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贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县第五中学2025年一模数学试题
1．（2025·平塘模拟）下列实数中，比0小的数是（　　）
A． B． C． D．2
2．（2025·平塘模拟）下列数学符号中，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025·平塘模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·平塘模拟）下图中的数轴所表示的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·平塘模拟）方程的根是（　　）
A．5 B．0，5 C．1，5 D．0，
6．（2025·平塘模拟）将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·平塘模拟）为加强中学生的基本生活技能，航天中学举行了一次包饺子活动，在5分钟时间内，有一组第①，②，③，④，⑤号同学包的饺子个数分别为7，7，15，20，24，后来发现②号同学的饺子少数了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（2025·平塘模拟）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（　　）
A． B．6 C．7 D．
9．（2025·平塘模拟）做抛掷一个质地均匀，并标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（　　）
A．概率等于频率
B．频率等于
C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近
D．试验得到的频率和概率不可能相等
10．（2025·平塘模拟）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·平塘模拟）《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则根据题意列方程（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·平塘模拟）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
13．（2025·平塘模拟）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为　 　．
14．（2025·平塘模拟）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为　 　
15．（2025·平塘模拟）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位： ）和水温T（单位：）的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 ．．．
26 42 58 74 90 100 100 100 ．．．
在水烧开之前（即），水温T与时间t之间的关系式为　 　．
16．（2025·平塘模拟）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为　 　．
17．（2025·平塘模拟）（1）计算：
（2）以下是小坤化简分式 的过程．
解：原式
请补充上面的化简过程，并在2，，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入化简的结果求值．
18．（2025·平塘模拟）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为）
（1）求点A的坐标及双曲线 的函数关系式；
（2）求点C的坐标．
19．（2025·平塘模拟）年“五一”期间，威海旅游景点人头攒动，热闹非凡．文旅局对本次“五一”假期选择刘公岛、成山头、那香海、鸡鸣岛、火炬八街五个风景区（以下分别用A，B，C，D，E表示）的游客（每个游客只选择一个风景区）人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，E所占的百分比为________；A所对应的圆心角的度数为_______；
（4）因为时间关系，某游客一家打算只参观3个风景区，她们已经参观了E风景区，用列表或画树状图的方法，求她们最后选择的风景区是A，B，E的概率．
20．（2025·平塘模拟）如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求的长．
21．（2025·平塘模拟）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副．
（1）前期电话询问时羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：乒乓球拍比之前询问时涨价，而羽毛球拍则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了羽毛球拍和乒乓球拍共30副，且购买的费用没有超过2016元，则学校最多购买了多少副羽毛球拍作为奖品？
22．（2025·平塘模拟）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内）
实验图示
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求摆线的长；
（2）求 的长．
（结果精确到，参考数据：
23．（2025·平塘模拟）如图，在中，是的直径，C 是上一点，在上找一点D，使得连接，过点C作的垂线，垂足为E．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
24．（2025·平塘模拟）许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值．
25．（2025·平塘模拟）问题提出如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：因为小于0的数是负数，所以比0小，
故答案为：A．
【分析】由正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的数学符号，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的数学符号，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的数学符号，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、此选项中的数学符号，不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项计算错误，不合题意；
B、，故该选项计算正确，符合题意；
C、，故该选项计算错误，不合题意；
D、，故该选项计算错误，不合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，不等式的解集是，
故答案为：D．
【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式解集写出来即可判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
故答案为：C．
【分析】把x-5看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将一元二次方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据二直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形量锐角互余求出，进而根据平角定义，由，即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：，
∴新数据为，，，，，
A、由于②号同学的饺子数量发生了变化，而平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，故新数组与原数组的平均数不会一样，故此选项不符合题意；
B、虽然②号同学的饺子数量发生了变化，但中位数是将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后处于最中间位置的数，通过观察发现数据变化后，排序不会改变，故中位数保持不变，故此选项符合题意；
C、由于②号同学的饺子数量发生了变化，而在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，故新数组与原数组的众数不会一样，故此选项不符合题意；
D、由于②号同学的饺子数量发生了变化，故新数组与原数组的平均数不会一样，而方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，所以方差会发生变化，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此即可逐一判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，
∴∠ACB=90°，
在Rt△OBC中，∵，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据平行四边形的对角线互相平分求出，最后再利用勾股定理求出OB即可．
9．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、 当试验次数很多时，频率接近概率，故此选项错误，不符合题意；
B、频率近似，故此选项错误，不符合题意；
C、当试验次数很多时，频率稳定在概率附近，故此选项正确，符合题意；
D、试验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐一判断即可．
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD、OQ、OE，由正n边形的中心角为“”可求出∠COD=∠DOE=60°，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOQ=30°，由角的构成得∠COQ=90°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠CPQ=∠COQ，从而即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设《风》有篇，则《颂》的篇数比《风》的篇数少篇，
依题意，得：．
故答案为：D．
【分析】设《风》有篇，根据“《颂》的篇数比《风》的篇数少”可得《颂》的篇数比《风》的篇数少篇，然后根据《风》的篇数-《颂》比《风》少的篇数=《颂》的篇数列出方程即可.
12．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意；
B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意；
C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意；
D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】此图象反应的是小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系，根据图象给出的信息可得小球速度v在接触弹簧后先增加后减少，说明小球在接触弹簧的初期，由于重力大于弹簧的弹力，小球继续加速，直到弹力等于重力时，小球速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，据此可判断A选项； 小球速度v在弹簧压缩至最短时为0，说明此时小球速度最小，而非最大，据此可判断B选项；小球速度最大时，弹簧压缩长度Δl约为2cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度2cm，据此可判断C选项；小球下落至最低点时，弹簧压缩长度Δl约6为6cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度，据此可判断D.
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据作图过程可得平分，根据角平分线的定义求得，根据二直线平行，内错角相等求得，由等量代换得出，再根据等角对等边即可求解．
14．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵A，C两点的坐标分别为，
∴建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据A、C两点的坐标可得坐标原点在点C下方两个单位长度处，然后以过这点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，建立平面直角坐标系，进而根据点B在平面直角坐标系的位置读出其坐标即可.
15．【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表知开始时温度为，加热时间每增加2分钟，温度增加，
即加热时间每增加1分钟，温度增加，
∴温度T与时间t的关系式为：．
故答案为：．
【分析】根据表格给出的两个变量T关于t的数量关系知开始时温度为，加热时间每增加2分钟，温度增加，即加热时间每增加1分钟，温度增加，进而根据水的问题T等于开始温度加上加热而升高的温度，可得温度T与时间t的关系式．
16．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；矩形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与重合且与重合时，取得最小值4，
故答案为：4．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，由矩形性质及垂直定义得，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形对边相等，四个角都是直角得，，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BHPF是矩形，根据矩形对边相等得CD=AB=DE，可判断出△DEC是等腰直角三角形，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PG，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
；
，
，
当时，原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据负整数幂的性质“”、绝对值的代数意义，二次根式的性质分别化简，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可；
（2）将第二分式的分子利用平方差公式因式分解，再计算分式乘法约分化简，再根据原分式有意义的条件判断出a=1，最后将a=1代入化简结果计算即可.
18．【答案】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为2，
当时， ，
∴点C的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标为（1，3），再将点A的坐标代入算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）先求出，则点C的横坐标为2，然后将x=2代入（1）所求的反比例函数解析式算出对应的函数值，即可求出点C的坐标．
（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为2，
当时， ，
∴点C的坐标为．
19．【答案】（1）解：设本次参加抽样调查的游客有人，
依题意得，，
解得，，
∴本次参加抽样调查的游客有人；
（2）解：由题意知，类型的人数为（人），
补全统计图如下；
（3），
（4）解：由题意画树状图如下；
由图可知，共有种等可能的结果，其中同时选择的风景区是A，B共2种等可能的结果，
∵，
∴她们最后选择的风景区是A，B，E的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（3）解：由题意知，扇形统计图中，E所占的百分比为；
A所对应的圆心角的度数为，
故答案为：，；
【分析】（1）设本次参加抽样调查的游客有x人，根据去各个景点的人数之和等于本次抽样调查的游客总人数可用含x的式子表示出去景点D的游客人数，再根据去景点D的游客人数等于本次抽样调查的游客总数乘以去景点D的人数所占的百分比表示出去景点D的游客人数，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程求解即可；
（2）用本次抽样调查的游客总数乘以去景点D的人数所占的百分比即可算出去景点D的游客总人数，然后补全统计图即可；
（3）用去景点E的人数除以本次抽样调查的游客总人数即可求出扇形统计图中，E所占的百分比；用360°乘以去景点A的游客人数所占的百分比即可得出扇形统计图中， A所对应的圆心角的度数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图，由图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选择的风景区是A，B共2种等可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案.
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，，结合已知及等会死性质可推出EF=AD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等得到，利用勾股定理求得，利用等面积法求出DE即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
21．【答案】（1）解；设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元；
（2）解：设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
由题意得，
解得，
答：学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，根据总价除以单价等于数量及花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副列出方程求解即可；
（2）设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，调整后羽毛球拍的单价为80×0.9元，乒乓球排的单价为50×（1+20％）元，根据单价乘以数量等于总价及购买奖品的费用没有超过2016元列出不等式求解即可．
（1）解；设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元；
（2）解：设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
由题意得，
解得，
答：学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品．
22．【答案】（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在中，利用∠AOB的正弦函数求出OB的长即可；
（2）在中，利用∠AOB的正切函数求出OD的长，在Rt△OCE中，利用∠COE的余弦函数求出OE的长，最后由即可求解．
（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
23．【答案】（1）证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连接、
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角及垂直的定义可推出由等弧所对的圆周角相等可得，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）连接，由等边对等角及等量代换可得，由内错角相等，两直线平行可得，由二直线平行，同旁内角互补可得出CE⊥AD，从而根据切线的判定定理可得结论；
（3）连接DB、OD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形DECF是矩形，可得，由垂径定理得BD=2DF=2CE，结合已知得AD=BD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠DAB=∠DBA=45°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得，利用可得答案.
（1）证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连接、
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为
∴设抛物线的解析式为，
由题意可得，，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线AO解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
∴
联立直线BO解析式与抛物线得，，
解得（舍去），
∴，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于20或40．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点C(0，10)，故设抛物线的解析式为y=ax2+10，根据抛物线的对称性可得点A(20，6)，点B(-20，6)，然后将点A的坐标代入所设的抛物线解析式算出a的值，即可得到答案；
（2）利用待定系数法分别求出AO，BO所在直线的解析式，然后联立直线OA与抛物线的解析式求解得出点F点的坐标，同理可求出点E的坐标，进而根据两点间的距离公式可算出EF的长度；
（3）令（1）中所求抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求出抛物线与x轴两交点坐标之间的距离，然后根据三角形面积计算公式求出；根据抛物线的平移规律“左加右减”表示出新抛物线解析式，再分别令新抛物线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得到其与坐标轴的三个交点的坐标，根据三角形面积计算公式求出，根据S1与S2的关系列方程求解即可得到答案.
（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于20或40．
25．【答案】解：（1）；
（2）证明：过作交于点，则，
由折叠得，
，
，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABD，
；
（3）；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质得AC=AF，∠C=∠AFD=90°，
，
，
，
；
（3）如图，延长交延长线于点，过作于点，
平分，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
设，，
，
由（2）知，
，
，
∵，
，
，
，
，，
，
，即，
整理得，
解得（负值舍去），
．
【分析】（1）根据折叠的性质得AC=AF，∠C=∠AFD=90°，从而根据题干得出，再利用∠B的正弦函数求解即可；
（2）过F作FG∥BC交AD于点G，由二直线平行，内错角相等得∠FGD=∠ADC，由折叠性质得∠FDA=∠ADC，则∠FDG=∠FGD，由等角对等边得FD=FG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AFG∽△ABD，由相似三角形对应边成比例及等量代换可得结论；
（3）延长FD交AC延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，根据折叠性质可得∠AED=∠ACD=∠AEF=90°，由角平分线定义得∠FAE=∠CAE，从而由ASA判断出△AEF≌△AEG，由全等三角形的对应边相等得EF=EG，设DF=x，则EF=x-1=EG，DG=x-2，结合（2）的结论可得，则， 由平行线分线段成比例定理得，据此可表示出CH、DH，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△FDH∽△GDC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出x的值，即可得出答案.
1 / 1贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县第五中学2025年一模数学试题
1．（2025·平塘模拟）下列实数中，比0小的数是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：因为小于0的数是负数，所以比0小，
故答案为：A．
【分析】由正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，即可求解．
2．（2025·平塘模拟）下列数学符号中，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的数学符号，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的数学符号，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的数学符号，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、此选项中的数学符号，不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·平塘模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项计算错误，不合题意；
B、，故该选项计算正确，符合题意；
C、，故该选项计算错误，不合题意；
D、，故该选项计算错误，不合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
4．（2025·平塘模拟）下图中的数轴所表示的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，不等式的解集是，
故答案为：D．
【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式解集写出来即可判断得出答案.
5．（2025·平塘模拟）方程的根是（　　）
A．5 B．0，5 C．1，5 D．0，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
故答案为：C．
【分析】把x-5看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将一元二次方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
6．（2025·平塘模拟）将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据二直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形量锐角互余求出，进而根据平角定义，由，即可求解．
7．（2025·平塘模拟）为加强中学生的基本生活技能，航天中学举行了一次包饺子活动，在5分钟时间内，有一组第①，②，③，④，⑤号同学包的饺子个数分别为7，7，15，20，24，后来发现②号同学的饺子少数了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：，
∴新数据为，，，，，
A、由于②号同学的饺子数量发生了变化，而平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，故新数组与原数组的平均数不会一样，故此选项不符合题意；
B、虽然②号同学的饺子数量发生了变化，但中位数是将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后处于最中间位置的数，通过观察发现数据变化后，排序不会改变，故中位数保持不变，故此选项符合题意；
C、由于②号同学的饺子数量发生了变化，而在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，故新数组与原数组的众数不会一样，故此选项不符合题意；
D、由于②号同学的饺子数量发生了变化，故新数组与原数组的平均数不会一样，而方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，所以方差会发生变化，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此即可逐一判断得出答案.
8．（2025·平塘模拟）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（　　）
A． B．6 C．7 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，
∴∠ACB=90°，
在Rt△OBC中，∵，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据平行四边形的对角线互相平分求出，最后再利用勾股定理求出OB即可．
9．（2025·平塘模拟）做抛掷一个质地均匀，并标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（　　）
A．概率等于频率
B．频率等于
C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近
D．试验得到的频率和概率不可能相等
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、 当试验次数很多时，频率接近概率，故此选项错误，不符合题意；
B、频率近似，故此选项错误，不符合题意；
C、当试验次数很多时，频率稳定在概率附近，故此选项正确，符合题意；
D、试验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐一判断即可．
10．（2025·平塘模拟）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD、OQ、OE，由正n边形的中心角为“”可求出∠COD=∠DOE=60°，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOQ=30°，由角的构成得∠COQ=90°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠CPQ=∠COQ，从而即可得出答案.
11．（2025·平塘模拟）《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则根据题意列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设《风》有篇，则《颂》的篇数比《风》的篇数少篇，
依题意，得：．
故答案为：D．
【分析】设《风》有篇，根据“《颂》的篇数比《风》的篇数少”可得《颂》的篇数比《风》的篇数少篇，然后根据《风》的篇数-《颂》比《风》少的篇数=《颂》的篇数列出方程即可.
12．（2025·平塘模拟）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意；
B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意；
C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意；
D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】此图象反应的是小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系，根据图象给出的信息可得小球速度v在接触弹簧后先增加后减少，说明小球在接触弹簧的初期，由于重力大于弹簧的弹力，小球继续加速，直到弹力等于重力时，小球速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，据此可判断A选项； 小球速度v在弹簧压缩至最短时为0，说明此时小球速度最小，而非最大，据此可判断B选项；小球速度最大时，弹簧压缩长度Δl约为2cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度2cm，据此可判断C选项；小球下落至最低点时，弹簧压缩长度Δl约6为6cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度，据此可判断D.
13．（2025·平塘模拟）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据作图过程可得平分，根据角平分线的定义求得，根据二直线平行，内错角相等求得，由等量代换得出，再根据等角对等边即可求解．
14．（2025·平塘模拟）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为　 　
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵A，C两点的坐标分别为，
∴建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据A、C两点的坐标可得坐标原点在点C下方两个单位长度处，然后以过这点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，建立平面直角坐标系，进而根据点B在平面直角坐标系的位置读出其坐标即可.
15．（2025·平塘模拟）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位： ）和水温T（单位：）的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 ．．．
26 42 58 74 90 100 100 100 ．．．
在水烧开之前（即），水温T与时间t之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表知开始时温度为，加热时间每增加2分钟，温度增加，
即加热时间每增加1分钟，温度增加，
∴温度T与时间t的关系式为：．
故答案为：．
【分析】根据表格给出的两个变量T关于t的数量关系知开始时温度为，加热时间每增加2分钟，温度增加，即加热时间每增加1分钟，温度增加，进而根据水的问题T等于开始温度加上加热而升高的温度，可得温度T与时间t的关系式．
16．（2025·平塘模拟）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；矩形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与重合且与重合时，取得最小值4，
故答案为：4．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，由矩形性质及垂直定义得，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形对边相等，四个角都是直角得，，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BHPF是矩形，根据矩形对边相等得CD=AB=DE，可判断出△DEC是等腰直角三角形，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PG，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案．
17．（2025·平塘模拟）（1）计算：
（2）以下是小坤化简分式 的过程．
解：原式
请补充上面的化简过程，并在2，，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入化简的结果求值．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
；
，
，
当时，原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据负整数幂的性质“”、绝对值的代数意义，二次根式的性质分别化简，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可；
（2）将第二分式的分子利用平方差公式因式分解，再计算分式乘法约分化简，再根据原分式有意义的条件判断出a=1，最后将a=1代入化简结果计算即可.
18．（2025·平塘模拟）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为）
（1）求点A的坐标及双曲线 的函数关系式；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为2，
当时， ，
∴点C的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标为（1，3），再将点A的坐标代入算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）先求出，则点C的横坐标为2，然后将x=2代入（1）所求的反比例函数解析式算出对应的函数值，即可求出点C的坐标．
（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为2，
当时， ，
∴点C的坐标为．
19．（2025·平塘模拟）年“五一”期间，威海旅游景点人头攒动，热闹非凡．文旅局对本次“五一”假期选择刘公岛、成山头、那香海、鸡鸣岛、火炬八街五个风景区（以下分别用A，B，C，D，E表示）的游客（每个游客只选择一个风景区）人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，E所占的百分比为________；A所对应的圆心角的度数为_______；
（4）因为时间关系，某游客一家打算只参观3个风景区，她们已经参观了E风景区，用列表或画树状图的方法，求她们最后选择的风景区是A，B，E的概率．
【答案】（1）解：设本次参加抽样调查的游客有人，
依题意得，，
解得，，
∴本次参加抽样调查的游客有人；
（2）解：由题意知，类型的人数为（人），
补全统计图如下；
（3），
（4）解：由题意画树状图如下；
由图可知，共有种等可能的结果，其中同时选择的风景区是A，B共2种等可能的结果，
∵，
∴她们最后选择的风景区是A，B，E的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（3）解：由题意知，扇形统计图中，E所占的百分比为；
A所对应的圆心角的度数为，
故答案为：，；
【分析】（1）设本次参加抽样调查的游客有x人，根据去各个景点的人数之和等于本次抽样调查的游客总人数可用含x的式子表示出去景点D的游客人数，再根据去景点D的游客人数等于本次抽样调查的游客总数乘以去景点D的人数所占的百分比表示出去景点D的游客人数，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程求解即可；
（2）用本次抽样调查的游客总数乘以去景点D的人数所占的百分比即可算出去景点D的游客总人数，然后补全统计图即可；
（3）用去景点E的人数除以本次抽样调查的游客总人数即可求出扇形统计图中，E所占的百分比；用360°乘以去景点A的游客人数所占的百分比即可得出扇形统计图中， A所对应的圆心角的度数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图，由图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选择的风景区是A，B共2种等可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案.
20．（2025·平塘模拟）如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，，结合已知及等会死性质可推出EF=AD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等得到，利用勾股定理求得，利用等面积法求出DE即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
21．（2025·平塘模拟）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副．
（1）前期电话询问时羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：乒乓球拍比之前询问时涨价，而羽毛球拍则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了羽毛球拍和乒乓球拍共30副，且购买的费用没有超过2016元，则学校最多购买了多少副羽毛球拍作为奖品？
【答案】（1）解；设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元；
（2）解：设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
由题意得，
解得，
答：学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，根据总价除以单价等于数量及花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副列出方程求解即可；
（2）设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，调整后羽毛球拍的单价为80×0.9元，乒乓球排的单价为50×（1+20％）元，根据单价乘以数量等于总价及购买奖品的费用没有超过2016元列出不等式求解即可．
（1）解；设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元；
（2）解：设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
由题意得，
解得，
答：学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品．
22．（2025·平塘模拟）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内）
实验图示
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求摆线的长；
（2）求 的长．
（结果精确到，参考数据：
【答案】（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在中，利用∠AOB的正弦函数求出OB的长即可；
（2）在中，利用∠AOB的正切函数求出OD的长，在Rt△OCE中，利用∠COE的余弦函数求出OE的长，最后由即可求解．
（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
23．（2025·平塘模拟）如图，在中，是的直径，C 是上一点，在上找一点D，使得连接，过点C作的垂线，垂足为E．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连接、
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角及垂直的定义可推出由等弧所对的圆周角相等可得，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）连接，由等边对等角及等量代换可得，由内错角相等，两直线平行可得，由二直线平行，同旁内角互补可得出CE⊥AD，从而根据切线的判定定理可得结论；
（3）连接DB、OD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形DECF是矩形，可得，由垂径定理得BD=2DF=2CE，结合已知得AD=BD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠DAB=∠DBA=45°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得，利用可得答案.
（1）证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连接、
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·平塘模拟）许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为
∴设抛物线的解析式为，
由题意可得，，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线AO解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
∴
联立直线BO解析式与抛物线得，，
解得（舍去），
∴，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于20或40．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点C(0，10)，故设抛物线的解析式为y=ax2+10，根据抛物线的对称性可得点A(20，6)，点B(-20，6)，然后将点A的坐标代入所设的抛物线解析式算出a的值，即可得到答案；
（2）利用待定系数法分别求出AO，BO所在直线的解析式，然后联立直线OA与抛物线的解析式求解得出点F点的坐标，同理可求出点E的坐标，进而根据两点间的距离公式可算出EF的长度；
（3）令（1）中所求抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求出抛物线与x轴两交点坐标之间的距离，然后根据三角形面积计算公式求出；根据抛物线的平移规律“左加右减”表示出新抛物线解析式，再分别令新抛物线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得到其与坐标轴的三个交点的坐标，根据三角形面积计算公式求出，根据S1与S2的关系列方程求解即可得到答案.
（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于20或40．
25．（2025·平塘模拟）问题提出如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长．
【答案】解：（1）；
（2）证明：过作交于点，则，
由折叠得，
，
，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABD，
；
（3）；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质得AC=AF，∠C=∠AFD=90°，
，
，
，
；
（3）如图，延长交延长线于点，过作于点，
平分，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
设，，
，
由（2）知，
，
，
∵，
，
，
，
，，
，
，即，
整理得，
解得（负值舍去），
．
【分析】（1）根据折叠的性质得AC=AF，∠C=∠AFD=90°，从而根据题干得出，再利用∠B的正弦函数求解即可；
（2）过F作FG∥BC交AD于点G，由二直线平行，内错角相等得∠FGD=∠ADC，由折叠性质得∠FDA=∠ADC，则∠FDG=∠FGD，由等角对等边得FD=FG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AFG∽△ABD，由相似三角形对应边成比例及等量代换可得结论；
（3）延长FD交AC延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，根据折叠性质可得∠AED=∠ACD=∠AEF=90°，由角平分线定义得∠FAE=∠CAE，从而由ASA判断出△AEF≌△AEG，由全等三角形的对应边相等得EF=EG，设DF=x，则EF=x-1=EG，DG=x-2，结合（2）的结论可得，则， 由平行线分线段成比例定理得，据此可表示出CH、DH，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△FDH∽△GDC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出x的值，即可得出答案.
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