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第6章 《图形的相似》章节测试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．若a和b都不为零，且3a＝4b，则下列比例中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）
A．135° B．90° C．60° D．45°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）
A．14 B．7 C．6 D．5
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G．若EG＝FG，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
5．凸透镜成像的原理如图所示，AG∥l∥HC．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦点F1和F2关于O点对称）（　　）
A． B． C．3 D．
6．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　）
A．3 B． C．2 D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA上，AA′＝2OA．若点B的坐标为（2，1），则点B′的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5）
8．如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，AD＝2，AF＝2，GE＝4，则BA的长度为（　　）
A． B． C．9 D．12
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．若，则 　 　．
10．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么BP的长度为 　 cm．
11．如图，在 ABCD中，AE＝2BE，F是BC的中点，EF交BD于点O，EF的延长线交DC的延长线于G点，那么S△BOE：S△DOG＝ 　 　．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　．
13．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD及CB的延长线交于点E、F，且AE：FB＝1：2，则AH：HC的值为 　 　．
14．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，．连接DE并延长，交AB于点G，过点G作GF∥AC，交BC于点F，平行四边形ABCD的面积为72．则四边形EGFC的面积为　 　．
15．如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为 　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，以AC为边作等边△ABC，反比例函数恰好过点B，则k值为 　 　．
17．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，点P为CD上一点，∠APB＝120°，若AB＝6，CD＝4，则PA PB的最大值为 　 　，PA+PB的最大值为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为　 　．
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：PA PB＝PC PD．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，点E，F分别在线段AC，BC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若AF2＝BF CE，求证：∠ABC＝∠CDE．
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1．其中点B坐标为（4，2）．
（1）画出△DEF；
（2）点E坐标为 　 　；
（3）线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 　 　．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）．
（1）在y轴右侧、以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A'B'C'；
（2）在线段AC上找一点P使AP：PC＝2：3．
23．（8分）如图， ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长．
24．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，点E与点A在直径BC的两侧，且，BE、AC的延长线交于点G，BE与AD的延长线交于点F．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为5，OD＝2，求AF的长．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为t（s）．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为9cm2？
（2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
26．（10分）【观察与猜想】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则　 　；
【类比探究】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值．
参考答案
一．选择题
1．
【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可．
【解答】解：A、∵3a＝4b，
∴，错误，不符合题意；
B、∵3a＝4b，
∴，正确，符合题意；
C、∵3a＝4b，
∴，错误，不符合题意；
D、∵3a＝4b，
∴，错误，不符合题意．
故选：B．
2．
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】解：∵AB、AC，BC＝5，DE、EF＝2，DF，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．
故选：D．
3．
【分析】根据已知条件可以推出△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，
∴∠MOE＝90°，∠FPN＝90°，EF＝x，MO＝3，PN＝4，
∵∠OME+∠OEM＝90°，∠PFN+∠PNF＝90°，∠CEF+∠CFE＝90°，∠CEF+∠OEM＝90°，∠CFE+∠PFN＝90°，
∴∠OME＝∠PFN＝∠CEF，∠OEM＝∠PNF＝∠CFE，
∴△OME∽△PFN，
∴OE：PN＝OM：PF，
∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，
∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），
整理得：x2﹣7x＝0，
解得：x＝0或x＝7，
经检验，x＝7是方程的根，
故选：B．
4．
【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝6cm，∠EBF＝∠C＝90°，求得DB10cm，而AE＝2cm，则BE＝4cm，因为EG＝FG，所以BG＝FGEF，则∠BFE＝∠CBD，即可证明△BFE∽△CBD，得，则EFDB，所以BG，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，
∴CD＝AB＝6cm，∠EBF＝∠C＝90°，
∴DB10（cm），
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵BD，EF交于点G，且EG＝FG，
∴BG＝FG＝EGEF，
∴∠BFE＝∠CBD，
∴△BFE∽△CBD，
∴，
∴EFDB10，
∴BG，
故选：B．
5．
【分析】先证明四边形OHCD是矩形，得到OH＝CD，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵l∥HC，CD⊥l，OH⊥l，
∴四边形OHCD是矩形，
∴OH＝CD，
∵AB∥OH，
∴△ABF1∽△HOF1，
∴，
∵缩小的实像是物体的，
∴，
∴，
∵焦点F1和F2关于O点对称，
∴OF1＝OF2，
∴，
故选：A．
6．
【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BDa．
∵OD∥AB，
∴，
故选：B．
7．
【分析】根据AA′＝2OA求出△ABC与△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，AA′＝2OA，
∴OA：OA′＝1：3．
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：1：3，
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B′的坐标为（6，3），
故选：B．
8．
【分析】设∠FDA＝α，则∠G＝2α，然后证明GA＝GD，设GD＝x，利用勾股定理列出方程求出x＝10，过点B作BQ∥GD交AC于点Q，得△BQC∽△EDC，对应边成比例代入值求出BQ＝9，然后证明AB＝BQ，即可解决问题．
【解答】解：如图，设∠FDA＝α，则∠G＝2α，
∵DF⊥AG，
∴∠AFD＝90°，
∴∠A＝90°﹣α，
∴∠ADG＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ADG＝∠A，
∴GA＝GD，
∵AD＝2，AF＝2，
∴DF6，
设GD＝x，
∴GF＝AG﹣AF＝DG﹣AF＝x﹣2，
在Rt△GFD中，根据勾股定理得：GD2＝GF2+DF2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
∴x＝10，
∴GD＝10，
∵GE＝4，
∴DE＝GD﹣GE＝6，
过点B作BQ∥GD交AC于点Q，
∴△BQC∽△EDC，
∴，
∵CE：BE＝2：1，
∴，
∴BQ＝9，
∵GA＝GD，
∴∠A＝∠GDA，
∵BQ∥GD，
∴∠BQA＝∠GDA，
∴∠A＝∠BQA，
∴AB＝BQ＝9，
故选：C．
二．填空题
9．
【分析】根据比例的性质设a＝5k，b＝2k，代入计算即可求解．
【解答】解：设a＝5k，b＝2k，
则，
故答案为：．
10．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：因为P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
所以．
又因为AB＝10cm，
所以AP＝（）cm，
所以BP＝AB﹣AP＝10﹣（）＝（）cm．
故答案为：（）．
11．
【分析】根据平行四边形的性质证明△BEF≌△CGF（ASA），得BE＝CG，所以DG＝4BE，然后证明△BOE∽△DOG，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：在 ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EBF＝∠GCF，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BEF和△CGF中，
，
∴△BEF≌△CGF（ASA）
∴BE＝CG，
∵AE＝2BE，
∴AB＝AE+BE＝3BE，
∴DG＝DC+CG＝AB+BE＝4BE，
∵AB∥CD，
∴△BOE∽△DOG，
∴△BOE的面积：△DOG的面积＝（BE：DG）2＝（1：4）2＝1：16．
故答案为：1：16．
12．
【分析】设AD＝x，，根据折叠性质得DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，证明△AHE∽△ACB，得到，进而得到EH＝x，AH＝2x，证明Rt△EHD是等腰直角三角形，得到∠HDE＝∠HED＝45°，可得∠FDM＝90°，证明△FDM≌△EHM（AAS），得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x的值即可．
【解答】解：∵，
∴设AD＝x，，
∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE，
∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，
过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，
则∠AHE＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AHE∽△ACB，
∴，
∵CB＝5，CA＝10，，
∴，
∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH，
∴Rt△EHD是等腰直角三角形，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°，
∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°，
在△FDM和△EHM中，
，
∴△FDM≌△EHM（AAS），
∴，，
∴，
25﹣5x，
∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，
∴，
则3x2﹣40x+100＝0，
解得，x2＝10（舍去），
则，
故答案为：．
13．
【分析】连接BD，证明△AEG∽△BFG，求出的值，平行线分线段成比例，得到的值，进而得到的值，证明△AHE∽△BHF，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：连接BD，设EF，AB交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线，
∴AD∥BC，AD＝BC，BD⊥AC，
∴△AEG∽△BFG，
∴，
∵AE：FB＝1：2，
∴，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴，
∴，
∴BC＝AD＝3AE，
∵AE：FB＝1：2，
∴BF＝2AE，
∴CF＝BF+BC＝5AE，
∵AD∥BC，
∴△AHE∽△BHF，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】根据平行四边形的性质，证明△AEG∽△CED，得到，进而得到，求出的值，证明△BFG∽△BCA，根据面积比等于相似比的平方，求出△AEG，△BFG的面积，分割法求出四边形EGFC的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且平行四边形ABCD的面积为72，
∴AB∥CD，AB＝CD，S△ACD＝S△ABCS ABCD＝36，
∵，
∴AE：EC＝1：3，
∴S△DECS△ACD＝27，
∵AB∥CD，
∴△AEG∽△CED，
∴，
∴，S△AEG：S△DCE＝1：9，
∴，S△AEGS△DCE＝3，
∵GF∥AC，
∴△BFG∽△BCA，
∴，
∴S△BFGS△BCA＝16，
∴四边形EGFC的面积＝S△BCA﹣S△BFG﹣S△AEG＝36﹣16﹣3＝17，
故答案为：17．
15．
【分析】设EF与CG的交点为M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，设GM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根据勾股定理可建立方程，求出x的值，表达GM和CM的值，进而可得BE的长；再根据勾股定理可得CE的长，由平行可得△GFM和△CEM相似，根据相似比可得最终结果．
【解答】解：设EF与CG的交点为M，
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BEC，
由折叠可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF，
∴∠FEC＝∠DEC，
∴EM＝CM，
∵FG∥CE，
∴△GFM∽△CEM，
∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，FG：CE＝GM：EM，
∴GM＝FM，EF＝CG＝2，
∵DG：GC＝1：4，AB，
∴DG，CG＝EF＝2，
∴CE，
设GM＝x，则CM＝2﹣x；
∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x，
在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°，
由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2，
即（）2+x2＝（2﹣x）2，
解得x，
∴GM＝FM，CM＝EM，
∴GF：：，
∴GF．
故答案为：．
16．
【分析】如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N．利用相似三角形的性质求出△OBN的面积，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N．
设A（m，n），则有mn＝1，
∵△ABC是等边三角形，OA＝OC，
∴OB⊥AC，OBOA，
∵∠AMO＝∠BNO＝∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，∠BON+∠OBN＝90°，
∴∠AOM＝∠OBN，
∴△AMO∽△ONB，
∴（）2，
∵S△AMO，
∴S△ONB，
∴，
∵k＜0，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
17．
【分析】延长AP交⊙O于点F，连接BF，DF，AC，利用直径所对的圆周角为直角，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质得到PA PB＝2PC PD，再利用完全平方式和非负数的意义得到PA PB≤8；设PA＝a，PB＝b，则PFb，BFb，在Rt△ABF中，由勾股定理可得，AF2+BF2＝AB2，所以（ab）2+（b）2＝62，整理得到（a+b）2＝36+ab，再根据ab最大值求解即可．
【解答】解：延长AP交⊙O于点F，连接BF，DF，AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠APB＝120°，
∴∠FPB＝60°，
∴∠PBF＝30°，
∴PFPB．
∵∠CAP＝∠D，∠C＝∠PFD，
∴△PAC∽△PDF，
∴．
∴PA PF＝PC PD，
∴PA PB＝PC PD，
∴PA PB＝2PC PD．
∵CD＝4，
∴PC+PD＝4，
∵（PC﹣PD）2≥0，
∴（PC+PD）2﹣4PC PD≥0，
∴16﹣4PC PD≥0．
∴4PC PD≤16，
∴2PC PD≤8．
∴PA PB≤8，
∴PA PB的最大值为8；
设PA＝a，PB＝b，则PFb，BFb，
∴AF＝PA+PF＝ab，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得，AF2+BF2＝AB2，
∴（ab）2+（b）2＝62，
整理得，a2+ab+b2＝36，
∴（a+b）2＝36+ab，
∵ab≤8，
∴（a+b）2＝36+ab≤44，
∴a+b，
∴PA+PB最大值为2.故答案为：8；2．
18．
【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2﹣m），再利用AD＝2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．
【解答】解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴∠MCE+∠MEC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠CED＝90°，
∴∠NED+∠MEC＝90°，
∴∠MCE＝∠NED，
∴△CME≌△END（AAS），
∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，
∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，
连接AD，则AD＝2，
∴2，
∴，
即，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴BC＝2，
过点O作OH⊥BC于H，
∴OH，
设点E到BC的距离为h，
∴S△BCEBC hhh，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH，
∴S△BCE最小（）＝4；
方法2：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝45°，
∵∠ECD＝45°，
∴∠OCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，
∴∠OCE＝∠ACD，
∵，
∴△COE∽△CAD，
∴，
∵AD＝2，
∴OE，
当OE⊥BC时，△BCE的面积最小，
∵OB＝4，OC＝2，
∴h，
∴△BCE的面积的最小值为2（）＝4；
故答案为：4．
三．解答题
19．解：如图1，
∵A、B、C、D都在同一个圆上，
∴∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴，
∴PA PB＝PC PD；
当四边形ABCD是圆内接四边形时，如图2，连接AD，BC，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCP+∠BCD＝180°，
∴∠BCP＝∠A，
又∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PDA，
∴，
∴PA PB＝PC PD．
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACF，
在△ADE和△CAF中，
，
∴△ADE≌△CAF（ASA），
∴AF＝DE；
（2）证明：∵△ADE≌△CAF，
∴∠AED＝∠CFA，
∴∠CED＝∠AFB．
∵AF2＝BF CE，
∴，
∵AF＝DE，
∴，
∴△ABF∽△CDE，
∴∠ABC＝∠CDE．
21．解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）∵△ABC与△DEF关于原点位似，且相似比为2：1，B（4，2），
∴点E的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）；
（3）∵△ABC与△DEF关于原点位似，且相似比为2：1，
∴线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 ，
故答案为：．
22．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
取格点D（2，﹣3），连接CD，
∵C（﹣4，﹣4），D（2，﹣3），E（﹣2，0）、F（﹣4，﹣1），
∴CF＝DE＝3，CF∥DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF∥CD，
∴，
∵A（﹣2，2），
∴AE＝2，
∴．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴，即，
∴GH＝1.2，
∴CH＝GC﹣GH＝4.8．
24．解：（1）△FAG是等腰三角形，
理由：∵，
∴∠ACB＝∠ABE，
∵∠ACB＝∠G+∠CBE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE，
∴∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，
∴∠G＝∠ABC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BDA＝90°，
∴∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，
∵∠G＝∠FAG，
∴AF＝GF，
∴△FAG是等腰三角形．
（2）连接OA，
∵⊙O的半径为5，OD＝2，
∴OA＝OB＝5，
∴AD，BD＝OB+OD＝7，
∵∠FBA+∠G＝90°，∠FAB+∠FAG＝90°，且∠G＝∠FAG，
∴∠FBA＝∠FAB，
∴BF＝AF，
∵∠BDF＝90°，FD＝AF，
∴BD2+FD2＝BF2，
∴72+（AF）2＝AF2，
解得AF，
∴AF的长是．
25．解：（1）设当移动x秒时，△BPQ的面积为9cm2，则AP＝x cm，BQ＝2x cm，BP＝（6﹣x）cm，
∵，△BPQ的面积为9cm2，
∴9cm2，
∴（6﹣x） 2x＝9，
解得：x1＝x2＝3，
即移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）设移动a秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴或，
∴或，
解得：a或3，
所以移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
26．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠CDE＝90°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵∠FOC＝∠EOD＝90°，
∴∠ADF+∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠AFD，
∴△DAF∽△CDE，
∴，
∵AD＝8，CD＝5，
∴，
故答案为：；
（2）当∠FOC＝∠A时，成立，理由如下：
∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC，
∴∠DOE＝∠A，
又∵∠ODE＝∠ADF，
∴△ODE∽△ADF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠FOC+∠COD＝180°，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠DCE＝∠OCD，
∴△DCE∽△OCD，
∴，
∴，
∴，即；
（3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，
∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，，
同（2）可得，
在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，
∵AD∥MN，∠A＝120°，
∴∠N＝60°，
∴△NBP是等边三角形，
∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，
∴∠BPC＝120°＝∠M；
∵∠BCD＝120°，
∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD，
∴∠PBC＝∠MCD，
∴△PBC∽△MCD，
∴，
设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣7，
∴，
∵，
∴，
解得x＝3，
∴DM＝3x＝9，
∴．

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