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浙江省台州市临海市2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
1．（2024八下·临海期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此即可得到答案.
2．（2024八下·临海期末）长度（单位：）如下的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）．
A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，12，13
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，则不能构成三角形，故A不符合题意；
B、，则不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、，则能构成直角三角形，故C符合题意；
D、，则不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形两小边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，再结合三角形三边关系即可求解.
3．（2024八下·临海期末）在中，若，则的度数是（　　）
A．70° B．110° C．120° D．140°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°
∴∠B＝180°-70°＝110°
故答案为：B
【分析】
平行四边形内对角相等，同旁内角互补。
4．（2024八下·临海期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，所以A选项错误；
B.为最简二次根式，不能进行加减运算，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误；
综上所述，本题答案为：C.
【分析】本题为二次根式的运算，需要注意区分乘除运算和加减运算，并且注意最终结果需要化为最简二次根式.
5．（2024八下·临海期末）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵点，在一次函数的图象上，
∴，
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】将A，B坐标代入一次函数解析式中求出的值，然后再作差与0比较即可得到答案.
6．（2024八下·临海期末）下面4种方法中，能判定一个四边形为菱形的是（　　）
A．测量两组对边是否分别相等
B．测量两条对角线是否互相垂直平分
C．测量其中三个内角是否都为直角
D．测量两条对角线是否相等
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B符合题意；
C、三个内角是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；
D、对角线相等不能得出四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形的判定定理，逐项进行判断即可.
7．（2024八下·临海期末）a国，b国，c国人口的年龄分布直方图分别如下图所示．如果对这三个国家人口的平均年龄，，进行排序，正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据a国，b国，c国人口的年龄分布直方图，得，
故答案为：A．
【分析】观察a国，b国，c国人口的年龄分布直方图，可知a国的人口分布集中在中老年群体，即直方图的峰值偏右，表明其人口年龄结构较老，平均年龄较大；b国的人口分布较为均匀，从年轻到老年各年龄段人口比例相对均衡，表明其平均年龄位于中等水平；c国的人口分布集中于年轻群体，即直方图的峰值偏左，表明其人口年龄结构较年轻，平均年龄较小，据此即可得出答案．
8．（2024八下·临海期末）甲、乙两位同学拿着容积相同的两个空水杯（如图所示）同时在饮水机接满水，下列函数图象中，表示接满水过程中水杯内水的高度（单位：）随接水时间（单位：）变化规律的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得，甲同学水杯的底面积小，乙同学水杯的底面积大，甲同学水杯的高度大于乙同学水杯的高度，
∴甲同学水杯内水的高度上升的更快，
∵两个水杯的容积相同，
∴甲乙同学水杯同时接满水，即同一时间到达水杯的最大高度，
故答案为：B．
【分析】根据甲乙同学水杯的底面积大小，得甲同学水杯的高度大于乙同学水杯的高度，从而得甲同学水杯内水的高度上升的更快，进而结合两个水杯的容积相同，得同一时间到达水杯的最大高度，据此逐项进行判断可得到答案.
9．（2024八下·临海期末）如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（　　）．
A．周长为8，面积为8 B．周长为8，面积为6
C．周长为，面积为8 D．周长为，面积为6
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
图案由四张形状大小相同的六边形纸片拼成，拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，
，，，，，
，
，
外轮廓是每个内角都相等的八边形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
这个图案外轮廓的周长为，
这个图案外轮廓的面积为，
故答案为：D．
【分析】先证明是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出的值，从而求出这个图案外轮廓周长，进而再求出这个图案外轮廓的面积.
10．（2024八下·临海期末）已知直线与直线，（其中，）在同一平面直角坐标系内，有两点，分别在，上．下列结论中正确的有（　　）．
①两条直线的交点在第一象限；②两条直线的交点在直线上；③；④直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上．
A．①② B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：①联立，
解得：，
∴两条直线的交点为，
∴当，即时，有两条直线的交点在第四象限，故①错误；
②∵两条直线的交点为，
∴两条直线的交点在直线上，故②正确；
③将点，分别代入，，得：，
∴将代入，得，
∴，
∴，故③正确；
④令，可得直线，与x轴的交点分别为，
∴直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上，故④正确；
综上所述，结论正确的有②③④，
故答案为：D.
【分析】联立两直线解析式可求出两条直线的交点为，从而可知当，即时，有两条直线的交点在第四象限，即可判断①错误；根据所求出的两条直线的交点直接判断②正确；将点，分别代入对应直线解析式，然后消去n进行整理，即可判断③正确；直接求出直线，与x轴的交点，即可判断④正确.
11．（2024八下·临海期末）　 　．
【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：7．
【分析】直接根据二次根式的性质（），即可求解.
12．（2024八下·临海期末）命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是　 　．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．据此可直接把一个命题的条件和结论进行互换，即可求解.
13．（2024八下·临海期末）如图是甲乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是　 　（填“甲地”或“乙地”）．
【答案】甲地
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 根据题意，得甲地的日平均气温的方差大，
故答案为：甲地 ．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
14．（2024八下·临海期末）如图的曲线反映了某一变化过程中变量随变量变化的函数关系，在这一变化过程中，随的增大而减小的的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据函数图象得：当或时，随的增大而减小，
故答案为：或．
【分析】本题考查了函数的性质，直接结合函数图象，观察函数图象与x轴的交点，结合函数增减性即可得到答案.
15．（2024八下·临海期末）如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则　 　．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：画函数和图象如下图：
∴由图象可知，当直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先画出函数和的图象，结合函数图象，可知当把直线向下平移，使直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，然后将点代入中，即可求出的值.
16．（2024八下·临海期末）如图，正方形纸片的边长为6．E，F分别是对边，上的点，．把正方形纸片沿着直线对折，点C，D的对应点分别是点，．若，则交叠而成的五边形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接并延长交于点，连接，过点作于点，
∴，
∵四边形是正方形，且边长为6，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，有，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴过的中点O，
∵折叠的性质，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
同理可得，
∴五边形的周长为，
故答案为：．
【分析】连接交于点，连接并延长交于点，连接，过点作于点，结合正方形的性质易证四边形是矩形，得的值，利用勾股定理求出的值，然后证出，得，，结合正方形的性质可知过的中点O，根据折叠的性质得的值，接下来证出，得的值，从而得的值，进而可证出，得，根据等腰三角形的判定得，最后设，则，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可得的值，同理可求出的值，据此即可求解.
17．（2024八下·临海期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的性质进行化简，同时进行二次根式的除法运算，最后进行二次根式的加减运算即可.
18．（2024八下·临海期末）已知一次函数（k为常数，）的图象经过点和两点．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）当时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，有，
解得：，
当时，有，
解得：，
对于，随的增大而增大，
∴当时，自变量的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）求出当时，的值，再结合一次函数（k为常数，） 的增减性：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，据此即可得出答案．
（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图象经过和两点，
∴，
解得：，
∴该一次函数的表达式为；
（2）解：在中，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
对于，随的增大而增大，
∴当时，自变量的取值范围为．
19．（2024八下·临海期末）如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点作于，
由（1）得，，是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及垂直的定义，，从而得证，进而得，，然后根据平行线的性质求出，同时求出，于是得出，即可根据等边三角形的判定得证结论；
（2）过点作于，先推出是的中位线，然后根据三角形中位线定理得，接下来根据等边三角形的性质得，，从而求出，进而利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解.
（1）证明：由题意得：
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴是等边三角形
（2）解：作，如图所示：
由（1）可得：
∴是的中位线
∴
∵，
∴
∴
∴
20．（2024八下·临海期末）某安保巡逻艇在相距的上游码头和下游码头之间沿着笔直的航线来回巡逻，巡逻艇从码头顺流而下到达下游码头需要小时，从码头向码头逆流而上需要小时到达，在顺流巡逻和逆流巡逻两个阶段分别匀速航行．
（1）巡逻艇从码头出发到码头，再回到码头，在这样一个往返的巡逻过程中，设巡逻艇的巡航时间为小时，它与码头相距千米．求与之间的函数解析式．
（2）在（）的巡逻过程中，当为何值时，巡逻艇与码头相距？
【答案】（1）解：∵巡逻艇从码头顺流而下到达下游码头需要小时，从码头向码头逆流而上需要小时到达，
∴巡逻艇顺流巡逻的速度为，逆流巡逻的速度为，
∴当时，，
当时，，
综上所述，与之间的函数解析式 为：；
（2）解：把代入，得，
解得：；
把代入，得，
解得：；
∴当或时，巡逻艇与码头相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出巡逻艇顺流巡逻和逆流巡逻的速度，然后分和两种情况进行求解即可；
（2）把分别代入（1）中所得的函数解析式求出的值即可得到答案.
（1）解：由题意可得，巡逻艇顺流巡逻的速度为
逆流巡逻的速度为，
∴当时，，
当时，，
综上，；
（2）解：把代入得，，
解得；
把代入得，，
解得；
∴当或时，巡逻艇与码头相距．
21．（2024八下·临海期末）某校八年级有男生人，女生人，为了解八年级男生、女生一分钟跳绳情况，随机抽取了名男生和名女生进行测试，记录一分钟跳绳成绩（满分分）如下：
成绩（分）
女生人数（个）
男生人数（个）
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
女生
男生
根据以上统计信息，回答下列问题；
（1）表中____________，____________；
（2）请估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有多少人？
（3）请通过数据分析，比较该校八年级男生、女生跳绳成绩整体水平（要求从两个不同的角度说明推断的合理性）．
【答案】（1），；
（2）解：（人），
∴估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有人；
（3）解：八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好，理由如下：
∵八年级男生跳绳成绩的众数和女生相同，但平均数和中位数都高于女生，且方差低于女生，
∴八年级男生整体水平更好而且更稳定，则八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得（分），
将名男生的数据按照从大到小的顺序进行排列，可得中位数为第和第个数的平均数，
∴（分），
故答案为：，.
【分析】（1）根据平均数的计算以及中位数的定义进行求解即可；
（2）先分别用八年级男、女生人数乘以其满分的人数所占比，再求和即可求解；
（3）从平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析即可求解.
（1）解：由题意可得，（分），
∵有名男生，
∴数据按照从大到小的顺序排列，中位数为第和第个数的平均数，
∴（分），
故答案为：，；
（2）解：（人），
答：估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有人；
（3）解：八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好，理由如下：八年级男生跳绳成绩的众数和女生相同，但平均数和中位数都高于女生，方差低于女生，说明八年级男生整体水平更好而且更稳定，所以八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好．
22．（2024八下·临海期末）求证：连接三角形任意两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．
（要求：画出图形，写出已知、求证、证明．）
【答案】已知：如图，点分别是的边的中点，连接，
求证：且．
证明：如图，延长到，使，连接、、，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】延长到，使，连接、、，先证出，得，，然后根据平行线的判定得，于是根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得到，，进而可得且.
23．（2024八下·临海期末）小张使用手机的时间比较多．他的手机在纯充电时（只充电不使用）电池电量的变化如图所示，手机的剩余电量与连续使用时间的部分数据如下表：
连续使用时间（） 0 30 60 90 120
手机剩余电量（） 100 95 90 85 80
假设手机耗电量一直满足表中规律，手机剩余电量为时必须充电，否则会自动关机．
（1）请用适当的函数表达式描述手机剩余电量与连续使用时间之间的关系．
（2）小张的手机在早上充满电，连续使用手机，他最迟在什么时间进行充电，才能保证手机不会自动关机？
（3）在一次外出放行过程中，他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量．在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电，问：他上火车后最多可以连续使用手机多长时间（精确到1分钟）？
【答案】（1）解：由表中数据可知：每连续使用，电量下降，
∴手机剩余电量与连续使用时间之间的关系符合一次函数的关系，
∴设手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为，
将代入关系式，得，
解得：，
∴手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为；
（2）解：由（1）知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为，
∴当时，有，
解得：，
，
∴，
∴他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机；
（3）解：根据函数图象可得，电量从，纯充电到电量满需要，
∴设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，
根据题意得：，
解得：，
∴他上火车后最多可以连续使用手机．
【知识点】一元一次方程的其他应用；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据表中数据得到每连续使用，电量下降，可知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系符合一次函数的关系，然后利用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）利用（1）中关系式，求出电量为时，连续使用的时间即可得出结果；
（3）根据函数图象可得，电量从，纯充电到电量满需要，设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，根据“ 他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量，在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电 ”列出方程求解即可．
（1）解：根据题意得：每连续使用，电量下降，符合一次函数的性质，
设手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为，
将代入，
则，解得：，
手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为；
（2）解：由（1）知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为；
则当时，则，解得：，
，则，
他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机；
（3）解：根据函数图象可得，电量从，纯充电到电量满需要，
设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，
根据题意得：，
解得：，
答：他上火车后最多可以连续使用手机．
24．（2024八下·临海期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值．
探究：
（）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形．
（）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值．
拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值．
【答案】解：（1）如图，点即为所求，
∵关于对称，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，
∴，
设四边形的周长为C，
∴，
∴当点共线时，周长最小且为长，如下图：
∴由对称的性质得，
∵，
∴，
∴设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
同（1）得点共线，
同理可证：，
∴当四边形的周长最小时，它是平行四边形；
（3）由（2）得四边形周长最小时即为长，
由对称的性质得：，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴四边形周长最小值为20；
拓展：如图，作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，
由对称的性质得，
∴四边形的周长，
∴当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，如下图：
同（1）得四边形周长取得最小值，此时点三点共线，
由对称的性质得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）作点关于的对称点，连接，与相交于点，则根据对称的性质得，从而得，进而根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，然后证出，得，结合对顶角相等的性质可证得；
（2）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，则，设四边形的周长为C，于是得，当点共线时，周长最小且为长，由对称得，而，设，则，而，同理可得，故，因此，则，同理可证：，故当四边形的周长最小时，它是平行四边形；
（3）由对称的性质得：，，由，，得，，故在中，由勾股定理得，据此即可求解；
拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，由对称的性质得，故四边形的周长为，当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，四边形周长取得最小值，此时点三点共线，由对称的性质得：，，，，可证明，继而推出，则，，于是有为的中位线，由三角形中位线定理得到，故．
1 / 1浙江省台州市临海市2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
1．（2024八下·临海期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2024八下·临海期末）长度（单位：）如下的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）．
A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，12，13
3．（2024八下·临海期末）在中，若，则的度数是（　　）
A．70° B．110° C．120° D．140°
4．（2024八下·临海期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·临海期末）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2024八下·临海期末）下面4种方法中，能判定一个四边形为菱形的是（　　）
A．测量两组对边是否分别相等
B．测量两条对角线是否互相垂直平分
C．测量其中三个内角是否都为直角
D．测量两条对角线是否相等
7．（2024八下·临海期末）a国，b国，c国人口的年龄分布直方图分别如下图所示．如果对这三个国家人口的平均年龄，，进行排序，正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2024八下·临海期末）甲、乙两位同学拿着容积相同的两个空水杯（如图所示）同时在饮水机接满水，下列函数图象中，表示接满水过程中水杯内水的高度（单位：）随接水时间（单位：）变化规律的是（　　）．
A． B．
C． D．
9．（2024八下·临海期末）如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（　　）．
A．周长为8，面积为8 B．周长为8，面积为6
C．周长为，面积为8 D．周长为，面积为6
10．（2024八下·临海期末）已知直线与直线，（其中，）在同一平面直角坐标系内，有两点，分别在，上．下列结论中正确的有（　　）．
①两条直线的交点在第一象限；②两条直线的交点在直线上；③；④直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上．
A．①② B．②④ C．①③④ D．②③④
11．（2024八下·临海期末）　 　．
12．（2024八下·临海期末）命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是　 　．
13．（2024八下·临海期末）如图是甲乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是　 　（填“甲地”或“乙地”）．
14．（2024八下·临海期末）如图的曲线反映了某一变化过程中变量随变量变化的函数关系，在这一变化过程中，随的增大而减小的的取值范围是　 　．
15．（2024八下·临海期末）如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则　 　．
16．（2024八下·临海期末）如图，正方形纸片的边长为6．E，F分别是对边，上的点，．把正方形纸片沿着直线对折，点C，D的对应点分别是点，．若，则交叠而成的五边形的周长是　 　．
17．（2024八下·临海期末）计算：．
18．（2024八下·临海期末）已知一次函数（k为常数，）的图象经过点和两点．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）当时，求自变量x的取值范围．
19．（2024八下·临海期末）如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，求的面积．
20．（2024八下·临海期末）某安保巡逻艇在相距的上游码头和下游码头之间沿着笔直的航线来回巡逻，巡逻艇从码头顺流而下到达下游码头需要小时，从码头向码头逆流而上需要小时到达，在顺流巡逻和逆流巡逻两个阶段分别匀速航行．
（1）巡逻艇从码头出发到码头，再回到码头，在这样一个往返的巡逻过程中，设巡逻艇的巡航时间为小时，它与码头相距千米．求与之间的函数解析式．
（2）在（）的巡逻过程中，当为何值时，巡逻艇与码头相距？
21．（2024八下·临海期末）某校八年级有男生人，女生人，为了解八年级男生、女生一分钟跳绳情况，随机抽取了名男生和名女生进行测试，记录一分钟跳绳成绩（满分分）如下：
成绩（分）
女生人数（个）
男生人数（个）
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
女生
男生
根据以上统计信息，回答下列问题；
（1）表中____________，____________；
（2）请估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有多少人？
（3）请通过数据分析，比较该校八年级男生、女生跳绳成绩整体水平（要求从两个不同的角度说明推断的合理性）．
22．（2024八下·临海期末）求证：连接三角形任意两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．
（要求：画出图形，写出已知、求证、证明．）
23．（2024八下·临海期末）小张使用手机的时间比较多．他的手机在纯充电时（只充电不使用）电池电量的变化如图所示，手机的剩余电量与连续使用时间的部分数据如下表：
连续使用时间（） 0 30 60 90 120
手机剩余电量（） 100 95 90 85 80
假设手机耗电量一直满足表中规律，手机剩余电量为时必须充电，否则会自动关机．
（1）请用适当的函数表达式描述手机剩余电量与连续使用时间之间的关系．
（2）小张的手机在早上充满电，连续使用手机，他最迟在什么时间进行充电，才能保证手机不会自动关机？
（3）在一次外出放行过程中，他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量．在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电，问：他上火车后最多可以连续使用手机多长时间（精确到1分钟）？
24．（2024八下·临海期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值．
探究：
（）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形．
（）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值．
拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，则不能构成三角形，故A不符合题意；
B、，则不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、，则能构成直角三角形，故C符合题意；
D、，则不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形两小边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，再结合三角形三边关系即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°
∴∠B＝180°-70°＝110°
故答案为：B
【分析】
平行四边形内对角相等，同旁内角互补。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，所以A选项错误；
B.为最简二次根式，不能进行加减运算，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误；
综上所述，本题答案为：C.
【分析】本题为二次根式的运算，需要注意区分乘除运算和加减运算，并且注意最终结果需要化为最简二次根式.
5．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵点，在一次函数的图象上，
∴，
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】将A，B坐标代入一次函数解析式中求出的值，然后再作差与0比较即可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B符合题意；
C、三个内角是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；
D、对角线相等不能得出四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形的判定定理，逐项进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据a国，b国，c国人口的年龄分布直方图，得，
故答案为：A．
【分析】观察a国，b国，c国人口的年龄分布直方图，可知a国的人口分布集中在中老年群体，即直方图的峰值偏右，表明其人口年龄结构较老，平均年龄较大；b国的人口分布较为均匀，从年轻到老年各年龄段人口比例相对均衡，表明其平均年龄位于中等水平；c国的人口分布集中于年轻群体，即直方图的峰值偏左，表明其人口年龄结构较年轻，平均年龄较小，据此即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得，甲同学水杯的底面积小，乙同学水杯的底面积大，甲同学水杯的高度大于乙同学水杯的高度，
∴甲同学水杯内水的高度上升的更快，
∵两个水杯的容积相同，
∴甲乙同学水杯同时接满水，即同一时间到达水杯的最大高度，
故答案为：B．
【分析】根据甲乙同学水杯的底面积大小，得甲同学水杯的高度大于乙同学水杯的高度，从而得甲同学水杯内水的高度上升的更快，进而结合两个水杯的容积相同，得同一时间到达水杯的最大高度，据此逐项进行判断可得到答案.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
图案由四张形状大小相同的六边形纸片拼成，拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，
，，，，，
，
，
外轮廓是每个内角都相等的八边形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
这个图案外轮廓的周长为，
这个图案外轮廓的面积为，
故答案为：D．
【分析】先证明是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出的值，从而求出这个图案外轮廓周长，进而再求出这个图案外轮廓的面积.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：①联立，
解得：，
∴两条直线的交点为，
∴当，即时，有两条直线的交点在第四象限，故①错误；
②∵两条直线的交点为，
∴两条直线的交点在直线上，故②正确；
③将点，分别代入，，得：，
∴将代入，得，
∴，
∴，故③正确；
④令，可得直线，与x轴的交点分别为，
∴直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上，故④正确；
综上所述，结论正确的有②③④，
故答案为：D.
【分析】联立两直线解析式可求出两条直线的交点为，从而可知当，即时，有两条直线的交点在第四象限，即可判断①错误；根据所求出的两条直线的交点直接判断②正确；将点，分别代入对应直线解析式，然后消去n进行整理，即可判断③正确；直接求出直线，与x轴的交点，即可判断④正确.
11．【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：7．
【分析】直接根据二次根式的性质（），即可求解.
12．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．据此可直接把一个命题的条件和结论进行互换，即可求解.
13．【答案】甲地
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 根据题意，得甲地的日平均气温的方差大，
故答案为：甲地 ．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
14．【答案】或
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据函数图象得：当或时，随的增大而减小，
故答案为：或．
【分析】本题考查了函数的性质，直接结合函数图象，观察函数图象与x轴的交点，结合函数增减性即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：画函数和图象如下图：
∴由图象可知，当直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先画出函数和的图象，结合函数图象，可知当把直线向下平移，使直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，然后将点代入中，即可求出的值.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接并延长交于点，连接，过点作于点，
∴，
∵四边形是正方形，且边长为6，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，有，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴过的中点O，
∵折叠的性质，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
同理可得，
∴五边形的周长为，
故答案为：．
【分析】连接交于点，连接并延长交于点，连接，过点作于点，结合正方形的性质易证四边形是矩形，得的值，利用勾股定理求出的值，然后证出，得，，结合正方形的性质可知过的中点O，根据折叠的性质得的值，接下来证出，得的值，从而得的值，进而可证出，得，根据等腰三角形的判定得，最后设，则，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可得的值，同理可求出的值，据此即可求解.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的性质进行化简，同时进行二次根式的除法运算，最后进行二次根式的加减运算即可.
18．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，有，
解得：，
当时，有，
解得：，
对于，随的增大而增大，
∴当时，自变量的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）求出当时，的值，再结合一次函数（k为常数，） 的增减性：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，据此即可得出答案．
（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图象经过和两点，
∴，
解得：，
∴该一次函数的表达式为；
（2）解：在中，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
对于，随的增大而增大，
∴当时，自变量的取值范围为．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点作于，
由（1）得，，是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及垂直的定义，，从而得证，进而得，，然后根据平行线的性质求出，同时求出，于是得出，即可根据等边三角形的判定得证结论；
（2）过点作于，先推出是的中位线，然后根据三角形中位线定理得，接下来根据等边三角形的性质得，，从而求出，进而利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解.
（1）证明：由题意得：
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴是等边三角形
（2）解：作，如图所示：
由（1）可得：
∴是的中位线
∴
∵，
∴
∴
∴
20．【答案】（1）解：∵巡逻艇从码头顺流而下到达下游码头需要小时，从码头向码头逆流而上需要小时到达，
∴巡逻艇顺流巡逻的速度为，逆流巡逻的速度为，
∴当时，，
当时，，
综上所述，与之间的函数解析式 为：；
（2）解：把代入，得，
解得：；
把代入，得，
解得：；
∴当或时，巡逻艇与码头相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出巡逻艇顺流巡逻和逆流巡逻的速度，然后分和两种情况进行求解即可；
（2）把分别代入（1）中所得的函数解析式求出的值即可得到答案.
（1）解：由题意可得，巡逻艇顺流巡逻的速度为
逆流巡逻的速度为，
∴当时，，
当时，，
综上，；
（2）解：把代入得，，
解得；
把代入得，，
解得；
∴当或时，巡逻艇与码头相距．
21．【答案】（1），；
（2）解：（人），
∴估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有人；
（3）解：八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好，理由如下：
∵八年级男生跳绳成绩的众数和女生相同，但平均数和中位数都高于女生，且方差低于女生，
∴八年级男生整体水平更好而且更稳定，则八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得（分），
将名男生的数据按照从大到小的顺序进行排列，可得中位数为第和第个数的平均数，
∴（分），
故答案为：，.
【分析】（1）根据平均数的计算以及中位数的定义进行求解即可；
（2）先分别用八年级男、女生人数乘以其满分的人数所占比，再求和即可求解；
（3）从平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析即可求解.
（1）解：由题意可得，（分），
∵有名男生，
∴数据按照从大到小的顺序排列，中位数为第和第个数的平均数，
∴（分），
故答案为：，；
（2）解：（人），
答：估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有人；
（3）解：八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好，理由如下：八年级男生跳绳成绩的众数和女生相同，但平均数和中位数都高于女生，方差低于女生，说明八年级男生整体水平更好而且更稳定，所以八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好．
22．【答案】已知：如图，点分别是的边的中点，连接，
求证：且．
证明：如图，延长到，使，连接、、，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】延长到，使，连接、、，先证出，得，，然后根据平行线的判定得，于是根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得到，，进而可得且.
23．【答案】（1）解：由表中数据可知：每连续使用，电量下降，
∴手机剩余电量与连续使用时间之间的关系符合一次函数的关系，
∴设手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为，
将代入关系式，得，
解得：，
∴手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为；
（2）解：由（1）知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为，
∴当时，有，
解得：，
，
∴，
∴他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机；
（3）解：根据函数图象可得，电量从，纯充电到电量满需要，
∴设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，
根据题意得：，
解得：，
∴他上火车后最多可以连续使用手机．
【知识点】一元一次方程的其他应用；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据表中数据得到每连续使用，电量下降，可知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系符合一次函数的关系，然后利用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）利用（1）中关系式，求出电量为时，连续使用的时间即可得出结果；
（3）根据函数图象可得，电量从，纯充电到电量满需要，设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，根据“ 他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量，在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电 ”列出方程求解即可．
（1）解：根据题意得：每连续使用，电量下降，符合一次函数的性质，
设手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为，
将代入，
则，解得：，
手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为；
（2）解：由（1）知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为；
则当时，则，解得：，
，则，
他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机；
（3）解：根据函数图象可得，电量从，纯充电到电量满需要，
设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，
根据题意得：，
解得：，
答：他上火车后最多可以连续使用手机．
24．【答案】解：（1）如图，点即为所求，
∵关于对称，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，
∴，
设四边形的周长为C，
∴，
∴当点共线时，周长最小且为长，如下图：
∴由对称的性质得，
∵，
∴，
∴设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
同（1）得点共线，
同理可证：，
∴当四边形的周长最小时，它是平行四边形；
（3）由（2）得四边形周长最小时即为长，
由对称的性质得：，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴四边形周长最小值为20；
拓展：如图，作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，
由对称的性质得，
∴四边形的周长，
∴当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，如下图：
同（1）得四边形周长取得最小值，此时点三点共线，
由对称的性质得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）作点关于的对称点，连接，与相交于点，则根据对称的性质得，从而得，进而根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，然后证出，得，结合对顶角相等的性质可证得；
（2）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，则，设四边形的周长为C，于是得，当点共线时，周长最小且为长，由对称得，而，设，则，而，同理可得，故，因此，则，同理可证：，故当四边形的周长最小时，它是平行四边形；
（3）由对称的性质得：，，由，，得，，故在中，由勾股定理得，据此即可求解；
拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，由对称的性质得，故四边形的周长为，当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，四边形周长取得最小值，此时点三点共线，由对称的性质得：，，，，可证明，继而推出，则，，于是有为的中位线，由三角形中位线定理得到，故．
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