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河北省沧州市任丘市第一中学2024 2025学年高二下学期阶段考试（一）数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．计算的值为（ ）
A．24 B．32 C．33 D．34
2．的展开式中的系数为（ ）
A．6 B．-6 C．4 D．-4
3．若离散型随机变量的分布列如下图，则常数c的值为（ ）
X 0 1
P
A．或 B．
C． D．1
4．现在从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同的安排方法的种数是（ ）
A．120 B．1440 C．2880 D．7280
5．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．45种 B．90种 C．150种 D．240种
6．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量的分布列如表
-1 0 1
P
若，则（ ）
A．或 B．或 C． 或 D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
10．下列命题中正确的是（ ）
A．已知服从正态分布，且，则
B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3
C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25
D．已知其中，则
11．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ）
A．X的分布列为
B．X的期望
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．的二项展开式的第二项为 ．
13．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望为 .
14．已知集合为从到函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
（1）唱歌节目排在两头，有多少种排法
（2）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法
（3）唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法
16．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.
（1）求取出的3个球中有2个白球的概率；
（2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.
17．在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数之比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中系数最大的项是第几项.
18．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
19．年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选.
2．【答案】D
【详解】解：的展开式的通项公式为：，
当时，则有，则的系数为：.
故选D
3．【答案】C
【详解】由题意，解得．
故选C．
4．【答案】B
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选B
5．【答案】C
【详解】5名学生分成三组的情况有或，
当为时，则不同的安排方法有种，
当为时，则不同的安排方法有种，
所以，一共有种方法.
故选C.
6．【答案】A
【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得：.
所以奇数项的二项式系数和为.
故选A.
7．【答案】A
【详解】因为，所以，
由得：，
所以由全概率公式得：，
故选A
8．【答案】B
【详解】由题意得，即①，
，，
又因为，所以②，
联立①，②，解得，所以，
当时，；当时，，
故，解得或.
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种，女生的选法有种，所以共有种不同的选法.故A正确.
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，
有种不同的选法，故B正确.
对于C，在10人中任选4人，有种不同的选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故C正确.
对于D，在10人中任选4人，有种不同的选法，只有男生的选法有种， 10人中任选4人不可能全是女生，故4人中必须既有男生又有女生的选法有种，故D错误.
故选.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，，，解得：，B正确；
对于C，，，，
，C错误；
对于D，，，
当时 ，，D正确.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】对A，由题意随机变量服从超几何分布，即，
所以，故A错误；
对B，根据超几何分布的方差的计算公式：，故B正确；
对C，根据全概率公式，，故C错误；
对D，根据条件概率，可得，故D正确.
故选BD
12．【答案】
【详解】由题设，展开式通项为，，
所以，第二项为.
13．【答案】/
【详解】的可能取值为1，2，3，
则，，，
则
14．【答案】
【详解】解：因为有两个不同的实数根，所以有两个元素与对应，有种情况；
然后集合中剩下的个元素，每个元素对应到中都有种对应形式，则有种，故函数个数为种.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）先排唱歌节目有种排法，再将剩下的5个节目全排列有种方法，故共有种排法.
（2）将三个舞蹈节目看成一个整体，优先排列有种排法，
在将剩下4个节目全排列，有种排法，
最后将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排列时产生的不含两端的3个空中，有种排法，
故共有种方法.
（3）将唱歌节目、舞蹈节目分别看成整体优先安排有种排法，
再将小品分别放入排舞蹈，歌曲时产生的三个空中有种排法，
则共有种排法.
16．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）所求概率为
（2）X可能的取值为0，1，2.
，
.
故X的分布列为
0 1 2
故.
17．【答案】（1）12
（2）
（3）5
【详解】（1）二项式展开式的通项公式为，
由展开式第1项和第2项的二项式系数之比为，得，解得；
（2）由（1）知，
令，则，
故常数项为；
（3）设第的系数最大，则，解得，
而r为自然数，即，故展开式中系数最大的项是第5项.
18．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望；
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则，
且，
由题意可知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)可知：
.
19．【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由全概率公式求解即可；
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出；
记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学期望，由题意可得，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．
，
即学生甲该题得分的概率为．
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，
， ，
，
所以的分布列为
则数学期望．
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，
解得：，故的取值范围为．

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