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海南省三亚市第一中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题（B）
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数在处有极值，则实数（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．的展开式中，常数项等于（ ）
A． B．15 C． D．20
3．已知是等比数列的前项和，且，，则公比（ ）
A． B． C． D．2
4．现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．甲 乙 丙 丁 戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（ ）
A．36种 B．48种 C．54种 D．64种
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二项式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中只有第三项的二项式系数最大
C．展开式各项系数之和是243
D．展开式中的有理项有4项
11．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．当取得最大值时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．数列中，已知，且，则等于 .
13．某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法.(用数字作答)
14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值．
16．在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求的值；
（3）设，求数列的前项和.
17．某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，从中任选3人参加学校的义务劳动.
（1）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；
（2）设所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望.
18．已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
19．函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】解：因为，，在处有极值，
所以，所以，解得.
经检验当时，，
当或时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处有极大值，满足题意.
故选D
2．【答案】B
【详解】二项式的通项为，
即 ，
令，解得.
可得常数项为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由题可知，，故，故.
故选C.
4．【答案】C
【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法，
然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有，
最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法，
根据分步计数原理可知排法种数为，
故选C.
5．【答案】C
【详解】分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下3人有种可能，
所以5人的名次排列有（种）不同情况，
故选C.
6．【答案】B
【详解】
如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，.
又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知，
，，
所以.
故选B．
7．【答案】D
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选D.
8．【答案】C
【详解】由于在上单调递增，所以在上恒成立，故在上恒成立，
由于当且仅当 时取等号，所以 ，
故选C
9．【答案】ACD
【详解】对A，因为随机变量服从两点分布，且，所以，
所以，所以，故A正确；
对B，，故B不正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】因为知二项式的二项式系数和为，所以，即，故A正确；
因为，所以二项展开式有6项，所以展开式的第三项和第四项的二项式系数均为最大值，故B错误；
令，，所以展开式各项系数之和是243，故C正确；
二项式展开式的通项为，，
所以、、时，为有理项，即展开式中的有理项只有项，故D错误.
故选AC
11．【答案】BC
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得：，
，
即，，且，即B、C正确；
因，故数列是递减数列，故A错误；
因，，即当取得最大值时，，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以
13．【答案】
【详解】按照1：3的比例，共有种分组方案；
按照2：2的比例，共有种分组方案；
则共有种分配方案
14．【答案】
【详解】由有两个零点，故有两个实数根，
记，则，
当和时， ，
当时，，
故在单调递减，在单调递增，
作出函数的图象如下：
由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，
故实数的取值范围
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1），，，
则有，化简得，
即的图象在点处的切线方程为；
（2），则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，
又，，
故在区间上的最大值和最小值分别为、.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）设数列的公差为，由题意得，
所以的通项公式为.
（2）依题意得，则，得.
（3）由，得，
则.
17．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）解：设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”
则，，
∴
（2）解：依题意的所有可能取值为0，1，2，3
所以，，
，，
∴的分布列为
0 1 2 3
所以
18．【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【详解】（1）由题设，则，整理得，
又，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.
（2）由，则，
所以，
所以，
所以.
19．【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【详解】（1）依题意，，定义域为，
，
令得，
当时，，所以函数在上单调递减，；
当时，，所以函数在上单调递增.
故函数有极小值，极小值为，无极大值.
（2）因为，即恒成立，
令，
则.
令，
则，即在上单调递减.
又，故当时，，所以函数在上单调递增；
当时，所以函数在上单调递减，
所以，
又恒成立，即，
所以的取值范围是.

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