资源简介

(
2025
年
河
北
省
初
中
学
业
水
平
考
试
数学模拟试卷
)
一 、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 将数轴上表示-1的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是( )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
2. 数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”,即用红 色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数.若4根红色木棍表示+4,则3根黑色木棍表 示( )
A.+4 B.-4
C.+3 D.-3
3. 如图1,小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻 一提，瓶子就被提起来了.这其中用到的数学原理是( )
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性
4. 若 a>b-1, 则下列结论一定正确的是( )
A.a>b B.a-1C.a-b>1 D.a+1>b
5. 如图2,教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，BC与地面 的夹角为55°,∠α=26°32′,小明同学将它扶起(绕点C 逆 时针旋转)后平放在地面上，AB 的对应线段为A'B′,在这一
过程当中，簸箕柄AB 绕 点C 旋转了( ) 图 2
A.74°32′ B.8968'
C.98°28′ D.99°28'
6. 如图3,正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是( ) 图 3
A. B. C. D.
7.已 知,且m+n-2 √3=0, 则A 的值为( )
A.5 B.6 C.18 D.20
8. 如图4,在四边形ABCD中 ，AD//BC, 且 是 BC 的中点.下面是甲、乙两名同 学得到的结论，下列判断正确的是( )
甲：若连接AE, 则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC, 则△ABC是直角三角形
(
图
4
)A. 只有甲正确 B.只有乙正确
C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确
9. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩(单位：环）如图5所示，下列说法正确的是( )
A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定
B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定
C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定
D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定
10.“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个 数的比值.在如图6所示的正方形网格中，描述了某次单词复习中M,N,S,T 四位同学的单词
记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，其中M,N,T 三位同学对应的点在同一个函数图象
(
)
)上，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是(
A.M B.N C.S D.T
图 6
1. 如图7,在矩形ABCD 中，以点D 为圆心，AD 长为半径作弧与BD 交于点E,以点B 为圆心，AB
长为半径作弧与BD交于点F. 设 AB=a,AD=b, 则方程x +2ax=b 的一个正根是( )
A.DF 的长 B.BE 的长 C.EF 的长 D.BD 的长
图 7
12.题目：“图8-1是三个斜边分别为a,b,c(a>b>c)的相似三角形，用它们可以不重合无空隙的拼
成一个矩形.已知将①和②按如图8-2所示组合，可得到SAHN=4S 四边形kKMn,求用①②③拼成
的矩形的长与宽之比.”对于其答案，甲答：2;乙答： ;丙答：,则正确的是( )
A. 只有甲答得对
B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 乙、丙答案合在一起才完整
D. 三人答案合在一起才完整 图8- 1 图8-2
(
二、
填空题
(
本大题共
4
个小题，每小题
3
分，共
12
分
)
)
13.已知a ·a =a , 那么x=.
14.如图9,在直角坐标系中，以点A(3,1) 为端点的四条射线AB,AC,AD,AE 分别过点B(1,1), 点 C(1,3), 点 D(4,4), 点 E(5,2), 则∠BAC ∠DAE(填“>”“=”或“<”).
15.如图10,在正六边形ABCDEF中，经过点E,F 的⊙0与边AB,CD 分别相切于点G,H, 与边 DE交于点M.GM 与 FH 交于点N, 则∠GNF的度数为
16.一个四位正整数M的各个数位上的数字互不相等且均不为0,同时满足千位数字与个位数字 之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M 为“和谐数”.将“和谐数”M 的千位数 字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N. 若 N 能被9整除，则 满足条件的M 的最大值是
图 9
图 1 0
三、解答题(本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(
17.
(
本小题满分
7
分
)
)
有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2,同时B 区就会自动减去1,且均显 示计算结果.已知A,B 两区初始显示的数分别是-3和7.
(1)按键1次后，求A,B 两区显示的结果的和；
(2)若按键n 次 后 ，A 区的结果比B 区结果的2倍少5,求n的值 .
在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为-2,m,1. 小 红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号a 后放回并摇 匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号b.
(1)用列表法(如图11所示)表示a+b 的所有结果；
(2)规定：若a+b≥0, 则小红获胜；若a+b<0, 则小明获胜.
①当m=0 时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出m 的取值范围.
(
19.
(
本小题满分
8
分
)
)
图12是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A 处，让无 人机飞到点D 处 ，AD与底板BR 平行，测得AD=11.6 米，此时在点D 处又测得坡道AB 上的点C 的俯角为26.6°,接着让无人机飞到点E 处 ，DE⊥AD,CE 与底板BR 平行，测 得 DE=1.8 米. (参考数据：sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.5)
(1)求 tan ∠BAD的值；
(2)已知水平地面QA、顶板FG 在同一条直线上，且这条直线与底板BR 平行，无人机从 点 A 飞到点P,AP⊥AD, 测得AP=16.4 米，此时在点P 处测得点F 的俯角为45°,在不考 虑其他因素的前提下，请通过计算说明一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库.
图 1 2
数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为x -y (x,y 均为自然
(
N
奇数
4
的倍数
表示结果
1=1 -0
3=2 -1
5=3 -2
7=4 -3 …
4=2 -0
8=3 -1
12=4 -2
16=5 -3 …
一般结论
2n-1=n -(n-1)
4n=_
)数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示(n 为正整数).按 表中规律，完成下列问题：
①24=( ) -( ) :
②4n= (用含n 的代数式表示);
(2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14, …这些形如4n-2(n 为正整数)的正整数N 不能表 示 为x -y (x,y 均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程.
假设4n-2=x -y , 其中x,y 均为自然数，分下列三种情形分析：
①若x,y 均为偶数，设x=2k,y=2m, 其中k,m 均为自然数，
则x -y =(2k) -(2m) =4(k -m ) 为4的倍数，而4n-2 不是4的倍数，矛盾.
故x,y 不可能均为偶数.
②若x,y 均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1, 其中k,m 均为自然数，
则x -y =
③ 若x,y 一个是奇数一个是偶数，则x -y 是奇数，4n-2 是偶数，所以x,y 不可能 一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测 (填“正确”或“错误”).
21. (本小题满分9分)
如图13,小明同学设计的鱼缸截面图是◎0的一部分，AC 是鱼缸的玻璃隔断，弓形 AC 部分(阴影)不注水，已知CD⊥AB, 且圆心0在CD 上，AB=CD=24cm.
(1)求⊙0的半径；
(2)注水时，水面EF//AB, 且与AC 交于点E, 与BC交于点F.
①当水面恰好经过圆心0时(如图13所示),求水面宽EF;
②直接写出注水过程中，水面宽度EF 的最大值.
图 13
小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图14,在y 轴上放置一平面镜，从点A(2,5) 处 向平面镜发射一束光(看成线),经反射后沿直线l:y=mx+n(m≠0,x≥0) 传播.
(1)点A 在平面镜内的虚像A′ 的坐标为 ;m,n 满足的数量关系为
(2)当反射光线经过点(8,0)时，求直线l 的解析式(不用写自变量的取值范围);
(3)在x 轴上从左到右有两点C,D, 且 CD=1, 从 点D 向上作DB⊥x 轴，且BD=2. 若使△BCD 沿 x 轴左右平移，且保证(2)中的反射光线能照射到边BC(包括端点)上，求点B 的横坐标的最大值 与最小值的差；
(4)已知点P(a,2a)(a 为正整数),设平面镜的长度足够长，若反射光线1经过点P,直接写出满足 条件的整数m 的个数.
图14
23. (本小题满分11分)
图15-1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研 究，并绘制了如图15-2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入 水池.以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系. 他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道ACB所
在抛物线的解析式为
(1)直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离；
(2)如图15-2,腾空点B 与对面水池边缘的水平距离OE=12 米.若某人腾空后的路径形成的抛物 线L 恰好与抛物线ACB形状相同，且关于点B 成中心对称
①求此人腾空后的最大高度和抛物线L 的解析式(不用写自变量的取值范围);
②规定人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内(水面与地面的高度差忽略不计);
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图15-3,水滑道已经有两条加固钢架，一条 是水滑道上距y 轴8米的点M 处竖直支撑的钢架MN, 另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢 架 BM. 现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑 道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上(假设水滑道的正下方都是地面), 请你直接写出这条钢架的长度(结果保留根号).
(
图
15-
1
)图15-2 图15-3
如图16,在△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4, 点 P 从点A 出发，沿折线AC-CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，当点P 不与点A,B 重合时，在边AB 上取一 点 Q, 满足∠PQA=2∠B, 过 点Q 作 QM⊥PQ,交边 BC 于点M, 以 PQ,QM 为边作矩形 PQMN, 设点P 的运动时间为t秒.
(1)当点P 在边AC 上时，求证：PQ=AQ;
(2)求线段PQ 的长(用含t的代数式表示);
(3)当点P 从点A 向点C 运动时，对于矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长，嘉嘉 认为是个定值，淇淇认为越来越小，请你判断他俩谁说得正确，若嘉嘉说得正确，请直接 写出这个定值；若淇淇说得正确，请说明理由；
(4)作点A 关于直线PQ 的对称点A',作点C 关于直线PN 的对称点C′,当点A',C'这两 个点中只有一个点在矩形PQMN 内部时(不含边上),直接写出此时t的取值范围.
(
图
16
)备用图
答案
一、（每小题3分，共计36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D D C A B C D C A B
二、（每小题3分，共计12分）
13.7 14.= 15.60° 16.8721
三、17.解：（1）按键1次后，A，B两区显示的结果的和为-3+2+7-1=5；…………………………………（3分）
（2）由题意得-3+2n=2（7-n）-5， …………………………………………………………………………（5分）
解得n=3． …………………………………………………………………………………………………………（7分）
18.解：（1）如图；………………………………………………………………………………………………（3分）
（2）①小明获胜的可能性大； ………………………………………………………………………………（4分）
理由：由表格可知，共有9种等可能的结果，其中a+b≥0的结果有4种，
a+b＜0的结果有5种，∴小红获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴小明获胜的可能性大； …………………………………………………………………………………………（6分）
②m≥2． ………………………………………………………………………………………………………（8分）
19.解：（1）如图，过点C作CH⊥AD于点H，可得四边形CHDE为矩形，则CH=DE=1.8m.
∵tan26.6°=≈0.5，∴DH≈3.6m，∴AH=11.6-3.6=8（m），
∴tan∠CAH=，即tan∠BAD=；………………………………………………………………（4分）
（2）如图，连接DF. ∵QA，AD，FG均与BR平行，∴Q，A，D，F，G在同一直线上.
∵AP=16.4m，∠PAF=90°，∠APF=45°，∴∠AFP=∠APF=45°，∴AF=AP=16.4m.
过点F作FI⊥AB于点I. ∵tan∠CAH=，∴sin∠CAH==，
∴FI=AF sin∠CAH=16.4×=3.6＞3，∴货车能进入该车库． …………（8分）
20.解：（1）①7，5；……………………………………………………………………………………………（2分）
②（n+1）2-（n-1）2； ………………………………………………………………………………………（4分）
（2）②x2-y2=（2k+1）2-（2m+1）2=（2k+1+2m+1）（2k+1-2m-1）=4（k2-m2+k-m）为4的倍数．
而4n-2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数；……………………………………………………（7分）
正确． ………………………………………………………………………………………………………………（8分）
21.解：（1）连接OA，设OA=OC=r cm，则OD=（24-r）cm.
∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=12cm，∠ODA=90°.
在Rt△OAD中，122+（24-r）2=r2，解得r=15，即⊙O的半径为15cm； ……………………………………（4分）
（2）①由题意可得OE∥AD，∴，即，∴OE=，∴EF=OF+OE=15+=22.5（cm）；（7分）
②注水过程中，水面宽度EF的最大值为cm. …………………………………………………（9分）
解：（1）（-2，5）；………………………………………………………………………………………（1分）
n=2m+5；……………………………………………………………………………………………………………（3分）
（2）由n=2m+5，可得y=mx+2m+5，把（8，0）代入，解得m=-，∴直线l的解析式为y=-x+4；（5分）
（3）当点C与点（8，0）重合时，点B的横坐标为9；
当点B在直线l上时，令y=2，得-x+4=2，解得x=4，即点B的横坐标为4，
∴点B的横坐标的最大值与最小值的差为9-4=5；……………………………………………………………（7分）
（4）满足条件的整数m的值有2个. ………………………………………………………………………（9分）
23.解：（1）水滑道最低点C的坐标为（-3，）；…………………………………………………………（1分）
将x=0代入y=+（x+3）2，得y=2，所以点B到地面的距离为2米；……………………………………（3分）
（2）①由题意得抛物线L的顶点与点C关于点B成中心对称，即B是它们的中点．
又∵C（-3，），B（0，2），∴抛物线L的顶点为（3，），∴此人腾空后的最大高度为米．…（5分）
∵抛物线L和抛物线ACB形状相同，开口向下，∴抛物线L的解析式为y=-（x-3）2+； …………（7分）
②由①得抛物线L的解析式为y=-（x-3）2+，
令y=0，∴0=-（x-3）2+，解得x1=8，x2=-2（舍去），∴OD=8．
又∵OE=12米，∴DE=12-8=4（米）＞3米，∴落点D在安全范围内；………………………………………（9分）
这条钢架的长度为2米. …………………………………………………………………………（11分）
24.解：（1）证明：如图1，过点Q作QH⊥AC于点H．
∵∠AHQ=∠C=90°，∴HQ∥BC，∴∠AQH=∠B.
∵∠AQP=2∠B，∴∠PQH=∠AQH.
∵QH=QH，∠QHP=∠QHA=90°，∴△QHP≌△QHA（ASA），∴PQ=AQ；…………………（3分）
（2）当0＜t≤3时，如图1，在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=5.
∵△QHA≌△QHP，∴AH=PH=t. ∵cosA=，∴AQ=t，∴PQ=AQ=t；
当3＜t＜7时，如图2，过点Q作QK⊥BC于点K.
∵∠AQP=2∠B=∠B+∠QPB，∴∠QPB=∠B，∴PQ=BQ.
∵QK⊥BC，∴PK=BK=（7-t）.
∵cosB=，∴BQ=（7-t），∴PQ=BQ=（7-t）；……………………（7分）
（3）嘉嘉说得正确；…………………………………………………………………………………………（8分）
重叠部分图形的周长始终为； ………………………………………………………………………………（10分）
（4）满足条件的t的取值范围为0＜t≤或≤t＜3． ………………………………………（12分）

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