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广东省佛山市第三中学2024 2025学年高二下学期第1次教学质量检测数学试卷
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．0
2．已知数列满足递推关系，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
7．曲线上的点到直线的最短距离是
A． B． C． D．0
8．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
10．下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为
D．若，则最大正整数为8
三、填空题
12．已知函数.则 .
13．已知数列是等差数列.若的值为 .
14．已知函数满足在处导数为 .
四、解答题
15．已知为等差数列，是等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的值.
16．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8．
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求数列的前20项和.
17．已知函数，点.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求过点的切线方程.
18．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
19．各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求；
（3）设 ，数列的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D.
2．【答案】D
【详解】因为，
所以，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
故选:D.
3．【答案】C
【详解】在等式两边同时除以可得，即，
所以，数列是等差数列，且其首项为，公差为，
所以，，故.
故选C.
4．【答案】C
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
5．【答案】B
【详解】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列，
，即，解得或63.
又当时，，不符合题意，舍去，故.
故选B.
6．【答案】C
【详解】变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.
【详解】由，得，所以，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】试题分析：直线的斜率为2．由于，则由得，则
，求得曲线上斜率为2的切线为．取上的点，则点A到直线的距离为，所以所求的最短距离为．故选C．
考点：点到直线的距离公式
点评：在解决问题时，有些问题需要进行转化．像本题，需将要求的问题转化为两条直线之间的距离．
8．【答案】A
【详解】由，
当时，，
当时，由得，
两式相减并化简得，
也符合上式，所以，
令，
为常数，
所以数列是等差数列，首项，
所以，
对称轴为，
由于对任意的恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选A
9．【答案】ABD
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，
所以和均为的最大值，所以D正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选BC
11．【答案】BCD
【详解】由，可得，
可配凑出，
所以数列是一个以为首项，为公比的等比数列，选项A错误，选项B正确；
所以，得，选项C正确；
显然，
，，……，
上式累加可得前项和为：，
不等式等价于，即，即，
其中.
所以最大正整数为8.选项D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以
13．【答案】2700
【详解】因为，根据公式，
可得.
14．【答案】#
【详解】,
，
，
.
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为.
因为，所以，即，
所以，
所以，则，
所以.
（2）
.
16．【答案】（1），或；（2）500．
【详解】（1）设等差数列的的公差为，则，，建立方程组求解；
（2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前20项和.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，，
由题意得，解得或，
所以由等差数列通项公式可得或．
故或；
（2）当时，分别为，，2，不成等比数列；
当时，分别为，2，成等比数列，满足条件．
故，
记数列的前项和为，.
.
17．【答案】（1），
（2）或.
【详解】（1）函数的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
切线方程为，
所以在点处的切线方程为；
（2）设切点为，即，可得切线的斜率为，
切线的方程为，
代入点，可得，
化为，
即为，
解得或，
当时，切点为，故切线斜率为，则切线方程为，即，
当时，切点为，故切线斜率为，则切线方程为，即，
所以过点的切线方程为或.
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
19．【答案】（1）an=2n
（2）
（3）48
【详解】（1）解：因为（n∈N*）①，
当n=1时，解得；
当n≥2时，②；
①-②得：，
整理得，
所以或，
因为数列{an}是单调递增数列，
所以舍去，
所以，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以an=2+2（n-1）=2n；
（2）由于an=2n，
所以，
故，
所以．
（3）由（1）得：，
所以当n为偶数时，；
n的最小值为48；
当n为奇数时，，
不存在最小的n值．
故当n为48时，满足条件．

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