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广东省广州市庆丰实验学校2024 2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数在处切线斜率为1，则（ ）
A． B．0.5 C．1 D．2
2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
3．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
5．将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．60种
6．已知数列是递增数列，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知m，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的前项和为，若，则
13．的展开式中，的系数为 .
14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级学生选科方案的意向，对高一（1）班36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生 20 20 20 8 3 0 9
女生 16 6 6 16 4 10 6
利用排列组合和古典概型的知识解决以下问题：
(1)求从20名男生中随机选出2名有 种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有 种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率等于
(2)已知16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.
16．已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间.
（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
17．已知数列中，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明:．
18．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
19．数列满足，
(1)求的值；
(2)求数列前项和；
(3)令，，证明：数列的前项和满足．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为函数在处切线斜率为1，所以
.
故选B.
2．【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选C.
3．【答案】C
【详解】函数定义域为R，求导得：，由，解得，
所以函数的单调递增区间是．
故选C.
4．【答案】D
【详解】设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，
故，故，
故选D.
5．【答案】A
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，
四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案.
故选A.
6．【答案】A
【详解】因为数列是递增数列，且，
所以,即，解得.
故选A.
7．【答案】B
【解析】设函数，利用导数和题设条件，得到函数单调递减，进而根据为偶函数且，求得，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】设函数，则，
因为，可得，
所以，函数单调递减，
因为为偶函数，可得函数关于对称，
又由，所以，所以，
不等式，可得化为，即，所以，
即不等式的解集为.
故选B.
8．【答案】D
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】因为m，且，
对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确；
对于选项B：因为，
整理得，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C：因为
，
即，故C正确；
对于选项D：例如，则，
可知，故D错误；
故选ABC.
10．【答案】AC
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由，可得，
则、、，、，
将上式累加得，
又，则有，故A正确；
对于B，由，可得、、、，
将上式累加得，
又，则，故B错误；
对于C，有成立，用数学归纳法证明如下：
①当时，，满足规律，
②假设当时满足成立，
当时，则
成立，满足规律，
故，令，
则有成立，故C正确；
对于D，由可得，
所以
，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
13．【答案】
【详解】，
其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；
的展开式通项为，，故时，得含的项为.
因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为 .
14．【答案】
【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y y0＝f ′（x0）（x x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
15．【答案】(1)；；.
(2)
【详解】（1）从20名男生中随机选出2名有种情况；，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，
用A表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”，
则.
故答案为：；；.
（2）由题意知选取的16名女生中，有6人选“物理、化学、生物”，
4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”..
用B表示事件“2人选科方案不同”，
则，
所以.
16．【答案】（1）和（2）
【详解】（1），则，，
当和时，，函数单调递增.
（2），即，设，，
则，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，故.
故.
17．【答案】（1）证明见解析；（2）； （3）证明见解析.
【详解】（1）由得，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则,
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
【方法总结】数列中不等式问题的处理方法
(1)函数法：构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对此不等式赋特殊值得出数列中的不等式．
(2)放缩法：数列中的不等式可以通过放缩得到．
(3)比较法：作差或作商比较．
(4)数学归纳法：利用数学归纳法进行证明．
18．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）
当，则当时，；当时，.
所以f（x）在单调递减，在单调递增.
当，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
（Ⅱ）当，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b＜0且，
则，所以有两个零点.
当a=0，则，所以只有一个零点.
当a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.
又当时，＜0，故不存在两个零点；
若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题，
；
（2）依题当时，，
，又也适合此式，
，
数列是首项为1，公比为的等比数列，故；
（3），，
，
，
，
猜想： ①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当时，①成立，即.
从而
.
故①成立.
先证不等式 ②
令，
则.
，即②成立.
在②中令，得到 ③
当时，；
当时，由①及③得：
.
证明完毕.

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