分∠BAC.
（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，点即为所求．
20．【答案】（1）解：当 时，
（2）解：0
（3）解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】
（1）把x=2代入方程解出m即可
（2）把m=-1，代入方程：得：，再解方程即可
（3）根据方程有实根，得出：，解出，根据m是正整数，得出m=1，再代入原方程，解出x即可.
21．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，
∴∠ADC=90°，
，
，
，AC=2AD=8
，
，
，BE=DF=
，
，
的中点，
；
同理可得：，
四边形的面积为．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠BCE=60°，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DF∥BE，从而利用AAS判断出△ADF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得DF=BE，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）由矩形的性质得到∠DAB=∠DCB=90°，由直角三角形两锐角互余得∠ADF=30°，∠ADC=30°，由含30°角直角三角形的性质得AF=AD=2，AC=2AD=8，再由勾股定理可得DF=，根据全等三角形的对应边相等得CE=AF=2，BE=DF=，由线段的和差算出EF=4，然后根据三角形的面积公式，由同高三角形的面积就是对应底之间的关系算出△FME及△FNE得面积，最后由S四边形MFNE=S△FME+S△FNE即可算出答案.
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的中点，
；
同理可得：，
四边形的面积为．
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：(30-2x)a+(30-3x)a=850，
∵，
∴(30-2x)(20-x)+(30-3x)(20-x)=850，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
【分析】（1）结合图形可得荒地的长=两个矩形的宽+三个通道的宽，据此建立等式，再变形为用含x的式子表示a即可；
（2）结合图形，利用平移的相似可得空白部分的面积=一个长为(30-2x)m、宽为a的矩形的面积+长为(30-3x)、宽为a的矩形的面积，再结合（1）的结论，可得关于字母x的方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
23．【答案】（1）解：把代入得，，
反比例函数的表达式为；
（2）解：当y1＞y2时，或
（3）解：过点A作AH⊥BE于点H，过点H作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点N，交过点B和y轴的平行线于点G，设点，
，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，
，
∴且，
解得：，，
即点，
把代入得，，
，
设直线的表达式为：，
把由点、的坐标代入得，
．
解得：，
直线的表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
【分析】（1）把点A(6，1)代入计算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）直接找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可；
（3）过点A作AH⊥BE于点H，过点H作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点N，交过点B和y轴的平行线于点G，易得△ABH是等腰直角三角形，则HB=HA，由同角的余角相等可得∠GHB=∠HNA，从而由AAS判断出△BGH≌△HNA，由全等三角形的对应边相等得BG=y+2=HN=6-X，GH=x+3=AN=y-1，联立求解得出x=0，y=4，则H(0，4)；把点B(-3，m)代入（1）所求的函数解析式求出m的值，可得点B的坐标，然后利用那个待定系数法求出直线BE的函数解析式即可.
（1）解：把代入得，，
反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
，
当时，的取值范围为或；
（3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，
，
设点，则且，
解得：，，
即点，
设直线的表达式为：，
把由点、的坐标代入得，
．解得：，
直线的表达式为．
24．【答案】解：（1）证明：菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
，，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
∴；
（2）当时，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或；
（3）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：如图，
连接，在上截取，连接，作，交的延长线于点H，作于点Q，
∴，
点位于靠近点的三等分点，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
设，则，如图，
作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠ABC=60°，AB∥CD，BC∥AD，由翻折及中点定义可得A'E=ED=AE，由有一个内角为60°的三角形是等边三角形得△A'DE是等边三角形，由等边三角形的性质得∠EA'D=∠A'ED=60°，进而根据平角定义及折叠性质得∠AEF=∠A'EF=60°，再由同位角相等，两直线平行得EF∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）当∠B'CF=90°时，由折叠性质得∠B=B'=60°，BF=B'F，由直角三角形两锐角互余求出∠B'FC=30°，由含30°角直角三角形的性质可得出，从而由，求得BF的值；当∠CFB'=90°时，同理求解即可；
（3）连接CE，在CD上截取DW=ED，连接EW，作CH⊥EW，交EW的延长线于点H，作EQ⊥CA'于点Q，易得△DEW是等边三角形，则∠EWD=60°，由折叠性质得AE=A'E=4，∠A=∠CA'E=120°，则A'E=CW=4，∠CA'E=∠CWE=120°，由等角的补角相等得∠EA'Q=∠CWH=60°，从而由AAS判断出△EA'Q≌△WCH，可得，，；由HL可证得，得，，进而得出，，，CG=x，则A'G=WG=4-x，由含30°角直角三角形的性质表示出A'T，GT，CT，进而利用勾股定理建立方程求出x即可得出答案.
1 / 1浙江省绍兴市越城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·越城期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
A、不是同类二次根式，不能合并，故A错误
B、，故B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A、不是同类二次根式，不能合并
B、把转化，再合并同类二次根式即可
C、根据
D、根据平方差公式：，进行化简即可.
2．（2024八下·越城期末）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的汽车标志，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的汽车标志，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的汽车标志，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的汽车标志，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2024八下·越城期末）用配方法解一元二次方程 ， 此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故选D.
【分析】
先将移项得：，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
4．（2024八下·越城期末）对于反比例函数 ， 下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象关于直线 对称
C．图象位于第二、四象限
D．在每一个象限内， 随着 的增大而增大
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】
A、当x=3时，y=3，图象经过点(3，3)，故A错误
B、图象关于直线y=x对称，故B正确
C、图象位于第一、三象限，故C错误
D、在每一个象限，y随着x的增大而减小，故D错误
故选：B．
【分析】
A、把x=3代入得出y的值，和-3进行比较即可
B、 反比例函数 是轴对称图形，关于直线y=x，和直线y=-x对称
C、k>0，图像位于一，三象限
D、 k>0，在每一个象限内， 随着 的增大而减小.
5．（2024八下·越城期末）牛顿曾说过： “反证法是数学家最精当的武器之一.” 那么我们用反证法证明命题 “等腰三角形的底角是锐角" 时， 第一步应假设（ ）
A．等腰三角形的底角是直角或钝角
B．等腰三角形的底角是直角
C．等腰三角形的底角是钝角
D．等腰三角形的底角是锐角
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】
解：用反证法证明命题 “等腰三角形的底角是锐角" 时， 第一步应假设：等腰三角形的底角是直角或钝角，故选A.
【分析】
反证法的第一步：假设结论不成立，即：等腰三角形两底角不是锐角，故等腰三角形的底角是直角或钝角.
6．（2024八下·越城期末）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2
C．x1+x2=3 D．x1x2=2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣ =3，x1 x2= =﹣2，
∴C选项正确．
故选C．
【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣ =3，x1 x2= =﹣2”，再结合四个选项即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=3，x1 x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
7．（2024八下·越城期末）已知 是反比例函数 的图象上的三个点， 且 ， ， 则 的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
解： 反比例函数 ，K=2024>0
当时，y随x增大而减小
∴
∵
∴
∴
故选B.
【分析】对于反比例函数，K=2024>0时，在每个象限内，y随x增大而减小，而，可得：，因为，则，即可判定 的大小关系 .
8．（2024八下·越城期末）如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案：
小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处．
小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（　　）
A．两个方案都能
B．小聪的方案
C．小明的方案两个方案都不能
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接EF，因为△ABC是等边三角形，CH所在直线是△ABC的一条对称轴，
由折叠方法可知：，，、是关于的对称，
∴，，即CH是EF的垂直平分线，，
小聪的方案，将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点G处，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
又∵，
∴菱形EHFG是正方形；
小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形EHFG是平行四边形
∴平行四边形EHFG是是正方形；
综上所述：两种方案中折出的四边形EHFG为正方形；
故答案为：A．
【分析】连接EF，由等边相等性质及折叠性质可得CH所在直线是△ABC的一条对称轴，由等边三角形的轴对称性得EH=FH及∠EHA=∠EHC=∠CHF=∠FHB=45°，点E与点F关于GH对称，则CH是EF的垂直平分线，∠EHF=90°；小聪的方案可得EH=HF=FG=GE，由四边相等的四边形是菱形，进而根据有一个内角为直角的菱形是正方形可得结论；小明的方案可推出∠HEG=90°，由等腰直角三角形性质可得EG=EH=HF，由内错角相等两直线平行可得EG∥HF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而根据有一个内角为直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形得出平行四边形EHFG是是正方形，综上即可得出结论.
9．（2024八下·越城期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点为第一象限内一点，以，为邻边向右作，若的面积为12，则直线必经过一点，这个点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，过B作BM⊥y轴交CD于M，连接AM，作AH⊥BM于H．
则，
∴四边形是矩形，
，
四边形为平行四边形，
．
又直线与轴交于点，
当时，
．
．
又，
．
．
直线必经过点．
故答案为：D．
【分析】过B作BM⊥y轴交CD于M，连接AM，作AH⊥BM于H，又四边形为平行四边形，由有三个内角为直角的平行四边形是矩形得四边形OAHB是矩形，由矩形对边相等得AH=OB；由三角形及平行四边形面积计算公式可得S△ABM=S平行四边形ABCD=6；根据直线与y轴交点的坐标特点可求出点B（0，6），从而可得AH=6，从而再根据三角形面积计算公式建立方程可求出BM的长，即可得出点M的坐标.
10．（2024八下·越城期末）如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（　　）
A．1刀 B．2刀 C．3刀 D．4刀
【答案】B
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板如解图所示剪开，使剪成的若干块能够拼成如解图所示的一个大正方形，最少只需剪2刀．
故答案为：B．
【分析】观察图4，发现与一个2×2的正方形相比，多了一个小正方形，因此，剪拼后的正方形面积为5，边长为，而刚好是两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，于是我们需要通过剪切，将多余的部分进行重新分配，使其能填补到正方形的空缺部分，从而将十字形纸片的四个角（标注①②③④的部分）剪下来，拼接到十字形纸片的四个内角，形成了一个正方形.
11．（2024八下·越城期末）要使二次根式有意义，则a的值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知
解得
故答案为：3（答案不唯一）.
【分析】由二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”列出关于字母a的不等式，求解得出a的取值范围，然后再在a的取值范围内随便取一个值即可.
12．（2024八下·越城期末）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是　 　边形．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形为边形
根据题意可知，这个边形的内角和为
则
解得：
故答案为：六．
【分析】设这个多边形的边数为，根据“ 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍 ”列出方程并解之即可．
13．（2024八下·越城期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的3万元/m2降到现在的2.43万元/m2，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　 　
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解： 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x
根据题意：
故答案为：.
【分析】 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x， 根据等量关系：降价后的销售单价=2.43，列出方程即可.
14．（2024八下·越城期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，即，
∵，且b＞a，
∴
故答案为：．
【分析】首先利用估算无理数大小的方法判断出，然后用与3分别题干新定义运算法则中的a与b，得出式子，再根据根号具有括号的作用，利用平方差公式计算被开方数即可.
15．（2024八下·越城期末）如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，过作轴于，
∵点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积为16，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴AH=b，OH=a，BG=3b，OG=a，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：3.
【分析】过B作BG⊥x轴于G，过A作AH⊥x轴于H，由反比例函数的对称性得OA=OC，OB=OD，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则，由反比例函数k的几何意义得S△BOG=S△AOH=k，利用那个割补法及等量替换可推出，根据直角梯形面积计算公式建立方程求出ab=3，最后结合反比例函数图象上点的坐标特点可求出k的值.
16．（2024八下·越城期末）如图，正方形边长为，点是线段上一点，且，点是直线上一动点，以为边作正方形（逆时针排列），连接，直线与直线交于点．若点中的其中一点到其余两点距离相等，则的长为　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；异侧一线三垂直全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点H在点A、P间时，如图， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，
∵点中的其中一点到其余两点距离相等，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，
同理可得，，
∴，
∴；
③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，
同理可得，，
∴，
∴；
综上，的长为或或．
【分析】 分三种情况：①点H在点A、P间， 过点H作HM⊥BC于M，则∠HME=90°，由题意得AH=PH，由正方形性质得∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD，由同位角相等两直线平行及平行于同一直线的两条直线互相平行得PC∥HM∥AB，由平行线等分线段定理得CM=BM=3，根据线段和差可算出CE=4，EM=1，由正方形性质得EH=EF，∠HEF=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠KEM=∠EFC，从而用AAS判断出△HEM≌△EFC，由全等三角形的对应边相等得EM=CF=1，进而利用勾股定理算出EF； ②当点P在点A、H间时，如图，过点H作HN⊥BC的延长线于点N，此时AP=PH，同理得BC=CN=6及△FCE≌△ENH，由全等三角形的对应边相等得CF=NE=10，从而利用勾股定理算出EF；③当点A在点H、P间时，如图，过点H作HT⊥CB的延长线于点T，此时HA=PA，同理得BT=BC=6△FCE≌△ETH，由全等三角形的对应边相等得CF=ET=2，再用勾股定理算出EF，综上可得答案.
17．（2024八下·越城期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
；
（2）
∴
∴
解得：
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据二次根式乘法法则“”计算二次根式乘法，同时根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（2）方程的左边易于利用完全平方公式分解为(x+3)2，然后把x+3看成一个整体，将方程的右边整体移到方程的左边，进而将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
18．（2024八下·越城期末）某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差（分）
甲 95 ▲ 4
乙 ▲ 95 5
（1）求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分；
（2）为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
【答案】（1）解：∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
∴乙的平均分为：（分）.
（2）解：∵甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，
∴甲成绩更稳定，
∵从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，
∴推荐甲参加．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义，分别求解；
（2）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析，得出结论，再提出合理建议．
19．（2024八下·越城期末）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上．请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图①的网格内找一点，使得四边形为菱形，并作出此菱形；
（2）在图②的网格内作一点，满足点在线段上，且；
（3）在图③的网格内作一点，满足点在线段上，且平分．
【答案】（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及菱形的对角线互相垂直平分，作B点关于AC的对称点D，连接AD、CD即可；
（2）取格点J，连接AJ交BC于点E，线段AE即为所求；
（3）利用方格纸的特点及勾股定理，取格点Q，使AB=AQ，连接BQ，取AQ的中点，连接AT并延长，交BC于点F，根据等腰三角形底边上的三线合一可得AF平分∠BAC.
（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，点即为所求．
20．（2024八下·越城期末）已知关于 的一元二次方程 ， 其中 为常数.
（1）若 是方程的一个根， 求 的值；
（2）当 时， 求该方程的根；
（3）若方程有实数根， 且 为正整数， 求 的值及此时方程的根.
【答案】（1）解：当 时，
（2）解：0
（3）解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】
（1）把x=2代入方程解出m即可
（2）把m=-1，代入方程：得：，再解方程即可
（3）根据方程有实根，得出：，解出，根据m是正整数，得出m=1，再代入原方程，解出x即可.
21．（2024八下·越城期末）如图，在矩形中，，分别过点，作，于点，，连结，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，
∴∠ADC=90°，
，
，
，AC=2AD=8
，
，
，BE=DF=
，
，
的中点，
；
同理可得：，
四边形的面积为．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠BCE=60°，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DF∥BE，从而利用AAS判断出△ADF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得DF=BE，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）由矩形的性质得到∠DAB=∠DCB=90°，由直角三角形两锐角互余得∠ADF=30°，∠ADC=30°，由含30°角直角三角形的性质得AF=AD=2，AC=2AD=8，再由勾股定理可得DF=，根据全等三角形的对应边相等得CE=AF=2，BE=DF=，由线段的和差算出EF=4，然后根据三角形的面积公式，由同高三角形的面积就是对应底之间的关系算出△FME及△FNE得面积，最后由S四边形MFNE=S△FME+S△FNE即可算出答案.
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的中点，
；
同理可得：，
四边形的面积为．
22．（2024八下·越城期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：(30-2x)a+(30-3x)a=850，
∵，
∴(30-2x)(20-x)+(30-3x)(20-x)=850，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
【分析】（1）结合图形可得荒地的长=两个矩形的宽+三个通道的宽，据此建立等式，再变形为用含x的式子表示a即可；
（2）结合图形，利用平移的相似可得空白部分的面积=一个长为(30-2x)m、宽为a的矩形的面积+长为(30-3x)、宽为a的矩形的面积，再结合（1）的结论，可得关于字母x的方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
23．（2024八下·越城期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，根据图象直接写出x的取值范围；
（3）设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式．
【答案】（1）解：把代入得，，
反比例函数的表达式为；
（2）解：当y1＞y2时，或
（3）解：过点A作AH⊥BE于点H，过点H作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点N，交过点B和y轴的平行线于点G，设点，
，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，
，
∴且，
解得：，，
即点，
把代入得，，
，
设直线的表达式为：，
把由点、的坐标代入得，
．
解得：，
直线的表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
【分析】（1）把点A(6，1)代入计算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）直接找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可；
（3）过点A作AH⊥BE于点H，过点H作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点N，交过点B和y轴的平行线于点G，易得△ABH是等腰直角三角形，则HB=HA，由同角的余角相等可得∠GHB=∠HNA，从而由AAS判断出△BGH≌△HNA，由全等三角形的对应边相等得BG=y+2=HN=6-X，GH=x+3=AN=y-1，联立求解得出x=0，y=4，则H(0，4)；把点B(-3，m)代入（1）所求的函数解析式求出m的值，可得点B的坐标，然后利用那个待定系数法求出直线BE的函数解析式即可.
（1）解：把代入得，，
反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
，
当时，的取值范围为或；
（3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，
，
设点，则且，
解得：，，
即点，
设直线的表达式为：，
把由点、的坐标代入得，
．解得：，
直线的表达式为．
24．（2024八下·越城期末）折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片，，，E，F分别为边，上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形，点A，B的对应点分别为点，．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点，C，三点在同一直线上．
【深入探究】
操作 探究内容 图形
操作一 当点E位于中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点D，，C，四个点在同一直线上.
操作二 将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且得到是直角三角形.
操作三 当点E位于靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且与交于点G.
【解决问题】
（1）根据操作一探究内容，求证：；
（2）根据操作二探究内容，当为直角三角形时，求的长度；
（3）根据操作三探究内容，直接写出的长度．
【答案】解：（1）证明：菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
，，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
∴；
（2）当时，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或；
（3）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：如图，
连接，在上截取，连接，作，交的延长线于点H，作于点Q，
∴，
点位于靠近点的三等分点，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
设，则，如图，
作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠ABC=60°，AB∥CD，BC∥AD，由翻折及中点定义可得A'E=ED=AE，由有一个内角为60°的三角形是等边三角形得△A'DE是等边三角形，由等边三角形的性质得∠EA'D=∠A'ED=60°，进而根据平角定义及折叠性质得∠AEF=∠A'EF=60°，再由同位角相等，两直线平行得EF∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）当∠B'CF=90°时，由折叠性质得∠B=B'=60°，BF=B'F，由直角三角形两锐角互余求出∠B'FC=30°，由含30°角直角三角形的性质可得出，从而由，求得BF的值；当∠CFB'=90°时，同理求解即可；
（3）连接CE，在CD上截取DW=ED，连接EW，作CH⊥EW，交EW的延长线于点H，作EQ⊥CA'于点Q，易得△DEW是等边三角形，则∠EWD=60°，由折叠性质得AE=A'E=4，∠A=∠CA'E=120°，则A'E=CW=4，∠CA'E=∠CWE=120°，由等角的补角相等得∠EA'Q=∠CWH=60°，从而由AAS判断出△EA'Q≌△WCH，可得，，；由HL可证得，得，，进而得出，，，CG=x，则A'G=WG=4-x，由含30°角直角三角形的性质表示出A'T，GT，CT，进而利用勾股定理建立方程求出x即可得出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑