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广西壮族自治区河池市校联体2024 2025学年高二下学期4月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ）
A．9种 B．45种 C．种 D．20种
2．若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．的展开式中含项的系数为（ ）
A．60 B．40 C．20 D．15
4．已知函数在点处的切线的斜率为2，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．设随机变量X的概率分布列为
则（ ）
A． B． C． D．
6．三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
7．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：
（1） （2） （3） （4）
其中有“巧值点”的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数求导正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
10．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第3项的二项式系数为 B．常数项为160
C．所有项的系数之和为 D．所有项的二项式系数之和为64
11．已知，函数有两个极值点，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在，使得，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，其在点处的切线斜率为 ．
13．已知函数，则的最小值为 ．
14．某银行贷款年利率为r，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a,b，则a,b的大小关系是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．现有3名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答）
(1)6人一起排，有多少种不同的站法？
(2)三名女生不相邻，有多少种不同的站法？
(3)男生甲不在左端，男生乙不在右端，有多少种不同的站法？
16．已知函数在和处取得极值．
(1)求、的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17．已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性．
18．某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
(1)1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？
(2)设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列．
19．已知函数，．
(1)当时，证明：在上是增函数；
(2)若，当时，
（i）证明：；
（ii）证明：，．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种．
故选A.
2．【答案】D
【详解】
由，得，解得（舍去）
故选D．
3．【答案】C
【详解】因为，
令，，
所以的展开式中含的项的系数为.
故选C．
4．【答案】C
【详解】依题意有，.
故选C.
5．【答案】B
【详解】，
则.
故选B．
6．【答案】A
【详解】根据题意，设任取一个产品，分别来自A，B，C生产线的事件分别为A，B，C，设任取一个产品为次品为事件D，
则，，，，，，
所以
，
故选A．
7．【答案】D
【详解】依题意，事件“取到的2个数之和为偶数”，则取到的2个数都是偶数或都是奇数，
所以，，
所以.
故选D.
8．【答案】C
【详解】（1）因为，不存在使得，没有巧值点；
（2）由，令，即，得或2，有巧值点；
（3）因为，如图，
由图象知有解，有巧值点；
（4）因为，满足，有巧值点.
所以有巧值点的函数有3个.
故选C．
9．【答案】ABD
【详解】对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故正确；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确．
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，第3项的二项式系数为，故A不正确；
对于B，展开式的常数项为，故B正确；
对于C，取得展开式的所有项的系数之和为，故C正确；
对于D，由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，故D正确．
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】，由函数有两个极值点，，
故有两个变号的零点，当时不符，
所以，则、，
由，故、异号，故，即，故A错误、B正确;
，
由，故，故C正确;
，
即存在，使得，
即存在，使得且，
由，故必存在使能成立，
对于，有，
即，则，故，D错误．
故选BC.
12．【答案】7
【详解】由题意，则.
13．【答案】
【详解】由题意，
令得，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以函数的最小值为.
14．【答案】
【详解】由题按年计息：按月计息：，则令故.
15．【答案】(1)720；
(2)144；
(3)504.
【详解】（1）将6个人作全排列有种站法；
（2）将3名男生先排成一排，再把3名女生插入其中的4个空有种站法；
（3）甲在左端共有种，乙在右端共有种，其中甲在左端且乙在右端有种，
所以种站法.
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，则，
函数在和处取得极值．
，，联立解得：，．
且当，，，则，
由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意.
因此，，．
（2）由（1）知在单调递增，在单调递减，
故当时，，
要使得对任意，不等式恒成立，则需，
故，即，解得或，
的取值范围是．
17．【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)答案见解析
【详解】（1）若，，定义域为，，
当时，函数在上单调递减，
当时 ，函数 在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）函数，定义域为，．
①当时，，函数在上单调递增;
②当时，令，得，所以函数在上单调递减，
令，得，所以函数在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增;
当时，函数在 上单调递减，在上单调递增．
18．【答案】(1)3班进入决赛的可能性最大
(2)答案见解析
【详解】（1）1班进入决赛的概率为，
2班进入决赛的概率为，
3班进入决赛的概率为，
因为，
所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大.
（2）由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，，
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
19．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，，
所以，
设，则，
当时，有，所以在区间上单调递减，
当时，有，所以在区间上单调递增，
所以，即对任意的恒成立，
所以在为增函数．
（2）（i）因为，所以，，
，有，所以，
所以在单调递增，故，得证;
（ii）由（i）可知，，即
令，则，，
，
，
，
累加得．
得证.

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