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浙江省杭州市2024－2025学年九年级上学期期末独立作业数学试卷
1．（2024九上·杭州期末）下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；图形的相似；旋转对称图形；图形的平移
【解析】【解答】解：结合图形可知：
A、此选项中的两个图形大小方向都没有改变，还可以通过平移变换得到，故此选项不符合题意；
B、此选项中的两个图形图形形状没有改变，但大小发生了变换，只能通过相似变换得到，故此选项符合题意；
C、此选项中的两个图形大小没有变化，但方向发生了改变，还可以通过旋转变换得到，故此选项不符合题意；
D、 此选项中的两个图形大小没有变化，但方向发生了改变，还可以通过轴对称变换得到，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换，据此逐一判断得出答案.
2．（2024九上·杭州期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（　　）
A．若a是实数，则
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．两数相加，和是正数
D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、若a是实数，则，是必然事件，则此项符合题意；
B、任意掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，故正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、任意两数相加，和可能为正数、负数或零，故和是正数，是随机事件，则此项不符合题意；
D、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，则此项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2024九上·杭州期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（　　）
A．36 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设线段c是a，b的比例中项，
则，
又∵a=4，b=9，
∴，
∴（负数舍去）．
故答案为：D．
【分析】如果三条线段a、b、c满足a∶b=b∶c，则线段b就是线段a、b的比例中项，据此列方程求解即可．
4．（2024九上·杭州期末）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字1所示区域内的概率是，
故答案为：B．
【分析】根据几何概率的意义，直接利用数字1所在扇形的圆心角度数除以360°，即可得出答案．
5．（2024九上·杭州期末）如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD=2∠A=50°，再根据等弧所对的圆心角相等可得，由邻补角求出，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B的度数.
6．（2024九上·杭州期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动5cm，到达点D位置，过点D作DH⊥AB于点H，则AD=5cm，
则，
∴，
∴，
则小球下降的高度是，
故答案为：B．
【分析】假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动5cm，到达点D位置，过点D作DH⊥AB于点H，则AD=5cm，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DH∥AB，由二直线平行同位角相等得，然后根据余弦弦函数的定义“”可求出AH的长，从而得出答案.
7．（2024九上·杭州期末）已知线段，点P到点A，B的距离分别是5和3，则满足条件的点P的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：到点A距离为5的所有点是以A为圆心，以5为半径的圆，到点B距离为3的所有点是以B为圆心，以3为半径的圆；
∵，PA=5，PB=3，
∴，
∴圆A和圆B相交，画出图形，找出两圆的交点个数有2个.
故答案为：C．
【分析】由于到定点的距离等于定长的点，在以定点为圆心，定长为半径的圆上，故到点A距离为5的所有点是以A为圆心，以5为半径的圆，到点B距离为3的所有点是以B为圆心，以3为半径的圆；根据两圆的位置关系，当两圆的圆心距小于两圆的半径之和的时候，两圆相交，从而画出图形，找出交点个数即可.
8．（2024九上·杭州期末）如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴△CDE∽△FAE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△BCF，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得CD∥AB，CD=AB，AD∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDE∽△FAE，由相似三角形对应边成比例及等量代换可推出，再根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△BCF，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
9．（2024九上·杭州期末）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
又抛物线交轴于点，
∴点与点关于直线对称，
∵，
即点在与之间，
点在与之间，
，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式“”得到该抛物线的对称轴直线，根据抛物线的对称性，该抛物线与x轴的两交点A、B关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围．
10．（2024九上·杭州期末）公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（　　）
A．12个 B．18个 C．24个 D．32个
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
根据题意可得经过点，即为直径，
∴，，为，
根据点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，
∴弧所对圆心角为，所对圆周角为，
∴，，，，是钝角，
共有24个钝角，故有24个钝角三角形．
故答案为：C．
【分析】根据圆及正多边形的对称性可得AE、BF、CG、DH都是圆的直径，根据直径所对圆周角为，得出等角的都是90°，根据正多边形性质及等弧所对的圆周角相等可得弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FG、弧GH、弧HA所对的圆心角为45°，所对圆周角都是22.5°，从而可判断出∠ABC等角都是钝角，从而根据钝角三角形的定义得出答案.
11．（2024九上·杭州期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是 ．
故答案为：．
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k可得其顶点坐标为（h，k），据此直接写出答案即可.
12．（2024九上·杭州期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是　 　．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图根据题意可得
，
，
，
故答案为：8．
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AOD∽△BOC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长.
13．（2024九上·杭州期末）已知圆弧的度数是，半径是，则该圆弧的长是　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：该圆弧的长是．
故答案为：3π．
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得该圆弧所对的圆心角为60°，然后根据弧长公式“ ”直接计算即可.
14．（2024九上·杭州期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线，且经过点，
，
解得，
则该抛物线的函数表达式是，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式可得，然后将点（3，0）代入抛物线y=ax2+bx-2可得9a+3b-2=0，联立两方程，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式.
15．（2024九上·杭州期末）如图，在建筑平台的顶部B处，测得大树的顶部C的仰角为α，且，测得大树的底部D的俯角为 β，且，若平台的高度为，则大树的高度为　 　．
【答案】9
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图：过B作BE⊥CD于点E，则四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=6m，
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∵在中，，
∴，即，
解得：CE=3，
∴大树的高度：．
故答案为：9．
【分析】过B作BE⊥CD于点E，则四边形ABED是矩形，由矩形的对边相等得过B作BE⊥CD于点E，则四边形ABED是矩形，在Rt△BED中，由∠EBD的正切函数可求出BE，在Rt△BEC中，由∠CBE的正切函数可求出CE，最后根据CD=CE+DE列式计算即可.
16．（2024九上·杭州期末）如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是　 　，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴；
设，则，，，
∵，
∴，解得：，
∴
∵，
∴，
∵
∵，
∴，即，解得：，
∴，，
∴矩形的周长是．
故答案为：，．
【分析】由矩形的四个内角都是直角得∠D=∠DCB=∠B=90°，由正方形四个内角都是直角得∠FEH=90°，由直角三角形量锐角互余、平角定义及同角的余角相等可推出∠DEF=∠CNE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEF∽△CNE，同理△BMN∽△CNE，则△BMN∽△DEF，由相似三角形对应边成比例得，设DE=a，则BM=2a，利用勾股定理表示出BN、DF，进而再根据相似三角形对应边成比例建立方程求出NC=4DE=4a，由勾股定理表示出CE；由正方形对边平行得EF∥GC，由二直线平行，同位角相等得∠DEF=∠HCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEFxs6sanjx5HCE，you相似三角形对应边成比例建立方程求出a的值，进而可算出BC、CD，最后根据矩形周长计算公式计算即可.
17．（2024九上·杭州期末）（1）计算：．
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）
；
（2）∵，
∴设，
∴．
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）首先将特殊角三角函数值代入，然后计算乘法，最后计算有理数的减法即可；
（2）根据比例性质可设，再代入待求式子，分子计算后约分化简即可．
18．（2024九上·杭州期末）有三张分别标有数字3，4，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片记录数字，放回，再从中任意抽出一张卡片记录数字．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并计算两张卡片的数字之和大于7的概率．
【答案】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能的结果数，两张卡片的数字之和大于7的结果数为6，
则两张卡片的数字之和大于7的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，先画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片的数字之和大于7的结果数，由树状图可知：共有9种等可能的结果数，两张卡片的数字之和大于7的结果数为6，最后根据概率公式求解即可．
19．（2024九上·杭州期末）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段，如图，在的方格纸中，有一格点线段，请按要求画图．
（1）在图中画格点线段，，使得．
（2）在图中画一格点线段，交于点O，使得．
【答案】（1）解：所作线段，，如下图所示：
（2）解：所作线段如图所示：
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；相似三角形的性质-对应边；三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解：（2）所作线段如图所示：
，
，
，
即有；
（以上图形均同理可得到）．
【分析】（1）利用方格纸的特点及垂直的定义，点B上方的第二个格点就是所求的格点C，连接AC、BC即可；
（2）利用方格纸的特点及相似三角形对应边成比例，点B上方的一个格点就是所求的点E，点A下方的第二个格点就是所求的点F，连接EF，EF就是所求的线段.
（1）解：所作线段，，如下图所示：
（2）解：所作线段如图所示：
，
，
，
即有；
（以上图形均同理可得到）．
20．（2024九上·杭州期末）在中，，过上一点D作，交于点E，连结，交于点O．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠ACB=90°，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由同位角相等，两直线平行得DE∥AC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AOC∽△DOF；
（2）由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ABC∽△EBD，由相似三角形对应边成比例可得.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
21．（2024九上·杭州期末）如图，为半圆O的直径，C，D为半圆O上不同于A，B的两点，延长和交圆外于点E，已知平分．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴∠BCD=2∠BCO，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴；
（2）解：∵O是中点，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵∠DCE+∠DCB=∠DCB+∠A=180°，
∴∠DCE=∠BAE，
又，
∴．
∴，即，
∵，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及圆内接四边形对角互补可得∠EAB=180°-2∠BCO，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BOC=180°-2∠BCO，则∠BOC=∠EAB，由同位角相等，两直线平行，得出AD∥OC；
（2）由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OBC∽△ABE，由相似三角形对应边成比例可得，再结合可得；由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得∠DCE=∠BAE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DCE∽△BAE，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出BE.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵O是中点，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴．
∴，即，
∵，
∴．
22．（2024九上·杭州期末）如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若，求点E的坐标．
【答案】（1）解：把代入，
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝．
设，则，
∴，
∵，
∴，解得：．
把代入，解得：，
∴点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用抛物线的对称轴直线公式求得其对称轴直线为xx=1，设，根据抛物线的对称性得，利用两点间的距离公式表示出DE、CD，再根据DE=3CD列方程求得m的值，最后代入抛物线解析式即可解答．
（1）解：把代入，
， 解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝．
设，则，
∴，
∵，
∴，解得：．
把代入，解得：，
∴点E的坐标为．
23．（2024九上·杭州期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何清扫地面
素材1 如图1，是一款智能家用扫地机器人，以机身圆型底盘为清扫面积，机身上凸起的圆形部分（如图2，即）是激光发射器，用于发射激光以实现精准定位和避障．已知该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍，激光发射的半径是．
素材2 图3，是扫地机器人清扫矩形场地时的行走路径示意图，已知该矩形场地长为7米，宽为米，扫地机器人的行走速度为/分钟．
问题解决
任务1 确定圆的 大小 计算该扫地机器人机身圆型底盘大小．
任务2 预算扫地 时间 该扫地机器人从左上角出发，贴着墙壁清扫一圈回到原来位置，需要多少时间？
【答案】解：任务1．∵激光发射器的半径为，
∴激光发射器的面积为．
∵机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍，
∴机身圆型底盘大小为．
任务2．设扫地机器人机身底盘半径为R，则πR2=64π，
解得R=8cm，即扫地机器人机身圆型底盘的半径是．
该扫地机器人扫一圈的路程是，
该扫地机器人扫一圈的时间是分钟．
【知识点】圆的相关概念
【解析】【分析】（1）根据圆的面积计算公式S=πr2算出激光发射器的面积，再根据该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍即可求解；
（2）根据圆的面积公式建立方程求出扫地机器人机身底盘的半径，由于机器人自身占据了一定面积，所以扫地机器人从左上角出发，贴着墙壁清扫一圈回到原来位置的过程中每条边上都需要少行走机身自身的一个直径，据此算出该扫地机器人扫一圈的路程，最后根据路程除以速度等于时间即可算出答案.计算过程中，要注意单位的统一.
24．（2024九上·杭州期末）如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接．
（1）求的半径和的长．
（2）求证：．
（3）线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
又∵，
∴，
∴的半径为．
如图：作于点H，
∴
又点O是CE的中点，
∴，，；
∴．
∴．
（2）证明：如图，过O作于点I，
∴∠OIB=∠ABC=∠OHB=90°，
∴四边形OIBH是矩形，
∴，，
∴ ∠MOI=∠A，
又∠MIO=∠AHO=90°，
∴
∴，即，
解得，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点G作于点N．
∴∠GNM=∠OIM=90°，
又∠GMN=∠OMI，OM=MG，
∴△GMN≌△OMI，
∴，
在Rt△OMI中，，
∴MN=MI=
∴，即是等腰直角三角形，
∵是直径，
∴，
∴．
点P由以下两种可能：
①当时，是等腰直角三角形．
∴EP＝FP＝1．
②当时，
又∠FGB+∠FEB=∠FEB+∠FEP=180°，
∴∠FEP=∠FGB=∠BCG=45°，
∴
∴，即，解得．
综上，PE的长为1或.
【知识点】圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）有矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理算出CE，即可得到该圆的半径；如图：作于点H，由垂径定理得，根据三角形中位线定理得，进而根据线段和差算出AH，在根据勾股定理算出AO，最后由AF=AO-FO，列式计算即可；
（2）如图，过O作于点I，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OIBH是矩形，由矩形对边相等且平行得OI∥AB，OI=1，由二直线平行，同位角相等得∠MOI=∠A，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△OMI∽△AOH，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，然后运用线段的和差即可证明结论；
（3）如图：过点G作于点N，首先由AAS判断出△GMN≌△OMI，得GN=OI=1，MN=MI，由勾股定理算出MI=，则可得△CNG是等腰直角三角形，由圆心角、弧、弦的关系判断出∠FEP=∠FGB=∠NCG=45°，然后分①∠PFE=∠NCG=45°时，②∠PFE=∠GBC时，两种情况，求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴的半径为．
如图：作于点H，
∴，，，
∴．
∴．
（2）解：如图，过O作于点I，
∴，，
由可得，即，解得，
∴，即．
（3）解：如图：过点G作于点N．
由（2）可得，
∴，即是等腰直角三角形，
∵是直径，
∴，
∴．
点P由以下两种可能：
①当时，是等腰直角三角形．
∴EP＝FP＝1．
②当时，
∵
∴，即，解得．
1 / 1浙江省杭州市2024－2025学年九年级上学期期末独立作业数学试卷
1．（2024九上·杭州期末）下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·杭州期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（　　）
A．若a是实数，则
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．两数相加，和是正数
D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
3．（2024九上·杭州期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（　　）
A．36 B． C． D．6
4．（2024九上·杭州期末）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·杭州期末）如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
7．（2024九上·杭州期末）已知线段，点P到点A，B的距离分别是5和3，则满足条件的点P的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．（2024九上·杭州期末）如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·杭州期末）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·杭州期末）公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（　　）
A．12个 B．18个 C．24个 D．32个
11．（2024九上·杭州期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
12．（2024九上·杭州期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是　 　．
13．（2024九上·杭州期末）已知圆弧的度数是，半径是，则该圆弧的长是　 　．
14．（2024九上·杭州期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是　 　．
15．（2024九上·杭州期末）如图，在建筑平台的顶部B处，测得大树的顶部C的仰角为α，且，测得大树的底部D的俯角为 β，且，若平台的高度为，则大树的高度为　 　．
16．（2024九上·杭州期末）如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是　 　，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是　 　．
17．（2024九上·杭州期末）（1）计算：．
（2）已知，求的值．
18．（2024九上·杭州期末）有三张分别标有数字3，4，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片记录数字，放回，再从中任意抽出一张卡片记录数字．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并计算两张卡片的数字之和大于7的概率．
19．（2024九上·杭州期末）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段，如图，在的方格纸中，有一格点线段，请按要求画图．
（1）在图中画格点线段，，使得．
（2）在图中画一格点线段，交于点O，使得．
20．（2024九上·杭州期末）在中，，过上一点D作，交于点E，连结，交于点O．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
21．（2024九上·杭州期末）如图，为半圆O的直径，C，D为半圆O上不同于A，B的两点，延长和交圆外于点E，已知平分．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．（2024九上·杭州期末）如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若，求点E的坐标．
23．（2024九上·杭州期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何清扫地面
素材1 如图1，是一款智能家用扫地机器人，以机身圆型底盘为清扫面积，机身上凸起的圆形部分（如图2，即）是激光发射器，用于发射激光以实现精准定位和避障．已知该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍，激光发射的半径是．
素材2 图3，是扫地机器人清扫矩形场地时的行走路径示意图，已知该矩形场地长为7米，宽为米，扫地机器人的行走速度为/分钟．
问题解决
任务1 确定圆的 大小 计算该扫地机器人机身圆型底盘大小．
任务2 预算扫地 时间 该扫地机器人从左上角出发，贴着墙壁清扫一圈回到原来位置，需要多少时间？
24．（2024九上·杭州期末）如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接．
（1）求的半径和的长．
（2）求证：．
（3）线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；图形的相似；旋转对称图形；图形的平移
【解析】【解答】解：结合图形可知：
A、此选项中的两个图形大小方向都没有改变，还可以通过平移变换得到，故此选项不符合题意；
B、此选项中的两个图形图形形状没有改变，但大小发生了变换，只能通过相似变换得到，故此选项符合题意；
C、此选项中的两个图形大小没有变化，但方向发生了改变，还可以通过旋转变换得到，故此选项不符合题意；
D、 此选项中的两个图形大小没有变化，但方向发生了改变，还可以通过轴对称变换得到，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、若a是实数，则，是必然事件，则此项符合题意；
B、任意掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，故正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、任意两数相加，和可能为正数、负数或零，故和是正数，是随机事件，则此项不符合题意；
D、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，则此项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设线段c是a，b的比例中项，
则，
又∵a=4，b=9，
∴，
∴（负数舍去）．
故答案为：D．
【分析】如果三条线段a、b、c满足a∶b=b∶c，则线段b就是线段a、b的比例中项，据此列方程求解即可．
4．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字1所示区域内的概率是，
故答案为：B．
【分析】根据几何概率的意义，直接利用数字1所在扇形的圆心角度数除以360°，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD=2∠A=50°，再根据等弧所对的圆心角相等可得，由邻补角求出，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B的度数.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动5cm，到达点D位置，过点D作DH⊥AB于点H，则AD=5cm，
则，
∴，
∴，
则小球下降的高度是，
故答案为：B．
【分析】假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动5cm，到达点D位置，过点D作DH⊥AB于点H，则AD=5cm，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DH∥AB，由二直线平行同位角相等得，然后根据余弦弦函数的定义“”可求出AH的长，从而得出答案.
7．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：到点A距离为5的所有点是以A为圆心，以5为半径的圆，到点B距离为3的所有点是以B为圆心，以3为半径的圆；
∵，PA=5，PB=3，
∴，
∴圆A和圆B相交，画出图形，找出两圆的交点个数有2个.
故答案为：C．
【分析】由于到定点的距离等于定长的点，在以定点为圆心，定长为半径的圆上，故到点A距离为5的所有点是以A为圆心，以5为半径的圆，到点B距离为3的所有点是以B为圆心，以3为半径的圆；根据两圆的位置关系，当两圆的圆心距小于两圆的半径之和的时候，两圆相交，从而画出图形，找出交点个数即可.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴△CDE∽△FAE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△BCF，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得CD∥AB，CD=AB，AD∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDE∽△FAE，由相似三角形对应边成比例及等量代换可推出，再根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△BCF，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
又抛物线交轴于点，
∴点与点关于直线对称，
∵，
即点在与之间，
点在与之间，
，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式“”得到该抛物线的对称轴直线，根据抛物线的对称性，该抛物线与x轴的两交点A、B关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围．
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
根据题意可得经过点，即为直径，
∴，，为，
根据点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，
∴弧所对圆心角为，所对圆周角为，
∴，，，，是钝角，
共有24个钝角，故有24个钝角三角形．
故答案为：C．
【分析】根据圆及正多边形的对称性可得AE、BF、CG、DH都是圆的直径，根据直径所对圆周角为，得出等角的都是90°，根据正多边形性质及等弧所对的圆周角相等可得弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FG、弧GH、弧HA所对的圆心角为45°，所对圆周角都是22.5°，从而可判断出∠ABC等角都是钝角，从而根据钝角三角形的定义得出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是 ．
故答案为：．
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k可得其顶点坐标为（h，k），据此直接写出答案即可.
12．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图根据题意可得
，
，
，
故答案为：8．
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AOD∽△BOC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长.
13．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：该圆弧的长是．
故答案为：3π．
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得该圆弧所对的圆心角为60°，然后根据弧长公式“ ”直接计算即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线，且经过点，
，
解得，
则该抛物线的函数表达式是，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式可得，然后将点（3，0）代入抛物线y=ax2+bx-2可得9a+3b-2=0，联立两方程，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式.
15．【答案】9
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图：过B作BE⊥CD于点E，则四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=6m，
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∵在中，，
∴，即，
解得：CE=3，
∴大树的高度：．
故答案为：9．
【分析】过B作BE⊥CD于点E，则四边形ABED是矩形，由矩形的对边相等得过B作BE⊥CD于点E，则四边形ABED是矩形，在Rt△BED中，由∠EBD的正切函数可求出BE，在Rt△BEC中，由∠CBE的正切函数可求出CE，最后根据CD=CE+DE列式计算即可.
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴；
设，则，，，
∵，
∴，解得：，
∴
∵，
∴，
∵
∵，
∴，即，解得：，
∴，，
∴矩形的周长是．
故答案为：，．
【分析】由矩形的四个内角都是直角得∠D=∠DCB=∠B=90°，由正方形四个内角都是直角得∠FEH=90°，由直角三角形量锐角互余、平角定义及同角的余角相等可推出∠DEF=∠CNE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEF∽△CNE，同理△BMN∽△CNE，则△BMN∽△DEF，由相似三角形对应边成比例得，设DE=a，则BM=2a，利用勾股定理表示出BN、DF，进而再根据相似三角形对应边成比例建立方程求出NC=4DE=4a，由勾股定理表示出CE；由正方形对边平行得EF∥GC，由二直线平行，同位角相等得∠DEF=∠HCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEFxs6sanjx5HCE，you相似三角形对应边成比例建立方程求出a的值，进而可算出BC、CD，最后根据矩形周长计算公式计算即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2）∵，
∴设，
∴．
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）首先将特殊角三角函数值代入，然后计算乘法，最后计算有理数的减法即可；
（2）根据比例性质可设，再代入待求式子，分子计算后约分化简即可．
18．【答案】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能的结果数，两张卡片的数字之和大于7的结果数为6，
则两张卡片的数字之和大于7的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，先画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片的数字之和大于7的结果数，由树状图可知：共有9种等可能的结果数，两张卡片的数字之和大于7的结果数为6，最后根据概率公式求解即可．
19．【答案】（1）解：所作线段，，如下图所示：
（2）解：所作线段如图所示：
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；相似三角形的性质-对应边；三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解：（2）所作线段如图所示：
，
，
，
即有；
（以上图形均同理可得到）．
【分析】（1）利用方格纸的特点及垂直的定义，点B上方的第二个格点就是所求的格点C，连接AC、BC即可；
（2）利用方格纸的特点及相似三角形对应边成比例，点B上方的一个格点就是所求的点E，点A下方的第二个格点就是所求的点F，连接EF，EF就是所求的线段.
（1）解：所作线段，，如下图所示：
（2）解：所作线段如图所示：
，
，
，
即有；
（以上图形均同理可得到）．
20．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠ACB=90°，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由同位角相等，两直线平行得DE∥AC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AOC∽△DOF；
（2）由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ABC∽△EBD，由相似三角形对应边成比例可得.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
∴∠BCD=2∠BCO，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴；
（2）解：∵O是中点，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵∠DCE+∠DCB=∠DCB+∠A=180°，
∴∠DCE=∠BAE，
又，
∴．
∴，即，
∵，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及圆内接四边形对角互补可得∠EAB=180°-2∠BCO，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BOC=180°-2∠BCO，则∠BOC=∠EAB，由同位角相等，两直线平行，得出AD∥OC；
（2）由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OBC∽△ABE，由相似三角形对应边成比例可得，再结合可得；由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得∠DCE=∠BAE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DCE∽△BAE，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出BE.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵O是中点，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴．
∴，即，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：把代入，
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝．
设，则，
∴，
∵，
∴，解得：．
把代入，解得：，
∴点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用抛物线的对称轴直线公式求得其对称轴直线为xx=1，设，根据抛物线的对称性得，利用两点间的距离公式表示出DE、CD，再根据DE=3CD列方程求得m的值，最后代入抛物线解析式即可解答．
（1）解：把代入，
， 解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝．
设，则，
∴，
∵，
∴，解得：．
把代入，解得：，
∴点E的坐标为．
23．【答案】解：任务1．∵激光发射器的半径为，
∴激光发射器的面积为．
∵机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍，
∴机身圆型底盘大小为．
任务2．设扫地机器人机身底盘半径为R，则πR2=64π，
解得R=8cm，即扫地机器人机身圆型底盘的半径是．
该扫地机器人扫一圈的路程是，
该扫地机器人扫一圈的时间是分钟．
【知识点】圆的相关概念
【解析】【分析】（1）根据圆的面积计算公式S=πr2算出激光发射器的面积，再根据该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍即可求解；
（2）根据圆的面积公式建立方程求出扫地机器人机身底盘的半径，由于机器人自身占据了一定面积，所以扫地机器人从左上角出发，贴着墙壁清扫一圈回到原来位置的过程中每条边上都需要少行走机身自身的一个直径，据此算出该扫地机器人扫一圈的路程，最后根据路程除以速度等于时间即可算出答案.计算过程中，要注意单位的统一.
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
又∵，
∴，
∴的半径为．
如图：作于点H，
∴
又点O是CE的中点，
∴，，；
∴．
∴．
（2）证明：如图，过O作于点I，
∴∠OIB=∠ABC=∠OHB=90°，
∴四边形OIBH是矩形，
∴，，
∴ ∠MOI=∠A，
又∠MIO=∠AHO=90°，
∴
∴，即，
解得，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点G作于点N．
∴∠GNM=∠OIM=90°，
又∠GMN=∠OMI，OM=MG，
∴△GMN≌△OMI，
∴，
在Rt△OMI中，，
∴MN=MI=
∴，即是等腰直角三角形，
∵是直径，
∴，
∴．
点P由以下两种可能：
①当时，是等腰直角三角形．
∴EP＝FP＝1．
②当时，
又∠FGB+∠FEB=∠FEB+∠FEP=180°，
∴∠FEP=∠FGB=∠BCG=45°，
∴
∴，即，解得．
综上，PE的长为1或.
【知识点】圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）有矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理算出CE，即可得到该圆的半径；如图：作于点H，由垂径定理得，根据三角形中位线定理得，进而根据线段和差算出AH，在根据勾股定理算出AO，最后由AF=AO-FO，列式计算即可；
（2）如图，过O作于点I，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OIBH是矩形，由矩形对边相等且平行得OI∥AB，OI=1，由二直线平行，同位角相等得∠MOI=∠A，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△OMI∽△AOH，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，然后运用线段的和差即可证明结论；
（3）如图：过点G作于点N，首先由AAS判断出△GMN≌△OMI，得GN=OI=1，MN=MI，由勾股定理算出MI=，则可得△CNG是等腰直角三角形，由圆心角、弧、弦的关系判断出∠FEP=∠FGB=∠NCG=45°，然后分①∠PFE=∠NCG=45°时，②∠PFE=∠GBC时，两种情况，求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴的半径为．
如图：作于点H，
∴，，，
∴．
∴．
（2）解：如图，过O作于点I，
∴，，
由可得，即，解得，
∴，即．
（3）解：如图：过点G作于点N．
由（2）可得，
∴，即是等腰直角三角形，
∵是直径，
∴，
∴．
点P由以下两种可能：
①当时，是等腰直角三角形．
∴EP＝FP＝1．
②当时，
∵
∴，即，解得．
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