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广东省广州市执信中学天河校区2024 2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数在上单调，为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有且仅有一个零点，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设函数，则（ ）
A．有两个极大值点 B．有两个极小值点
C．是的极大值点 D．是的极小值点
10．已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．函数在上的最大值为 .
13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
14．设满足方程的点的运动轨迹分别为曲线，若曲线有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
16．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在的最小值.
17．已知函数.
（1）若函数不单调，求实数的取值范围；
（2）若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围.
18．已知函数．
（1）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；
（2）记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围．
19．已知函数，．
(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，，求实数a的值；
(3)求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意知，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值. 因此为使耗电量最小，则其速度应定为.
故选C.
2．【答案】C
【详解】．
故选C.
3．【答案】B
【详解】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选B.
4．【答案】B
【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.
故选B.
5．【答案】A
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选A.
6．【答案】D
【详解】，
因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解，
故，即，，
令，则，令，解得，
时，，时，,
所以在上单调递增，在上单调递减，，
所以，即；，
令，在上单调递增，无最值，则大小不确定，
故选D.
7．【答案】A
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选A.
8．【答案】B
【详解】因为有且仅有一个零点，又，所以为的唯一零点．
因为，因为，所以，
令，解得，令，解得，
若，因为，所以，所以此时，
在上单调递减，所以，
又，所以在上存在唯一零点，此时有两个零点，不合题意；
同理若，即时，有两个零点，不合题意，
所以，所以，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为．
故选B．
9．【答案】BC
【详解】求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项.
x 1
0 0 0
极小值 极大值 极小值
10．【答案】CD
【详解】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，
则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，
所以正棱锥的体积，其中，
令可得．
设函数则
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以则，解得．
故选CD
11．【答案】AC
【详解】令，得.
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
如图，分别作出函数与的图象，
其中直线恒过定点.
由图可知，，，
存在唯一的整数，使得，则需，
故实数a的取值范围是，
其中，，
而，，
故选AC.
12．【答案】0
【详解】，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，
故在上的最大值为0.
13．【答案】
【详解】的定义域为，.
要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.
由得，.
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.
，令得：x>1；令得：；
所以在上单减，在上单增.
当时，；当时，；
作出和的图象如图，
所以即实数的取值范围为.
14．【答案】
【详解】法一：因为，
，
依题意，曲线，曲线，
且曲线有两个交点，方程在上有两解，
即方程在上有两解，令，
所以方程有两解等价于函数的图象与的图象有两个交点.
易知直线恒过定点，斜率为，
又由得，令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，作出的图象如图所示，
设直线是的图象的切线，设切点为，
则切线斜率为，所以切线的方程为，
又直线经过点，所以，
即，解得或，所以或，
由图知，当或即或时，
函数的图象与的图象有两个交点，即曲线有两个交点，
故实数的取值范围是.
法二：因为，
依题意，曲线，曲线，且曲线有两个交点，
方程在上有两解，即方程在上有两解，
当时，，此时；
当时，即方程在上有两解，
令，则的图象与的图象有两个交点.
又，
令，则或，
当或时，单调递减，
当或时，单调递增，
又，且当时，，
当时，，当时，，
所以的大致图象如图所示，
要使的图象与的图象有两个交点，则或，
所以实数的取值范围是.
故答案为.
15．【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
【详解】（1），
，
故的图象在点处的切线为，
即；
（2）的定义域为，
由（1）知，
令得，令得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，极小值为，无极大值；
16．【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【详解】（1）由题意知的定义域为，，
①若，恒成立，所以在上单调递减.
②若，由，得，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，在单调递减，在单调递增.
①当，即时，在单调递减，
当时，有最小值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，有最小值；
③当，即时，在上单调递增，
当时，有最小值；
综上：.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意，.
，
设，，
当即时，，，
当时，，当时， ，
故函数不单调，满足题意；
当，即时，函数开口向下，因 ，
故，使得当时，，当时，，
故函数不单调，满足题意；
当时，，无解，
此时，，函数单调递增，不满足题意；
当时，的开口向上，对称轴为，
，
故在上有两个不同的零点，，
此时当或时，，当时，，
故函数不单调，满足题意；
综上可知函数不单调时，实数的取值范围为.
（2）设，由题意可知有唯一零点，
，，
设，
当，即时，，
单调递增，结合可知满足题意，
当时，，，
单调递增，满足题意；
当时，，，
设此时的两个根分别为，
则在区间上单调递增，在上单调递减，
，故，
又当时，，当时，，
故的零点不唯一，
综上可知实数的取值范围.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）函数在处有极值，
可得，解得，经检验，满足题意，
所以
当时，在单调递减；
当或时，在上单调递增，
可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为，
方程有3个不同的实根，等价为，
即有的取值范围是.
（2）在递减，可得时，，
，即为，
即
即为
即对任意且时恒成立.
所以在递减；在递增.
当在恒成立时，可得，即在恒成立，
在上单调递增，即，则.
当在恒成立时，可得，即在恒成立，
，当时等号成立，则，则.
综上可得的取值范围是.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）据题意：，，
则当时，，则在上单调递减，所以，
由于在上单调递增，则恒成立，即，故．
（2）当时，恒成立，此时，
由（1）知，当时，，符合；
当时，，，
，则在上单调递增，由于，
所以，则存在，使，则，
即在上单调递减，，即在上单调递增，
又因为，，
所以对恒成立，即在上单调递减，故．
综上，．
（3）由（2）知，对恒成立，
令，，
所以
.

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