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广西壮族自治区梧州高级中学等校2024 2025学年高二下学期4月阶段性检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ）
A．36 B．360 C．22 D．224
2．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ）

A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B．图1数据正相关，图2数据负相关
C．图1相关系数小于图2相关系数
D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0
5．若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
6．已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．的一个极小值为
D．在上的最大值为
10．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．数列中最大
D．数列中最小
11．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则 ， ．
13．已知函数在处可导，若，则 .
14．近年来，国内中，短途旅游人数增长显著，2024年全年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙三位同学打算去上海、成都、西安、南京四个地方旅游，每位同学只去一个地方，则上海有人去的情况有 种.
四、解答题（本大题共5小题）
15．某社区为推进智慧社区建设，给居民提供了一款手机构建智能化社区管理服务模式.为了解居民对该的满意度，从管辖范围内的某小区居民中随机抽查了200人，其中男女各占一半，得到如下表格：单位：人
使用 不使用 总计
女性 60
男性 70
总计
（1）请补全题表，并判断是否有的把握认为居民是否使用该与性别有关；
（2）从以上使用该的居民中按性别进行分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人了解居民对该的满意度，记抽取的3人中男性用户的人数为，求的分布列与数学期望.
附：（其中）.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）求在上的值域.
17．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
（1）求的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和.
18．数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图.
（1）估计中国大模型用户年龄的第60百分位数.
（2）为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.
①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；
②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列.
19．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.
（1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.
（2）已知函数.
①若是上的凹函数，求实数的取值范围；
②若在内有两个不同的零点，证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为是常数，所以，故A错误；
因为，所以B错误；
因为，所以C错误.
，D正确，
故选D
3．【答案】D
【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列，
则有，
设，则，所以，故.
故选D.
4．【答案】C
【详解】因为散点图都呈直线型，所以图1，图2两组数据都具有线性相关关系，故A正确；
图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确；
图1正相关，图2负相关，所以，故C不正确；
因为图2相关程度更强，所以，故D正确.
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即.
故选B.
6．【答案】A
【详解】易知函数定义域为，因为，
所以，令，得，
所以，即，所以的单调递增区间为，
故选A.
7．【答案】B
【详解】如图所示，因为，
所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以，所以C错误；
因为，所以D错误.
故选B.
8．【答案】B
【详解】.
令，得；令，得.
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以极小值点为1.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】由图可知，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
极小值为，在上的最大值为，
可判断BD正确.AC错误，
故选BD
10．【答案】BCD
【详解】因为，所以.
因为，所以，所以，故B正确.
所以，数列为递减数列，A错误；
又，所以，
所以时，，时，，所以数列中最大，
因为，所以，所以，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AC
【详解】因为
，
所以被2024除所得的余数为，所以.
故选AC.
12．【答案】3 81
【详解】因为，所以，.
13．【答案】
【详解】因为，
所以.
14．【答案】37
【详解】上海有人去可以分为1个人去，2个人去，3个人去三类情况.
当只有1个人去上海时，有种不同的情况；
当有2个人去上海时，有9种不同的情况；
当有3个人去上海时，有1种情况.
故有人去上海共有种不同的情况.
15．【答案】（1）列联表见解析，有
（2）分布列见解析，
【详解】（1）表格如下：单位：人
使用APP 不使用APP 总计
女性 60 40 100
男性 30 70 100
总计 90 110 200
因为，
所以有的把握认为居民是否使用该APP与性别有关.
（2）从使用该APP的居民中按性别进行分层抽样抽取的6人中，女性有4人，男性有2人，
所以可能取.
因为，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为，所以.
又在点处的切线方程为，
所以，解得，所以，
则，又切点在切线上，所以，解得，
所以，.
（2）由（1）知，则.
令，得或，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，，所以在上的值域为.
17．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）由题意知，
解得或，
当时，，，故，；
当时，，，故，
，
所以或；
（2）因为，所以.
因为，
所以，
两式相减得
，
故.
18．【答案】（1）40；
（2）①；②分布列见解析.
【详解】（1）AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，
所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内.
设AI大模型用户年龄的第60百分位数为，
则，解得，
所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.
（2）由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人.
①记至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件，
则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为.
②的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
19．【答案】（1）
（2）①；②证明见详解
【详解】（1）因为，定义域为，
所以，.
因为是上的凸函数，所以在上恒成立，
即当时，恒成立.
函数图象的对称轴为直线，
当，即时，只需时，即可，所以，
当，即时，只需时，即可，所以，
综上可得.
（2）①因为，，所以，.
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，，则.
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减.
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，，
所以方程在内有两个根，，即.
因为在上单调递增，在上单调递减，所以.
欲证，即证.
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证.
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立.
欲证，即证.
因为，所以只需证，
即证，即需证.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，则原不等式得证.
故.

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