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浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
1．（2025八上·余姚期末）在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·余姚期末）若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·余姚期末）元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（　　）
A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向
C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省
4．（2025八上·余姚期末）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·余姚期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（　　）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限
C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点
6．（2025八上·余姚期末）观察下列作图痕迹，所作线段为的中线的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·余姚期末）如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（　　）
A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定
8．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·余姚期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·余姚期末）在中，，那么是　 　（填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”）
12．（2025八上·余姚期末）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为　 　．
13．（2025八上·余姚期末）点和点关于x轴对称，则的值为　 　．
14．（2025八上·余姚期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
15．（2025八上·余姚期末）若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是　 　．
16．（2025八上·余姚期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为　 　．
17．（2025八上·余姚期末）解下列不等式（组）．
（1）．
（2）．
18．（2025八上·余姚期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：．
19．（2025八上·余姚期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
（2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；
（3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标
20．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交．
（1）求直线的表达式．
（2）求的面积．
21．（2025八上·余姚期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围．
（2）运用（1）的结论，求当时两车之间的距离．
（3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式．
22．（2025八上·余姚期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
23．（2025八上·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件．最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
24．（2025八上·余姚期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．
例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果，那么，与选项A的不符，因此选项A错误；B、如果，那么，进而有，这与选项B相符，因此选项B正确；
C、如果，当时，，但题目并未指出的具体取值情况，若，则，故此不等式不一定成立。因此，选项C错误；
D、如果，那么，与选项D的不符，因此选项D错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式基本性质：在不等式的两边同时加上相同的数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变；而乘以一个负数，不等号的方向改变，据此逐项分析即可.
3．【答案】A
【知识点】确定位置的方法
【解析】【解答】解：A、东经，北纬是有序数对，能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故符合题意；
B、只有方向没有距离，不能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故不符合题意；
C、只有距离没有方向，不能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故不符合题意；
D、在浙江省，不能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】确定物体的位置的两个必要条件是方向和距离，二者缺一不可，此时的方向和距离都是物体相对于观测点的方位和物体与观测点之间的实际距离，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
5．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；真命题与假命题；一次函数图象的平移变换
6．【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题中的作图痕迹可知：
选项中是作线段（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意；
选项中是作垂线（尺规作图），所作线段为的中线，故选项符合题意；
选项中是作角平分线（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意；
选项中是作垂线（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据作线段（尺规作图）、作垂线（尺规作图）、作角平分线（尺规作图）的方法逐项分析判断即可．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，
∴，
∴AC=5m，
∵CD=12m，AD=13m，
∴，，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=（），
∴要投入资金为：（元）；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，再用勾股定理的逆定理判断出∠ACD=90°，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，列式计算出种植草皮的面积，最后根据单价乘以数量等于总价可算出需要投入的资金.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
9．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a，
∵的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围．
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
11．【答案】直角三角形
【知识点】三角形内角和定理
12．【答案】8或7
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
当2是等腰三角形的腰长时，等腰三角形的三边为2，2，3，而2+2＞3
∴周长是2+2+3=7，
当3是等腰三角形的腰长时，等腰三角形的三边为2，3，3，而2+3＞3，
∴三角形的周长为2+3+3=8，
综上，三角形的周长为7或8.
故答案为：8或7.
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，得出，再结合等腰三角形性质及三角形三边关系判断出三角形的三边长，最后根据三角形的周长公式进行列式计算，即可作答．
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴．
故答案为：-1．
【分析】点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，-y），据此求出m和n的值，最后再求出m与n的和即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求直线在直线的上方部分所对应的自变量的范围，结合交点横坐标即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；比较一次函数值的大小
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
17．【答案】（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；

（2）解：，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为．

【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为．
18．【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证.
19．【答案】（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：

（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系找出点A、B、C的位置，顺次连接即可得到，最后利用割补法即可求出其面积；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解；
（3）根据三角形面积计算公式求出BP的值，然后结合点B的坐标即可得到点P的坐标.
（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：
（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
20．【答案】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：令，解得，此时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即的面积为48．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
21．【答案】（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，∴，
解得：，
∴，
设由图可知，函数图象经过点，，
则，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，，∴，
答：当时两车之间的距离为200千米；
（3）解：当两车相遇时，即，解得，
故两车相遇之前S与x的函数关系式为：；
两车相遇之后S与x的函数关系式为：．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
22．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
23．【答案】解：任务1.设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元，根据题意，得，
解得，
所以1套书签为46元，1个冰箱贴为28元；
任务2.设老师打算购买书签为a件，则冰箱贴为件，根据题意，得
，
解得，
所以老师打算最多购买16套书签；
任务3.设总费用为W，根据题意，得
，
即，且，
∵，
∴一次函数值w随着a的增大而增大，
∴当时，元．
即购买13件书签，12件冰箱贴所需费用最省，最省费用为934元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元 ，由“ 1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元”列出方程x=y+18，由“ 购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元 ”列出方程x+4y=158，联立两方程，求解即可；
（2）设老师打算购买书签为a套，则冰箱贴为（25-a）件，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用不超过1000列出不等式，求出最大整数解即可；
（3）设总费用为W，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用=总费用用含a的式子表示出w，结合“ 购买的书签比冰箱贴多 ”求出a的取值范围，再根据一次函数的性质得出答案．
24．【答案】解：（1）是
（2）或．
（3）设
当时，如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
即
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图过作于点，
同理可得
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
综上所述：或．
（4）．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点，
∴，，，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为 ：是；
（2）∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，
∴∠CEB=∠BOA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ECB=∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
又AB=BC，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴，
∴，
∴；
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案 ：或；
（4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
易求得与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线为，
如图过点分别作，
∵，，，
∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形，
∴
∴，
∴，
即，
，
所以．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AC、AB及BC的长，则AB=BC，根据点的坐标与图形性质可得∠ABC=90°，从而根据“等垂点”定义得出结论；
（2）当C分点在B点上方时，首先利用AAS判断出△BCE≌△ABO，由全等三角形的对应边相等得BE=OA=4，CE=BO=3，则CF=OE=BE+OB=7，从而可得点C的坐标；当C分点在B点下方时，同理可证△ABE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF=OA=4，BF=AE=BO=3，则BH=CF=4，CH=BF=3，OH=BH-OB=1，从而可得点C的坐标；
（3）当点B在轴上方，利用AAS判断出△CBM≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CM=OB=n，MB=OA=5，则C(n，n+5)或(-n，n-5)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；当B在y轴下方时，同理可得C(n，-n-5)或(-n，5-n)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；
（4）特殊点法求一次函数解析式，等面积法求出△EMP的高PN，进而根据三角形面积公式计算可得答案.
1 / 1浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
1．（2025八上·余姚期末）在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可．
2．（2025八上·余姚期末）若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果，那么，与选项A的不符，因此选项A错误；B、如果，那么，进而有，这与选项B相符，因此选项B正确；
C、如果，当时，，但题目并未指出的具体取值情况，若，则，故此不等式不一定成立。因此，选项C错误；
D、如果，那么，与选项D的不符，因此选项D错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式基本性质：在不等式的两边同时加上相同的数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变；而乘以一个负数，不等号的方向改变，据此逐项分析即可.
3．（2025八上·余姚期末）元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（　　）
A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向
C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省
【答案】A
【知识点】确定位置的方法
【解析】【解答】解：A、东经，北纬是有序数对，能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故符合题意；
B、只有方向没有距离，不能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故不符合题意；
C、只有距离没有方向，不能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故不符合题意；
D、在浙江省，不能确定王阳明故居纪念馆的具体位置，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】确定物体的位置的两个必要条件是方向和距离，二者缺一不可，此时的方向和距离都是物体相对于观测点的方位和物体与观测点之间的实际距离，据此逐一判断得出答案.
4．（2025八上·余姚期末）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
5．（2025八上·余姚期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（　　）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限
C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；真命题与假命题；一次函数图象的平移变换
6．（2025八上·余姚期末）观察下列作图痕迹，所作线段为的中线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题中的作图痕迹可知：
选项中是作线段（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意；
选项中是作垂线（尺规作图），所作线段为的中线，故选项符合题意；
选项中是作角平分线（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意；
选项中是作垂线（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据作线段（尺规作图）、作垂线（尺规作图）、作角平分线（尺规作图）的方法逐项分析判断即可．
7．（2025八上·余姚期末）如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（　　）
A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，
∴，
∴AC=5m，
∵CD=12m，AD=13m，
∴，，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=（），
∴要投入资金为：（元）；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，再用勾股定理的逆定理判断出∠ACD=90°，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，列式计算出种植草皮的面积，最后根据单价乘以数量等于总价可算出需要投入的资金.
8．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
9．（2025八上·余姚期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a，
∵的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围．
10．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
11．（2025八上·余姚期末）在中，，那么是　 　（填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”）
【答案】直角三角形
【知识点】三角形内角和定理
12．（2025八上·余姚期末）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为　 　．
【答案】8或7
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
当2是等腰三角形的腰长时，等腰三角形的三边为2，2，3，而2+2＞3
∴周长是2+2+3=7，
当3是等腰三角形的腰长时，等腰三角形的三边为2，3，3，而2+3＞3，
∴三角形的周长为2+3+3=8，
综上，三角形的周长为7或8.
故答案为：8或7.
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，得出，再结合等腰三角形性质及三角形三边关系判断出三角形的三边长，最后根据三角形的周长公式进行列式计算，即可作答．
13．（2025八上·余姚期末）点和点关于x轴对称，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴．
故答案为：-1．
【分析】点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，-y），据此求出m和n的值，最后再求出m与n的和即可.
14．（2025八上·余姚期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求直线在直线的上方部分所对应的自变量的范围，结合交点横坐标即可得出答案.
15．（2025八上·余姚期末）若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；比较一次函数值的大小
16．（2025八上·余姚期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
17．（2025八上·余姚期末）解下列不等式（组）．
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；

（2）解：，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为．

【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为．
18．（2025八上·余姚期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证.
19．（2025八上·余姚期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
（2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；
（3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标
【答案】（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：

（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系找出点A、B、C的位置，顺次连接即可得到，最后利用割补法即可求出其面积；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解；
（3）根据三角形面积计算公式求出BP的值，然后结合点B的坐标即可得到点P的坐标.
（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：
（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
20．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交．
（1）求直线的表达式．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：令，解得，此时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即的面积为48．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
21．（2025八上·余姚期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围．
（2）运用（1）的结论，求当时两车之间的距离．
（3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式．
【答案】（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，∴，
解得：，
∴，
设由图可知，函数图象经过点，，
则，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，，∴，
答：当时两车之间的距离为200千米；
（3）解：当两车相遇时，即，解得，
故两车相遇之前S与x的函数关系式为：；
两车相遇之后S与x的函数关系式为：．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
22．（2025八上·余姚期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
23．（2025八上·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件．最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
【答案】解：任务1.设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元，根据题意，得，
解得，
所以1套书签为46元，1个冰箱贴为28元；
任务2.设老师打算购买书签为a件，则冰箱贴为件，根据题意，得
，
解得，
所以老师打算最多购买16套书签；
任务3.设总费用为W，根据题意，得
，
即，且，
∵，
∴一次函数值w随着a的增大而增大，
∴当时，元．
即购买13件书签，12件冰箱贴所需费用最省，最省费用为934元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元 ，由“ 1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元”列出方程x=y+18，由“ 购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元 ”列出方程x+4y=158，联立两方程，求解即可；
（2）设老师打算购买书签为a套，则冰箱贴为（25-a）件，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用不超过1000列出不等式，求出最大整数解即可；
（3）设总费用为W，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用=总费用用含a的式子表示出w，结合“ 购买的书签比冰箱贴多 ”求出a的取值范围，再根据一次函数的性质得出答案．
24．（2025八上·余姚期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．
例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
【答案】解：（1）是
（2）或．
（3）设
当时，如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
即
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图过作于点，
同理可得
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
综上所述：或．
（4）．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点，
∴，，，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为 ：是；
（2）∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，
∴∠CEB=∠BOA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ECB=∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
又AB=BC，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴，
∴，
∴；
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案 ：或；
（4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
易求得与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线为，
如图过点分别作，
∵，，，
∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形，
∴
∴，
∴，
即，
，
所以．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AC、AB及BC的长，则AB=BC，根据点的坐标与图形性质可得∠ABC=90°，从而根据“等垂点”定义得出结论；
（2）当C分点在B点上方时，首先利用AAS判断出△BCE≌△ABO，由全等三角形的对应边相等得BE=OA=4，CE=BO=3，则CF=OE=BE+OB=7，从而可得点C的坐标；当C分点在B点下方时，同理可证△ABE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF=OA=4，BF=AE=BO=3，则BH=CF=4，CH=BF=3，OH=BH-OB=1，从而可得点C的坐标；
（3）当点B在轴上方，利用AAS判断出△CBM≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CM=OB=n，MB=OA=5，则C(n，n+5)或(-n，n-5)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；当B在y轴下方时，同理可得C(n，-n-5)或(-n，5-n)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；
（4）特殊点法求一次函数解析式，等面积法求出△EMP的高PN，进而根据三角形面积公式计算可得答案.
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