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广东省佛山市南海区九江中学2024 2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列{an}是等比数列，a1=5，a2a3=200，则a5=（　　）
A．100 B． C．80 D．
2．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列
B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列
D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列
4．如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
6．设，则的递减区间为（ ）．
A． B．
C．， D．
7．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
8．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ）
A． B．是数列的第8项
C．当时，最大 D．是公差为的等差数列
11．已知函数，则（ ）
A．函数在原点处的切线方程为
B．函数的极小值点为
C．函数在上有一个零点
D．函数在R上有两个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数，则 .
13．已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为 .
14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
（1）求函数的单调区间.
（2）求在区间的最大值和最小值.
16．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
18．已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式及其前n项和；
(2)设求数列的前n项和；
(3)设集合，求集合M中所有元素的和．
19．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：函数在区间内有且只有一个极值点；
(3)证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
∵a1=5，a2a3=200，
∴52×q3=200，解得q=2．
则a5=5×24=80．
故选C．
2．【答案】C
【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，
故曲线在点处的切线的斜率为2，
因为，所以，
所以.
故选C.
3．【答案】C
【详解】解：当，，时，,A错误；
当，， 时，,，B错误；
若a，b，c成等差数列，则，
所以，
故，，构成等比数列，C正确；
当，，时，D显然错误．
故选C．
4．【答案】A
【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.
【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，
所以为首项为，公比为的等比数列，所以.
故选A.
5．【答案】A
【详解】由可得，
故，得，
故选A.
6．【答案】B
【详解】函数的定义域为，
则，
由题意，，
得，
解得，∵，
∴不等式的解为，
故选B．
7．【答案】C
【详解】因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故选C．
8．【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么，
因此，
，
令得，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
时，取得极大值，并且这个极大值即是最大值．
把代入，得（负值舍去），
由，解得，
即圆心角为弧度时，容器的容积最大.
故选A.
9．【答案】BC
【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意；
故选BC．
10．【答案】ABC
【详解】由等差数列的首项，公差，可得，
对于A中，根据题意，可得，，所以公差为，
所以数列的通项公式为，所以A正确；
对于B中，由，令，解得，所以B正确；
对于C中，令，解得，
所以或时，取得最大值，所以C正确；
对于D中，由，可得，
则，
所以是公差为的等差数列，所以D错误.
故选ABC.
11．【答案】AD
【详解】函数，得，则；
又，从而曲线在原点处的切线方程为，故A正确．
令得或．
当时，，函数的增区间为，；
当时，，函数的减区间为．
所以当时，函数有极大值，故B错误．
当时，恒成立，
所以函数在上没有零点，故C错误．
当时，函数在上单调递减，且，存在唯一零点；
当时，函数在上单调递增，且，存在唯一零点．
故函数在R有两个零点，故D正确．
故选AD.
12．【答案】
【详解】利用求导法则求即可.
因，则，
故.
13．【答案】210
【详解】根据题意，记等比数列的前项和为，则成等比数列，所以
14．【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
15．【答案】（1）在上递减，在，上递增；（2）最大值为16，最小值为-16.
【详解】解：（1），
当时，，当或时，，
所以函数在上递减，在，上递增；
（2）由（1）可得函数在上递减，在，上递增，
又，，
，，
所以在区间的最大值为16，最小值为-16.
16．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)900.
【详解】（1）因为是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，
所以，即，又，
所以，，，；
（2），
则数列的前n项和；
（3）集合，
故，故集合M中所有元素的和即求数列的前30项和，
则．
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导得，再求出，从而得到切线方程；
（2）求导得，利用隐零点法即可证明；
（3）令，则，得到，再令，同样求导得，则，则原不等式即证明.
【详解】（1）的定义域为，且.
因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）.
当时，因为和都是增函数，
所以是增函数.
又因为，
所以，使得.
当时，：当时，.
于是，在上单调递减，在上单调递增.
因此，在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点.
（3）令，则.
当时，：当时，.
于是，在上单调递减，在上单调递增.
因此，.
令，则，
当且仅当时取等号.
于是，是增函数.
因此，当时，.
综上，，即.
【关键点拨】本题第三问的关键是构造两函数和得到，，再相加即可得到原题不等式.

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