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广西南宁市名校2024 2025学年高二下学期3月联考数学试卷
一、单选题
1．在的展开式中，第四项的二项式系数为（ ）
A．4 B． C．32 D．
2．已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确
3．在中，，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切
6．已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是
A． B． C． D．
7．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．某密码由4位数字组成，密码组成的数字中，若最大数字与最小数字之差为1则称为“好”四位密码.例如6556中最大的数字是6，最小的数字是5，它们之差为1，就是一个“好”四位密码，但这两个四位密码就不是.则这样的“好”四位密码的个数为（ ）
A．119 B．126 C．135 D．144
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．从含有3件次品的8件产品中，任意抽取5件，抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有40种
B．从含有3件次品的8件产品中，任意抽取5件，抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有40种
C．7名大学生报考三个不同的岗位，每人限报一个岗位，若这三个岗位都至少有2人报考，则这7名大学生不同的报考方法有630种
D．平面上的5条不同的直线可以只有7个不同的交点
10．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则在上单调递增
B．存在，使得是一个奇函数
C．存在，使得在定义域上只有一个零点
D．若，则的最小值为2
11．如果是的多项式，那么多项式称为的差分，用表示它.的差分叫做的二阶差分，用表示它，；又用表示的差分，叫做的三阶差分.一般地，我们定义的阶差分是它的阶差分的差分.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等差数列
C．若，则
D．若是一个关于的次多项式，当时，
三、填空题
12．在的展开式中，常数项为
13．已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是 .
14．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条.
四、解答题
15．停车场上有这3辆不同品牌的新能源车和甲 乙 丙 丁4辆不同品牌的汽油车
（1）这些车辆停成一排，若要使得新能源车之间互不相邻，汽油车之间也互不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）这7辆车从停车场分7班依次开出，其中新能源车必须第一个发车，汽油车甲不能最后一个发车，求发车方案的种数有多少？
16．数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.
18．抛物线，点为焦点，点，点是抛物线上任意不重合的两点.当线段为通径时，其长度.
（1）求抛物线及其准线的方程.
（2）若直线过点，且向量，求弦长.
（3）若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值.
19．设函数.
（1）若在定义域上单调，求参数的范围？
（2）若，判断与在处是否有公切线？若存在，则求出其公切线，若不存在，请说明理由.
（3）若当时，恒成立.求参数的范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为的展开式的通项为，
所以第四项的二项式系数为.
故选A.
2．【答案】C
【详解】由题意知：椭圆中，
所以的周长为
故选C.
3．【答案】D
【详解】设中角所对的边分别为，
因为，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，
故选D
4．【答案】C
【详解】在中，，，
则，
由正弦定理得，
所以.
在中，，
所以.
故选C.
5．【答案】A
【详解】由，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离，
因为动点在直线上运动，所以，
又圆的半径为，所以，
所以圆与圆的位置为相离.
故选A.
6．【答案】D
【详解】∵f（x）=x3+ax2+cx
∴f′（x）=ax2+2ax+c对称轴为x=-1
可排除选项B与选项C
再根据f′（x）=ax2+2ax+c与x轴交点处，函数取极值可知选项D正确
故选D．
7．【答案】B
【详解】极端原理知，要使得最大，数列的项要尽可能地小.注意到，以此类推.
且，
故的最大值为6.
故选B
8．【答案】B
【详解】最大数码为，最小数码为，于是由和这两种数字组成的四
位密码有个，
又共有9种取和的情况，
从而共有个这样的密码.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，从3件次品中抽2件，5件正品中抽三件，抽法种数是种，故错误；
对于B，分成2次3正，和3次2正两类即可，抽法种数是种.故正确；
对于C，三个岗位对应的报考人数为，故这7名大学生不同的报考方法有种.正确；
D选项：如图
故正确；
故选BCD.
10．【答案】AC
【详解】对于A：当，，因为当时，
单调递增，单调递增，所以在上单调递增，正确；
对于B：易知无论怎样取值，的定义域都不会关于原点对称.故错误；
对于C：取，可得，函数定义域为，
恒成立，故等价，解得，所以在定义域上只有一个零点，正确；
对于D：若，即，
所以需满足同时为正，同时为负，或同时为0，
又都是单调递增，
所以当时，得到，，即 时，
所以
当时等号成立，故错误.
故选AC
11．【答案】BCD
【详解】由二项式定理可知，对一个次多项式，
作一次差分
后便会得到一个n次的多项式.常值多项式作一次差分之后为0.
A选项，一次差分后为常数0，说明是一个常数，A选项错误.
B选项中的是一个一次多项式，则为等差数列,故B正确.
若，则，C选项正确；
若是一个关于的次多项式，当时，，D选项正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】的展开式通项为，
令，得，
故常数项为.
13．【答案】
【详解】，定义域为，又，
由题可知，，即，故；
故，令，解得或；
当时，恒成立，在定义域上单调递减，无极值点，不满足题意；
记为中较大的数，若两数相等，则，
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
是的极大值点，不满足题意；
当时，，，单调递减；时，，单调递增；
是的极小值点，符合题意；
综上所述，的取值范围为.
14．【答案】5
【详解】因为实轴长为，虚轴长为，所以，
双曲线为，右焦点
设直线与双曲线交于，
当直线斜率不存在时，直线方程的方程为，
令，则，得，此时弦长为，不符合题目；
当直线斜率存在时，设直线方程为
联立，可得，
，
解得且
，
解得或，过右焦点共有3条直线符合条件；
所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条.
综上，总共有5条直线符合条件
15．【答案】（1）种
（2）种
【详解】（1）将3辆不同的新能源电车进行全排，然后将4辆不同的汽油车插入新能源电车所形成的4个空位中（含两端），
由分步乘法计数原理可知，不同的排法总数为种.
（2）方法一：新能源电车A第一个发车的种数有种.
新能源电车A第一个发车，汽油车甲最后一个发车的种数有种.
故满足条件的方案共有种.
方法二：汽油车甲不能最后一个发车，有种.
还剩下5个停车位，5辆车共有种，
故一共有种.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）,
时，,
,
即.
又也适合上式
所以.
（2）由（1）得,.
所以，
所以，
即.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）平面平面，
，
平面，
平面，
又平面，
，
又平面
平面，
又平面；
（2）由（1）可知，又，
，底面为菱形，为的中点，
是等边三角形，
由（1）知，
所以四棱锥的体积.
，
如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，
平面法向量为，
设平面法向量为，
则
令，则
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为
故平面与平面的夹角为
18．【答案】（1）抛物线，准线方程：；
（2）；
（3）.
【详解】（1）因为通径长为.
所以抛物线，准线方程为.
（2）由题意知点为中点，且直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，
则直线，
联立可得，
设点，
.
于是.
（3）
因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线
由可得，则，
设，则，
因为以线段为直径的圆过点，所以，即，
即，，
将代入得则有，
所以，且，解得或.
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积.
19．【答案】（1）
（2）存在，切线方程为
（3）
【详解】（1）由得
因为在定义域上单调，所以恒成立.
∴解得
所以的范围是.
（2）由题意得
，，即.
与在处切线斜率相等，且切点为.
与在处有公切线，切线方程为，
即.
（3）令，则，
由题意时，恒成立
为成立的必要条件.
下面证明：为成立的充分条件.
把函数看作以变量为主元的函数，
于是设，
当时，可知在上单调递增，
所以有最小值为.
于是设，
下证在上恒成立.
. 则.
令
在上单调递增.
，使得.
于是即在上单调递减，在上单调递增.
.故.
于是有当时，单调递增；
时，单调递减.
因为，所以的最小值为0.
即恒成立.
综上原命题成立.
所以参数的范围为.

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