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河北省承德第一中学
2024--2025学年第二学期高二数学4月份月考试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在的展开式中，的系数是（ ）
A. 10 B. 20 C. 60 D. 80
2.函数单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
3.在数列中，若，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 1
4.已知函数在处的导数为，则（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
5.化简结果为（ ）
A. B. C. D.
6.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）．
A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法
D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
10.设等差数列的前n项和为Sn，且S4＝S5，S6＝21，若＋＋…＋<λ恒成立，则λ的值不可以是(　　)
A. 1 B. 0 C. －1 D. 2
11.已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当时， D. 当时，
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.在杨辉三角中，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是________；若第n行从左到右的第12个数与第13个数的比值为，则n＝________.
第0行　　　　　　　　　　　　1
第1行　　　　　　　　　　　1　　1
第2行　　　　　　　　　　1　　2　　1
第3行　　　　　　　　　1　　3　　3　　1
第4行　　　　　　　　1　　4　　6　　4　　1
13.用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.
14.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
16.(本小题15分）已知函数f(x)＝x2＋2alnx－(a＋2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使函数g(x)＝f(x)＋ax＋x3在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列前项和为；
（3）设求数列的前项和.
18.(本小题17分）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间.
（2）求函数的极值.
（3）若时，，求实数的取值范围.
19.(本小题17分）已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数单调性；
（3）当时，求证：．
参考答案：
1.【答案】D
【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，
所以，所以项的系数为.
2.【答案】C
【解析】因为，所以，
令，则，所以函数的单调减区间为.
3.【答案】C
【解析】因为，，故，，，
故以3为周期的周期数列，而，故，
4.【答案】A
【解析】因为函数在处的导数为，所以，
所以，
5.【答案】D
【解析】
，
6.【答案】C
【解析】，设函数任意一点
∵所以在点处切线的斜率为，因为，所以，
又点P处切线的倾斜角为α，∴，又∵，∴．
7.【答案】A
【解析】由题意得：
由可得，或，
若，即时，当或时，，即在和上单调递增；当，，在上单调递减，故在处取得极小值，符合题意；当时都不成立.当时，在处取得极小值，故取值范围是.
8.【答案】D
【解析】由，可得，
由曲线在这两点处的切线都与直线平行，可知
故有，设，则，
可知当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增；
，当，
由题意，有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
，解得，所以实数的取值范围是.
9.【答案】BCD
【解析】对A：甲、乙、丙站前排，所以全排列有种排法，丁、戌站后排，全排列有种排法，所以共有种排法，故A错误；
对B：若甲、乙站一起且甲在乙的左边，则甲、乙两人有一种排法，然后将甲、乙看作一个元素，则5人一共有4个元素，则全排列共有种排法，故B正确；
对C：5人站成一排，甲不在两端，则先从除甲以外的四人中选2人先排在两端，有种排法，再排中间三个位置，共有种排法，所以一共有种排法，故C正确；
对D：5人站成一排，有种排法，
则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；
甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；
甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；
则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确.
10.【答案】BC
【解析】设等差数列的公差为d，因为S4＝S5，所以4a1＋d＝，
整理得12a1＋18d＝10a1＋20d，即a1＝d，由S6＝21，可得6a1＋d＝21，
即6a1＋15d＝21，所以a1＝d＝1，所以Sn＝n＋＝，
所以＝＝－，
所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，
因为＋＋…＋<λ恒成立，所以λ≥1.
11.【答案】BC
【解析】根据所给的不等式特征，构造函数，
则，因为，所以，所以在单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，则时，为偶函数，
由偶函数的对称性可知，在单调递增，
所以，即，所以，B选项正确；
当时，因为，所以，故，C选项正确；
当时，，故，D选项错误；
由B，D选项知，，故，A选项错误.
12.【答案】36　27
【解析】依题意，得第9行从左到右的第3个数是C＝＝36.
∵第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，∴＝，即＝＝，解得n＝27.
13.【答案】72
【解析】用3种颜色涂色，1和5同色，2和4同色，有种涂法，
用4种颜色涂色，1和5同色或2和4同色，有种涂法；
综上所述：共有种涂法.
14.【答案】
【解析】定义域为，函数有两个不同的零点，即在上有两解，故有两个不同的根，令，与两函数有两个交点，因为，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，需要满足.
15.【答案】解：（1）二项展开式的通项公式为，，
二项式系数最大为，即为中间项，；
（2），，
当时，为整数，该项为有理项，
所以取值集合为；
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数绝对值最大的项为第项和第项.
16.【答案】解(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋2lnx－3x(x>0)．
所以f′(x)＝x＋－3＝＝.
令f′(x)>0，则02，
令f′(x)<0，则1所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)．
(2)存在a∈满足题意．理由如下：
因为函数g(x)＝f(x)＋ax＋x3＝x2＋2alnx－2x＋x3，x>0，
所以g′(x)＝x＋－2＋x2.
要使函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g′(x)＝x＋－2＋x2≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即4x3＋3x2－6x＋6a≥0，
即a≥－在(0，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝2x2＋x－1＝(2x－1)(x＋1)，
所以当x∈时，h′(x)<0，
h(x)在上单调递减；
当x∈时，h′(x)>0，
h(x)在上单调递增．
所以x＝是h(x)的极小值点，也是最小值点，
且h＝－，
所以－在(0，＋∞)上的最大值为，
所以a≥.
所以存在a∈，满足题意．
17.【答案】解：（1）根据题意，由于，则①；
又有，，成等比数列，则②，
联立①②且，
解得，，
则，
故数列的通项公式为.
（2）因为
，
所以
，
则；
（3）因为，
所以③，
④，
则③-④得，
综上可知.
18.【答案】解：(1)当时，函数，所以，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)，
当时，所以函数在上单调递增，无极值，
当时，令，则；令0，则,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值，
所以当时，函数无极值，
当时，函数有极小值，无极大值.
(3)因为，所以，
当时，，即，
所以在上单调递增，而，所以符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，则，
所以在单调递增，且，
所以.
综上所述,实数的取值范围是.
19.【答案】解：（1），则，
由已知，解得；
（2）.
（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（3）方法一：
等价于,
当时，,
令,
令，则在区间上单调递增,
∵，
∴存在，使得，即,
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增,
∴,
∴，故.
方法二：
当时，,
,
令，则，
令，则,
当时，；当时，,
∴在区间上单调递减，上单调递增．
∴，即,
∴.

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