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贵州省六盘水市纽绅中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，则（ ）
A． B．13 C．10 D．
3．已知，的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．“方程表示椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
6．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
7．函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．在数列中，，，，…，，是首项为1、公比为的等比数列，则数列的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的左 右焦点分别为，点是上的动点，则（ ）
A．
B．的离心率不可能是
C．以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切
D．存在点使得是顶角为的等腰三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系.该运动员在时的瞬时速度为 .
13．等差数列的前项和分别为和，若，则 .
14．已知函数，其导函数记为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角的对边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，，求外接圆的面积
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点
(1)证明：平面;
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值
17．对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称．
(1)已知，求函数的“拐点”的坐标；
(2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称；
(3)对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求；
(3)在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交所得弦的长度为8．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线与抛物线交于点，是抛物线上异于点的另外两点，且直线和直线的斜率之和为，判断直线是否经过一定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【详解】， ，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】复数为纯虚数，故需要
故选A.
3．【答案】C
【详解】由，得.
故选C.
4．【答案】A
【详解】方程表示椭圆，则，解得且，
因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件.
故选A.
5．【答案】C
【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.
【详解】，解得，故A正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；
质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.
故选C.
6．【答案】C
【详解】，则，则在点处的切线的斜率为，
，则，则在点处的切线的斜率为，
函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，
则，即，
故选C.
7．【答案】C
【详解】由，设，则，
由图可知直线在线段之间，不含点，
所以，得．
故选C.
8．【答案】D
【详解】由题意可得
，
所以.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B不正确；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确；
故选ACD.
10．【答案】CD
【详解】解：因为，，
所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
故选CD.
11．【答案】BC
【详解】，A选项错误；
因为，所以的离心率，B选项正确；
设，则到渐近线的距离，C选项正确；
由双曲线定义可知，若，则直线的斜率为1且点在的右支上，
由可知直线与的右支无交点，所以，若，
由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，D选项错误，
故选BC.
12．【答案】
【详解】由题设得，则，
所以运动员在时的瞬时速度为.
13．【答案】
【详解】原式.
14．【答案】2
【详解】函数，定义域为R，
则，
，
所以为偶函数，有，
令，，
为奇函数，有，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理知，，
所以，
∴，且，，
∴，.
（2）由余弦定理得，，，
∴，.
∴外接圆面积.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）分别为的中点，
为正方形，
,平面平面，
平面.
（2）由题知平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
，，，
设平面的一个法向量为
则，令则，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)关于“拐点”对称
(3)三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心
【详解】（1）由，则，则，
当时，解得，
又，所以的“拐点”的坐标是．
（2）由（1）知“拐点”坐标是，
又，
由定义②知的图象关于“拐点”对称．
（3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数．）
证明：即对任意的恒成立．
由
，
又，所以．
故结论得证．
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为①，
当时可得，即，
当时，②，
由①-②得，即，
故是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，
即，
则，
故；
（3）由（2）知，
所以有，
即，
依题意，都有不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，所以，
即的取值范围为.
19．【答案】(1)；
(2)过定点，理由见解析.
【详解】（1）由题设，抛物线焦点为，则相交弦所在直线为，
联立抛物线，整理得，令交点坐标分别为，
所以，，
由题设，而，
所以，故.
（2）直线过定点，理由如下：
令，则，即，
令，其中且均不为，则，，
又直线和直线的斜率之和为，所以，即，
直线为，
所以，显然直线恒过点.

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