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贵州省遵义市播州区2024 2025学年高二下学期联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．展开式中的常数项为（ ）
A．5 B． C．80 D．
5．现需安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加一项公益活动.若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，则不同安排方案的种数为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．180
6．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（ ）
A． B． C． D．
8．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种 B．180种 C．192种 D．168种
二、多选题（本大题共3小题）
9．某一比赛结束，3位教练和4位运动员站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若3位教练站在一起，则不同的站法有种
B．若3位教练不站在两端，则不同的站法有种
C．若3位教练两两不相邻且要求1位教练站在最左端，则不同的站法有种
D．若4位运动员按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设4位运动员的身高各不相同），则不同的站法有种
10．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆：和双曲线：，椭圆的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．若的离心率为，则的离心率为
B．若的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为
C．若点到的渐近线的距离为，则的离心率是离心率的2倍
D．若以线段为直径的圆与没有公共点，则的离心率的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设随机变量，若，则 .
13．已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为 .
14．已知集合，，集合的子集，若对于任意的，，都有，则符合条件的集合的个数为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为.
（1）求A；
（2）若，，求的面积.
16．一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球.
（1）求甲取到的2个球颜色不相同的概率；
（2）求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率.
17．如图，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，，，，平面平面.
（1）证明：.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，.
（1）求双曲线的方程.
（2）已知直线：与双曲线交于A，B两点.
（i）求m的取值范围.
（ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.
（1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.
好评 非好评 合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
（2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.
（3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题设，，则.
故选B
2．【答案】D
【详解】因为，则，可得，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【详解】由抛物线可知准线为，
设，
根据抛物线的定义可知，即，
由抛物线方程可得，即，
所以M到y轴的距离为.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由题设，展开式通项为，，
当时，有.
故选D
5．【答案】B
【详解】因为公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，
所以不同安排方案的种数为．
故选B.
6．【答案】D
【详解】由，且，都有，则在上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减，
由，则，且，
故或时，或时，
所以的解集为.
故选D
7．【答案】C
【详解】圆：的圆心为，半径，
因为直线：即为，
令，可得，即直线过定点，
根据对称性可知，直线过定点，斜率为，
则直线：，即，
则，整理可得，解得.
故选C.
8．【答案】D
【详解】先对3，4，5染色，有种方法，
若2和3同色，则不同的染色方法有种，
若2和3不同色，则不同的染色方法有种，
综上，不同的染色方法有种．
故选D.
9．【答案】BC
【详解】对于A，3位教练站在一起，可采用捆绑法，则不同的站法有种，A错误；
对于B，3位教练不站在两端，先从4位运动员安排两位站两端，剩下5人全排列即可，则不同的站法有种，B正确；
对于C，4名运动员全排列有种，3位教练两两不相邻且要求1位教练站在最左端，剩下两位教练站位，则不同的站法有种，C正确；
对于D，4位运动员按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设4位运动员的身高各不相同），只需确定教练的站位即可，则不同的站法有种，D错误．
故选BC
10．【答案】ABD
【详解】令，则，即，A对；
所以，
令，则，B对；
令，则，而，
两式作差，得，则，C错；
两式相加，得，则，D对.
故选ABD
11．【答案】AC
【详解】设椭圆、双曲线的半焦距分别为，离心率分别为，
则，，，
对于选项A：若的离心率为，则，可得，
所以的离心率为，故A正确；
对于选项B：若的一条渐近线的倾斜角为，则，
所以则的离心率为，故B错误；
对于选项C：因为，双曲线的一条渐近线方程为，即，
则点到的渐近线的距离为，整理可得，
可得，
所以的离心率是离心率的2倍，故C正确；
对于选项D：若以线段为直径的圆与没有公共点，
则，则，整理可得，
则，故D错误；
故选AC.
12．【答案】
【详解】因为随机变量，，
则，解得.
13．【答案】
【详解】由题设，则，又，所以，
所以，若，则，则，
所以在上的值域为.
14．【答案】26
【详解】假设，且任意的，，都有，
则，满足要求的集合可能如下：
、、
、、
、、
、、
、、
、、
、、
，
当，满足的有、、、、、、、、、、、、、、；
当，满足的有、、、、、、、；
当，满足的有、、；
当，不存在满足要求的集合，
综上，共有26个.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可知：，即，
整理可得，
且，则，
可得，所以.
（2）由余弦定理可得：，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以的面积.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设第一次取到红球为事件，第二次取到红球为事件，甲取到的2个球颜色不相同为事件，
则，
因为，显然事件为互斥事件，
所以.
（2）由题意可知：,
,
所以.
17．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）由四边形为正方形，即，
面面，面面，面，
所以面，又四边形为直角梯形，，，
所以可以构建如下图示的空间直角坐标系，则，
故，所以，故.
（2）显然面的一个法向量为，
若是面的一个法向量，则，
取，则，故，
所以平面与平面夹角的余弦值.
18．【答案】（1）
（2）（i）；（ii）是定值，定值为
【详解】（1）由题意可知：，且，
结合，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，，
联立方程，消去x得，
由题意得且，解得或，，
所以m的取值范围为；
（ii）由（i）可知，.
因为为双曲线的左顶点，则，可得，，
则
，
故是定值，该定值为.
19．【答案】（1）列联表见解析，有关联
（2）分布列见解析，期望为
（3）80
【详解】（1）列联表如下：
好评 非好评 合计
更换厨师前 600 200 800
更换厨师后 1600 400 2000
合计 2200 600 2800
根据列联表中数据，经计算得到，
所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个，
而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有，
则，
所以的分布列为：
1 2 3
数学期望.
（3）依题意，更换厨师后好评率为，
从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则，
于是，
由，
由，解得，而，则当时，单调递增；
由，解得，则当时，单调递减，
所以使事件“”的概率最大时的值为80.

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