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第六章《图形的相似》章节测试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．4cm、2cm、1cm、3cm
B．2cm、3cm、5cm、6cm
C．1cm、2cm、20cm、40cm
D．25cm、35cm、45cm、55cm
2．如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（　　）
A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称
3．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝33°，∠B＝77°，则∠F的度数是（　　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝6，EF＝4，则DE的长度是（　　）
A． B． C．3 D．2
6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD AC D．
7．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
8．如图，△ABC内接于⊙O，且AC＝BC，AO的延长线交BC于点E，若△ABE与△ABC相似，则∠ACB＝（　　）
A．48° B．45° C．36° D．30°
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．已知，则　 　．
10．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　 　．
11．如图，在 ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH＝3，EH＝6，AH＝4，则CH的长为 　 　．
12．如图，如果△ACP∽△ABC，∠A＝100°，∠B＝20°，那么∠APC的度数是 　 　．
13．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝3，BC＝5，则的值是 　 　．
14．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面放置平面镜CD，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝2，BD＝5，CD＝12，则CE的值为 　 　．
15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝120cm，EF＝50cm，测得AC＝1.5m，BD＝13m，树高AB的长为 　 　m．
16．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是　 　．
17．如图， ABCD中，AD＝4，E为AB的中点，连接AC，DE交于点F．过点E作EG∥AD交AC于点G．则AF：AC＝ 　 　．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：当t＝　 　时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
19．（8分）如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．
（1）若AC＝6，BD＝8，求CE的长．
（2）若AC：CE＝1：3，求DF的长．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝6，，求折痕AE的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
22．（8分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面3.2米，小明到凉亭的距离为4米，凉亭离城楼底部的距离为11米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．
（1）尺规作图：在线段AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求AD的长．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DFDC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）若正方形的边长为8，求FG的长．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD和AC．
（1）求证：AD＝AC；
（2）若AD＝BE，求的值．
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．
【分析】根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【解答】解：A、∵4×3≠2×1，
∴4cm，2cm，1cm，3cm四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×6≠3×5，
∴2cm，3cm，5cm，6cm四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵1×40＝2×20，
∴1cm，2cm，20cm，40cm四条线段成比例，符合题意；
D、∵25×55≠35×45，
∴25cm，35cm，45cm，55cm四条线段不成比例，不符合题意；
故选：C．
2．
【分析】根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项．
【解答】解：属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，
故选：C．
3．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠A＝∠D＝33°，∠B＝∠E＝77°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣33°﹣77°＝70°．
故选：D．
4．
【分析】根据比例的性质﹣合比性质解答即可．
【解答】解：∵，
∴．
故选：D．
5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝3，BC＝6，EF＝4，
∴，
∴DE＝2．
故选：D．
6．
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
故A不符合题意；
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
故B不符合题意；
∵AB2＝AD AC，
∴，
又∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
故C不符合题意；
根据，不能判定△ADB∽△ABC，
故D符合题意；
故选：D．
7．
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心．
【解答】解：连接AA′，CC′，交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D．
8．
【分析】连接OB，则OB＝OA，所以∠BAE＝∠ABO，由△ABE∽△ABC，得∠BAE＝∠ACB，则∠BAE＝∠ABO＝∠ACB，由∠BAE+∠ABO+∠AOB＝180°，得∠ACB+∠ACB+2∠ACB＝180°，求得∠ACB＝45°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，则OB＝OA，
∴∠BAE＝∠ABO，
∵△ABE∽△ABC，且∠ABE＝∠CBA，∠BAE≠∠BAC，
∴∠BAE＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠ABO＝∠ACB，
∵∠BAE+∠ABO+∠AOB＝180°，且∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB+∠ACB+2∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝45°，
故选：B．
二．填空题
9．
【分析】根据比例的性质，可得a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得ba．
，
故答案为：．
10．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
故①符合题意；
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
故②符合题意；
∵∠A＝∠A，，
∴△ADE∽△ACB，
故④符合题意；
由，或AC2＝AD AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似，
故③⑤不符合题意；
∴使△ADE与△ACB一定相似的有①②④，
故答案为：①②④．
11．
【分析】延长FE交CB的延长线于点G．证明△AFE≌△BGE（AAS），得出EF＝EG，求出EG＝9，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【解答】解：如图，延长FE交CB的延长线于点G．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠G．
∵点E为边AB的中点，
∴AE＝BE．
在△AFE和△BGE中，，
∴△AFE≌△BGE（AAS），
∴EF＝EG．
∵FH＝3，EH＝6，
∴EF＝EH+FH＝9．
∴EG＝9，
∴GH＝EG+EH＝9+6＝15．
∵AD∥BC，
∴，即，
解得CH＝20．
12．
【分析】由三角形内角和定理求出∠ACB＝60°，由相似三角形的对应角相等，得到∠APC＝∠ACB＝60°．
【解答】解：∵∠A＝100°，∠B＝20°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵△ACP∽△ABC，
∴∠APC＝∠ACB＝60°．
故答案为：60°．
13．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥FC，
∴，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝3+5＝8，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】证明△AEC∽△BED，可得，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，EF⊥CD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠A＝∠B＝∠α，
又∵∠ACE＝90°＝∠BDE，
∴△AEC∽△BED，
∴，
又∵AC＝2，BD＝5，CD＝12，
∴，
∴EC．
故答案为：．
15．
【分析】利用勾股定理求出DF的长，根据，求出BC的长，线段的和差关系求出AB的长即可．
【解答】解：∵DE＝120cm＝1.2m，EF＝50cm＝0.5m，
∴，
∵∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△EDF∽△CDB，
∴，
即：，
∴BC＝5m，
∴AB＝AC+BC＝5+1.5＝6.5（m）；
故答案为：6.5．
16．
【分析】根据AC∥DB证明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示：AB、CD相交于点O，
∵AC是烛焰的高，DB是实像的高，
∴AC∥DB，
∴△AOC∽△BOD，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，AC＝4cm，
∴，
∴BD＝8cm，
故答案为：8cm．
17．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，由E为AB的中点，得AEABCD，可证明△AEF∽△CDF，得，则，即AF：AC＝1：3，于是得到问题的答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E为AB的中点，
∴AEABCD，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴，即AF：AC＝1：3，
故答案为：1：3．
18．
【分析】分时，得t＝1.2s；时，得t＝3s两种情况．
【解答】解；由题意得：QA＝6﹣t，AP＝2t，
①△QAP∽△ABC，
∴，
∴，
解得：，
即当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC；
②△PAQ∽△ABC，
∴时，
∴，
解得：t＝3（s），
即当t＝3s时，△PAQ∽△ABC；
∴当t＝1.2s或t＝3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为：1.2s或3s．
三．解答题
19．（1）解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC＝6，BD＝8，BF＝20，
∴，
∴CE＝9；
（2）∵AB∥CD∥EF，
由平行线的分线段成比例可得：
，
∵BF＝20，
∴，
∴DF＝BF﹣BD＝15．
20．（1）证明：由矩形ABCD得∠B＝∠C＝∠D＝90°．
把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F，
∴∠AFE＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∠EFC+∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：在矩形ABCD中，．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：，
∴．
∵△ABF∽△FCE，
∴，即，
解得，EF＝4；
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，8．
21．（1）证明：∵，∠DAB＝∠BAC，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD＝∠C；
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，
由（1）知，∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝80°．
22．解：已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面3.2米，小明到凉亭的距离为4米，凉亭离城楼底部的距离为11米，小亮身高为1.7米．过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN＝4米，CD＝3.2米，MN＝11米，AB＝1.6米，
∵∠ABF＝∠AMF＝∠BFM＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
又∵AB∥CD，
∴FM＝AB＝DN＝1.6米，
∴CN＝CD﹣DN＝3.2﹣1.6＝1.6（米），AM＝AN+MN＝4+11＝15（米），
∵CD∥EF，
∴△ACN∽△AEM，
∴，即，
∴EM＝6米，
∴城楼的高度为：6﹣1.7+1.6＝5.9（米）．
23．解：（1）若△ACD∽△ABC，
则∠ACD＝∠ABC．
如图，作∠ACD＝∠ABC交AB于点D，
则点D即为所求．
（2）∵△ACD∽△ABC，
∴，
即，
∴AD．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DFDC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴，
又∵DFDC，正方形的边长为8，
∴DF＝2，ED＝4，
∴CF＝6，CG＝12，
∴GF6．
25．（1）证明：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴，
∴AD＝AC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
∵∠BAC＝∠CAE，
∴△CAE∽△BAC，
∴，
∴AC2＝AE×AB，
由（1）知AD＝AC，
∵AD＝BE，
∴AC＝BE，
∴BE2＝AE×（AE+BE），
∴AE2+AE BE﹣BE2＝0，
∴（）21＝0，
解得：（负值已舍去），
∴的值为．
26．解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，
∴．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB10（cm）．
∵BP＝t，AQ＝t，
∴PA＝10﹣t，
∴，
∴t，
如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
t．
综上所述，t或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，
．
∵BQ＝14﹣t，BP＝t，
∴，
∴t，
当△BQP∽△BAC时，
∴，
∴t（舍去），
∴t时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

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