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河北省张家口市第一中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．的展开式的常数项为（　　）
A．210 B．252
C． D．
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．的展开式中，的系数为
A． B． C． D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）
A．12 B．18 C．30 D．60
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数有两个极值点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则 .
13．从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在，，三块不同的土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有 种.
14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.
(1)将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？
(2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？
16．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128.
(1)求展开式中的系数；
(2)求展开式中有理项
17．已知函数在时取得极值13.
(1)求，的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
18．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若在上的最小值为10，求a的值．
19．已知，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)讨论在上的零点个数，并证明.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为为常数，所以，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，所以切点为，
又，所以切线斜率，
故的图象在点处的切线方程是，
即．
故选B.
3．【答案】C
【详解】对于二项式，根据二项式展开式通项公式得： ，
对进行化简： ，
令， 解得．
将代入到中可得：
故选C．
4．【答案】C
【详解】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中，
由图象可得时，，当时，，所以是极小值点，
当时，，所以不是极值点，
当时，，所以是极大值点，
时，，所以是极小值点，
故极小值点的个数为2.
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为展开式中，，的系数分别为，所以的展开式中，的系数为,故选B.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
6．【答案】D
【详解】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，
所以，
所以当或时，；当或时，．
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选D.
7．【答案】C
【详解】若选出3人有1名医生，2名护士，则不同的选法种数为；
若选出3人有2名医生，1名护士，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为.
故选C.
8．【答案】A
【详解】因为．
构造函数，则，
当时，单调递增，
所以，
所以．
故．
故选A.
【方法总结】利用指数函数、对数函数的性质比较大小的题目，常用的方法：
（1）作差法；
（2）作商法；
（3）利用函数的单调性（指数和对数经常化为同底）；
（4）图象法；
（5）构造中间量法，比如和0，±1进行比较.
9．【答案】BD
【详解】设，
对于A：，故A错误；
对于B：是展开式中的系数，
由二项式展开式的通项为，，
取，得的系数为，即，故B正确；
对于C：因为，
所以，故C错误；
对于D：，
所以，故D正确．
故选BD
10．【答案】CD
【详解】由，可得．
对于A：由，可得：为常数，
令，则，所以，则在上是减函数，故错误；
对于B：由可得：，为常数，
令，则，所以，则在上是增函数，故错误；
对于C，由可得：，为常数，
令，则，所以，
由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故正确；
对于D，由可得：，为常数，
令，则0，所以，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故正确．
故选CD．
11．【答案】BCD
【详解】由函数，可得，
要使得函数有两个极值点为，可得，解得，
且为方程的两根，可得，所以A不正确，B正确；
又由当时，；当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，且，
可得，，所以C、D正确.
故选BCD.
12．【答案】11
【详解】根据题意知，所以.
13．【答案】48
【详解】若黄瓜种在或上，则不同的方法有种；
若黄瓜不种，则不同的方法有，
所以不同的种法共有种.
14．【答案】
【详解】由，可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是.
15．【答案】(1)120
(2)14
【详解】（1）男生3名，女生3名站成一排，共有种，又因为3名男生从左到右的顺序一定，
所以不同的排法种数为种；
（2）从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有种.
16．【答案】(1)448；
(2)，，，．
【详解】（1）因为各项的二项式系数之和为128，根据二项式系数之和的性质，可知，即，所以．
在中，则其展开式的通项公式为：
令，解得．
将代入到通项公式的系数中，可得，即展开式中的系数448．
（2）当为整数时，该项为有理项．
因为且，则
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以展开式中的有理项为，，，．
17．【答案】(1)，.
(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题可得，
，，
解得，.
（2）由（1）知，令，
解得，，
当时，，
所以的单调递增区间为，，
当时，，所以的单调递减区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为.
18．【答案】(1)答案见解析.
(2)或.
【详解】（1）的定义域为．
当时，在上单调递增．
当时，令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增．
综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，舍去．
当时，在上单调递增，所以，舍去．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，符合题意．
当时，在上单调递减，所以，
解得，符合题意．
综上，或．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)有2个零点，证明见解析
【详解】（1），则，
设，则，
所以在上单调递减，且，
故，即.
故当时，；
（2）由（1）知，
在R上单调递减，且，
所以使得，即，
所以，，即；，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，；当时，，
所以，
又函数在上单调递增，
所以在上单调递增，且，则，
所以在R上有2个零点；
由，，
得，
即，所以.

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