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河南省开封市五校2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ）
A．56 B．15 C．28 D．30
2．函数在处的导数等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A． B． C． D．
4．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一 创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港 澳门.访问期间，甲 乙 丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲 乙 丙互不相邻，则不同的排法有（ ）
A．2880种 B．1440种 C．720种 D．360种
5．函数的极小值点为（ ）
A． B． C．0 D．1
6．某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．21 B．30 C．42 D．60
7．已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ）
A．61个 B．65个 C．68个 D．71个
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则满足不等式的的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是函数的极值点，则（ ）
A．有3个零点
B．当时，
C．曲线关于点对称
D．过点与曲线相切的直线有2条
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有 种．
14．设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
（1）求曲线在点处切线的方程；
（2）求函数的极值．
16．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
17．已知等差数列满足成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值．
19．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．
(1)求的值；
(2)证明：对；
(3)已知数列的前项和，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】不同的选择种数为.
故选B.
2．【答案】A
【详解】函数，求导得，所以.
故选A
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选B
4．【答案】B
【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲 乙 丙插在4名青少年中间有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选B.
5．【答案】C
【详解】，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值点为0．
故选C
6．【答案】C
【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法.
故选C
7．【答案】C
【详解】易知的定义域为，又，
由题意可知在上有解，即在上有解，
可得，所以．
故选C．
8．【答案】D
【详解】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，
因为都比大，所以只能为，或.
当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，
所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”；
当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，
剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”；
当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法，
剩余2个数为，共有6个“数列”.
综上所述，满足条件的“数列”共有个.
故选D.
9．【答案】AB
【详解】因为，
所以，
即，又，
所以或4.
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】对于A选项，令，得，故A正确；
对于B选项，令，得，故B错误；
对于C选项，令，得，故C错误；
对于D选项，将，两式相加，
得，即，故D正确.
故选AD
11．【答案】CD
【详解】，则，解得，
则，
当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，极大值为，
所以有1个零点，A错误；
由，得，所以，
又在上单调递增，所以，故B错误；
因为，
所以曲线关于点对称，C正确；
设过点的直线与曲线相切于点，
所以切线方程，
将点代入切线方程为，
整理得，即，解得，或，
过点的直线与曲线相切于点或，
因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．
故选CD．
12．【答案】
【详解】由，得，
所以，
解得．
13．【答案】18
【详解】抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.
所以满足要求的抽取方法共有（种）.
14．【答案】
【详解】，设，则，
所以，，所以，
因为与的图象若恰有3组对称点，
所以有三组解，可得即有三个解，
令，即函数与的图象有3个不同的交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以，，
所以.
15．【答案】（1）
（2）极小值为，极大值为13
【详解】（1）由，
得，
因为，所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
（2）令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
3
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又，所以函数的极小值为，极大值为13．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
（2）因为，
易知：展开式第四项二项式系数最大，
即,
所以展开式中二项式系数最大的项.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为数列为等差数列，则，即，
又因为成等比数列，则，
联立方程，解得或，
且，则，可知公差，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得：，
所以.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）当切线的斜率不存在时，易知点的坐标为或，
若点的坐标为时，则直线的方程为，
联立可得，不妨取点、，
此时，；
当切线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
易知圆的圆心为原点，半径为，
因为直线与圆相切，则，可得，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时，，且，
因此，面积的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）由，得，
因为函数的极值点为0，所以，解得．
若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以0是函数的极值点．
综上所述，．
（2）证明：令，则．
因为，在上单调递增，，
所以，使得．
当时，单调递减；
当时，单调递增．所以的极小值为，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即．
所以，即．
（3）证明：当时，，
当时，，满足上式，
所以．
由（2）知对，即，
取，则，所以，即．
所以．

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