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广东省深圳南外集团2024-2025学年七下数学期中试卷
1.(2025七下·深圳期中) 近日,我国半导体技术有了新突破,中科院计算技术研究所成功研制出2m的超导神经形态处理器原型芯片“苏轼”,其中数据2m(即0.000002m)用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解:0.000002=2×10-6m.
故答案为:B.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1|a|10,n为整数).数据“2×10-6m”中的a=2,指数n等于-6,所以,需要把2的小数点向左移动6位,就得到原数。
2.(2025七下·深圳期中) 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;完全平方公式及运用;积的乘方运算;幂的乘方运算
3.(2025七下·深圳期中) 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球,从中随机摸出一个球,是红球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解:3÷(3+2)=
故答案为:A.
【分析】 计算从袋中摸出红球的概率。解题的关键在于确定红球数量和总球数,然后应用概率公式: 概率=红球数量÷总球数进行计算。
4.(2025七下·深圳期中) 如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,∠1=55°,则∠2的度数为( )
A.55° B.105° C.125° D.135°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解:∵a//b,∠1=55°,
∴∠2+∠3=180°,
又∵∠1=∠3°,
∴∠2=180°-55°=125°.
故答案为:C.
【分析】 根据平行线的性质,结合已知角的度数,通过同位角或同旁内角的关系找到∠2与∠1的联系,进而计算出∠2的具体度数。
5.(2025七下·深圳期中)如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,小明在池塘一侧选取了一点P,测得PA=14m,PB=10m,那么AB间的距离不可能是( )
A.4m B.15m C.20m D.22m
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解: PA -PB< AB< PA+PB
∴14 -10∴4m < AB < 24m
则A不满足。
故答案为:A.
【分析】 需确定AB间的距离不可能的选项,利用三角形三边关系,AB的长度应满足:两边之差小于第三边且小于两边之和。
6.(2025七下·深圳期中)下列说法中正确的是( )
A.同位角相等
B.某彩票中奖率是,则买100张彩票一定有一张中奖
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.等腰三角形的一边长4,一边长9,则它的周长为17或22
【答案】C
【知识点】平行公理及推论;等腰三角形的性质;概率的意义;同位角的概念
【解析】【解答】解:A、如图,
与是同位角,但显然,A错误;
B、中奖率是买彩票中奖的可能性,买100张彩票不一定会中奖,B错误;
C、如图,,,
,,
,,
,
,C正确;
D、当等腰三角形的腰长为4时,则三角形三边分别为4、4、9,
4+4=8<9,
长度分别为4、4、9的三条线段不能组成三角形,
当等腰三角形的腰长为9时,则三角形三边分别为4、9、9,
4+9=13>9,
长度分别为4、9、9的三条线段能组成三角形,
周长=4+9+9=22,
等腰三角形的周长为22,D错误,
故答案为:C.
【分析】两直线平行,同位角相等;
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率;
利用平行线的性质证得相等,进而得到平行于同一条直线的两条直线平行;
确定三角形的边长时需考虑三条线段长度是否符合三角形三边关系.
7.(2025七下·深圳期中) 如图所示的4×4的正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是( )
A.360° B.315° C.225° D.270°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解: ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
= (∠1+∠7)+(∠2+∠6)+(∠3+∠5)+∠4
= 3×90°+45° = 315°。
故答案为:B.
【分析】 由图可得∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等,继而得到∠1+∠7=90°,同理可得∠2+∠6=90°,∠3+∠5=90°,∠4=45°;接下来∠1+∠7、∠2+∠6、∠3+∠5、∠4的值代入待求式,计算即可得到答案。
8.(2025七下·深圳期中)我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为( )
A.210 B.171 C.191 D.190
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解: 观察“杨辉三角”中的第三列,可以发现规律为连续自然数之和:
( + )3 的第三项系数为3 = 1+2 ;
( + )4 的第三项系数为6 = 1+2+3 ;
( + )5 的第三项系数为10 = 1+2+3+4 ;
......
( + )20 的第三项系数为1+2+3+4+ +19=190.
故答案为:D.
【分析】 观察“杨辉三角”中的第三列,发现其规律为连续自然数之和。接着,基于此规律,推导出 ( + ) 的第三项系数的计算公式。最后,根据公式计算 ( + )20 的第三项系数,并选择正确答案。
9.(2025七下·深圳期中)一个角等于55度,则这个角的补角等于 度.
【答案】125
【知识点】补角
【解析】【解答】解: 180° 55°=125°。
故答案为:125.
【分析】 补角的定义是两个角相加等于180度,因此只需用180度减去已知角度即可得到补角。
10.(2025七下·深圳期中) 如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,若S△ABC=12,AC=3,则点D到AC的距离为 .
【答案】4
【知识点】点到直线的距离;三角形的中线
【解析】【解答】解:∵ AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∵ S△ABC=12
∴ S△ACD= 12S△ABC=6
∵AC=3
∴ D到AC的距离 =6×2÷3=4.
故答案为:4.
【分析】 即AD是三角形ABC中BC边上的中线,三角形ACDDE的面积是三角形ABC的面积的一半,然后根据三角形的面积公式反求解点D到AC的距离。
11.(2025七下·深圳期中)已知2a=3,4b=5, 则 的值是 .
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:∵2a=3,4b=5,
∴ = .
故答案为:15.
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
12.(2025七下·深圳期中)近年来,深圳实施“山海连城”计划,打造了一条横贯深圳东西海岸,连通滨海海岸空间的高品质骑行道,图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°,当∠MAC为 度时,AM与CB平行.
【答案】66
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解:∵AE//CD,∠BCD=60°,
∴∠ABC=∠BCD=60°,
∵∠BAC=54°,
∴∠ACB=180°-60°=54°=66°,
∵AM//CB,
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为:66.
【分析】 首先,我们需要根据题目给出的条件,利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系,然后,结合平行线的判定定理,根据内错角相等,两直线会平行。
13.(2025七下·深圳期中) 如图,中,,,。点P从A点出发沿路径运动,终点为B点;点Q从B点出发沿路径运动,终点为A点,点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动,两点到达相应的终点时分别停止运动.若分别过点P和Q作于E,于F. 当与全等时,点P的运动时间t为 s.
【答案】1或12或
【知识点】全等三角形的应用;三角形-动点问题;同侧一线三垂直全等模型
14.(2025七下·深圳期中)计算下列各题:
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)解:原式=-8+9-1
=0
(2)解:原式=9x4y2(-2xy3)-6x4y5 = -18x5y5 -6x4y5
(3)解:原式=
=116x2+12x-1
【知识点】单项式乘单项式;零指数幂;负整数指数幂;多项式除以单项式
【解析】【分析】 (1)运用幂运算规则,分别计算乘方、负指数幂、零指数幂,再进行加减;
(2)先算积的乘方,再算单项式乘法,最后进行整式加减运算 ;
(3)先计算出除数(-2x)2的值,再根据多项式除以单项式的法则,将多项式的每一项分别除以单项式,最后将所得的商相加。
15.(2025七下·深圳期中) 先化简,再求值:,其中,.
【答案】解:原式
,
当,时,
原式.
16.(2025七下·深圳期中)填空:(请补全下列证明过程及括号内的推理依据)
已知:如图,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:∠A=∠F.
证明:∵∠1= ∠2 (已知),
∠1=∠3( )
∴∠2=∠3(等量代换),
∴BD //CE ( )
∴∠D=∠ ▲ ( )
又∵∠C=∠D(已知),
∴∠C=∠ ▲ (等量代换),
∴ ▲ // ▲ ( )
∴∠A=∠F ( )
【答案】证明:∵∠1=∠2(已知),
∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴BD//CE(同位角相等,两直线平行),
∴∠D=∠4(两直线平行,同位角相等),
又∵∠C=∠D(已知),
∴∠C=∠4(等量代换),
∴AC//DF(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】 本题需要证明∠A=∠F,通过观察图形和已知条件,我们可以采用平行线的性质和等量代换的方法来证明。
17.(2025七下·深圳期中)某商场进行“6·18”促销活动,设计了如下两种摇奖方式:
方式一:如图1,有一枚均匀的正二十面体形状的散子,其中的1个面标有“1”,2个面标有“2”,3个面标有“3”,4个面标有“4”,5个面标有“5”,其余的面标有“6”.将这个骰子掷出后,“6”朝上则获奖;
方式二:如图2,一个均匀的转盘被等分成12份,分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这12个数字,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字为3的倍数则获奖.
(1)若采用方式一,骰子掷出后,“5”朝上的概率为 .
(2)若采用方式二,当转盘停止后,指针指向的数字为“5”的概率为 .
(3)小明想增加获奖机会,应选择哪种摇奖方式?请通过相关计算,应用概率相关知识说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)解:6朝上的概率:
方式一:
数字为3的倍数的概率
方式二:
比较两种方式的获奖概率:因为,所以方式二的获奖概率更大,小明应该选择方式二来增加获奖机会。
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】(1)“5”朝上的概率为,
故答案为:.
(2)指针指向的数字为“5”的概率为:,
故答案为:.
【分析】 题目涉及两种不同的摇奖方式,一种是正二十面体骰子,另一种是等分的转盘。问题要求计算在两种方式中特定事件发生的概率,以及比较两种方式的获奖概率,从而为小明选择更有利于获奖的方式提供建议。
18.(2025七下·深圳期中)如图所示,E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点,且.AE=CF,CE、BF交于点P.
(1)求证:CE=BF;
(2)求∠BPC的度数.
【答案】(1)证明:∵ 三角形ABC 是等边三角形
∴AC=CB,∠A=∠BCF=60°
在△ACE和△CBF中
∵
∴△ACE△CBF(SAS)
∴CE=BF
(2)解:∵△ACE△CBF
∴∠CBF=∠ACE
∵∠BPE=∠CBF+∠BCP
∴∠BPE=∠ACE+∠BCP=∠ACB=60°
∴ ∠BPC =180°-60°=120°
【知识点】三角形全等的判定;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 本题主要涉及等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质。
(1)通过等边三角形的性质得出边和角的关系,再利用全等三角形的判定定理(SAS)证明两个三角形全等,从而得出对应边相等;
(2)利用全等三角形的性质得到角的关系,再结合三角形内角和定理及外角的性质求出∠BPC的度数。
19.(2025七下·深圳期中)【阅读理解】
在学习《整式的乘法》时,我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式,了解公式的几何背景,体会了“以数解形、以形助数”的思想方法.
(1)①观察图1,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 .
②根据上面的信息回答:若a+b=10,ab=19,则a2+b2的值为 .
(2)【知识延伸】
若x满足(10-x)(x-30)=20,求(10-x)2+(x-30)2的值.我们可以作如下解答:
设a=10-x, b=x-30,则(10-x)(x-30)=ab=20,a+b=(10-x)+(x-30)=-20.
所以(10-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-20)2-220=360
请根据你对上述内容的理解,解答问题:
若x满足(x-2024)2+(2025-x)2=21, 求(x-2024)(2025-x)的值
(3)【拓展探索】
如图2,将正方形ABCD叠放在正方形HMFN上,重叠部分是面积为32的长方形AEFG,延长线段DA,BA分别交MH,HN于点Q、P,若四边形QMEA和四边形PAGN都是正方形,GD=2,EB=6,求正方形HMFN的边长
【答案】(1)a2+b2 = (a+b)2 - 2ab;81
(2)解:设a= x-2024,b=2025-x;
∴a+b=1,a2+b2=21
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=1-21=-20
∴ab=-10
∴(x-2024)(2025-x) =-10
(3)解:设正方形QMEA的边长为a,正方形PAGN的边长为b,
由题意知AB= AG,
∴a+6=b+2,即a-b=-4,
∵长方形AEFG的面积为32,
∴ab= 32,
∴(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = (a - b)2 + 4ab,
∴(a +b)2 = a2 +b2 +2ab = (a - b})2 + 4ab = 16 +128=144
∴该正方形的边长为.
【知识点】完全平方公式及运用;完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解:(1) ①通过两种表达方式相等,得到等式:a2+b2 = (a+b)2 - 2ab;
故答案为:a2+b2 = (a+b)2 -2ab
②a2+b2 = (a+b)2 -2ab
=102-19
=81
故答案为:81.
【分析】 (1)根据(a+ b)2= a2 + b2 + 2ab代入计算即可;
(2)设a=x-2024,b=2025-x,由题意得a+b= 1, a2+b2 =21, 由(a+b)2=a2+b2+2ab代入计算即可;
(3)设正方形QMEA的边长为a,正方形PAGN的边长为b,由题意得a-b=-4,ab=32,根据
(a+b)2=(a-b)2 +4ab代入计算即可。
20.(2025七下·深圳期中) “千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市,全市公园数量达到1290个.其中一个公园为吸引游客,在公园湖边布置了“灯光秀”,为了强化灯光效果,在湖的两岸安置了可旋转探照灯.假定湖两岸是平行的,如图1所示,EF//GH、AB⊥GH,灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转,灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立即回转,两灯不停旋转交叉照射.若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度/秒,且满足|a+b-4|+(b-3)2=0.
(1)填空:a= ,b= .
(2)若灯A射线转动20秒后,灯B射线开始转动,在灯A射线到达AE之前,B灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图2,两灯同时转动,在灯B射线到达BH之前,两灯射出的光束交于点C.点D在射线AF上,在转动过程中,∠ABC=k·∠ACD(k为常数)且∠BCD度数保持不变,请求出k的值和∠BCD的度数.
【答案】(1)1;3
(2)解:①设B灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
①当0∵EF//GH,
∴∠FAC = ∠ACG,
∵AC//BD,
∴∠GBD= ∠ACG,
∴∠GBD= ∠FAC,
∴3t = 1x(20+t),
解得t=10;
②当90<t160时,如图,
∵EF//HG,
∴∠FAC+ ∠ACG=180°,
∵AC//BD,
∴∠HBD=∠ACG,
∴∠FAC+∠HBD=180°,
∴1 x (20 + t) + (3t - 180) = 180,
解得t=85,
综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;
(3)解:设灯B射线转动时间为t秒,
∵∠CBH=180°-3t,
∴∠ABC= 90°-(180°- 3t) = 3t- 90°,
又∵∠BAC=90°-t,
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2t,
而∠ABC=k·∠ACD,
∴∠BCD= ∠ACD+∠BCA
=
=
当时,在转动过程中,存在一点D,使得k为定值,
∴k=
∴∠BCD=
=120°
【知识点】平行线的判定与性质;平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】(1)∵| + 4 | + ( 3 )2 = 0 ,
∴
解得:a=1,b=3
故答案为:1,3.
【分析】(1)根据绝对值和平方项的非负性质,将已知条件转化为方程组,解方程组求得a和b的值;
(2)利用旋转角度与时间的关系,建立等式关系,解方程求得t的值;
(3)根据角的性质,建立角与角之间的等式关系,解方程求得k和∠BCD的值。
1 / 1广东省深圳南外集团2024-2025学年七下数学期中试卷
1.(2025七下·深圳期中) 近日,我国半导体技术有了新突破,中科院计算技术研究所成功研制出2m的超导神经形态处理器原型芯片“苏轼”,其中数据2m(即0.000002m)用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
2.(2025七下·深圳期中) 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.(2025七下·深圳期中) 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球,从中随机摸出一个球,是红球的概率为( )
A. B. C. D.
4.(2025七下·深圳期中) 如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,∠1=55°,则∠2的度数为( )
A.55° B.105° C.125° D.135°
5.(2025七下·深圳期中)如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,小明在池塘一侧选取了一点P,测得PA=14m,PB=10m,那么AB间的距离不可能是( )
A.4m B.15m C.20m D.22m
6.(2025七下·深圳期中)下列说法中正确的是( )
A.同位角相等
B.某彩票中奖率是,则买100张彩票一定有一张中奖
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.等腰三角形的一边长4,一边长9,则它的周长为17或22
7.(2025七下·深圳期中) 如图所示的4×4的正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是( )
A.360° B.315° C.225° D.270°
8.(2025七下·深圳期中)我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为( )
A.210 B.171 C.191 D.190
9.(2025七下·深圳期中)一个角等于55度,则这个角的补角等于 度.
10.(2025七下·深圳期中) 如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,若S△ABC=12,AC=3,则点D到AC的距离为 .
11.(2025七下·深圳期中)已知2a=3,4b=5, 则 的值是 .
12.(2025七下·深圳期中)近年来,深圳实施“山海连城”计划,打造了一条横贯深圳东西海岸,连通滨海海岸空间的高品质骑行道,图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°,当∠MAC为 度时,AM与CB平行.
13.(2025七下·深圳期中) 如图,中,,,。点P从A点出发沿路径运动,终点为B点;点Q从B点出发沿路径运动,终点为A点,点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动,两点到达相应的终点时分别停止运动.若分别过点P和Q作于E,于F. 当与全等时,点P的运动时间t为 s.
14.(2025七下·深圳期中)计算下列各题:
(1)
(2)
(3)
15.(2025七下·深圳期中) 先化简,再求值:,其中,.
16.(2025七下·深圳期中)填空:(请补全下列证明过程及括号内的推理依据)
已知:如图,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:∠A=∠F.
证明:∵∠1= ∠2 (已知),
∠1=∠3( )
∴∠2=∠3(等量代换),
∴BD //CE ( )
∴∠D=∠ ▲ ( )
又∵∠C=∠D(已知),
∴∠C=∠ ▲ (等量代换),
∴ ▲ // ▲ ( )
∴∠A=∠F ( )
17.(2025七下·深圳期中)某商场进行“6·18”促销活动,设计了如下两种摇奖方式:
方式一:如图1,有一枚均匀的正二十面体形状的散子,其中的1个面标有“1”,2个面标有“2”,3个面标有“3”,4个面标有“4”,5个面标有“5”,其余的面标有“6”.将这个骰子掷出后,“6”朝上则获奖;
方式二:如图2,一个均匀的转盘被等分成12份,分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这12个数字,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字为3的倍数则获奖.
(1)若采用方式一,骰子掷出后,“5”朝上的概率为 .
(2)若采用方式二,当转盘停止后,指针指向的数字为“5”的概率为 .
(3)小明想增加获奖机会,应选择哪种摇奖方式?请通过相关计算,应用概率相关知识说明理由.
18.(2025七下·深圳期中)如图所示,E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点,且.AE=CF,CE、BF交于点P.
(1)求证:CE=BF;
(2)求∠BPC的度数.
19.(2025七下·深圳期中)【阅读理解】
在学习《整式的乘法》时,我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式,了解公式的几何背景,体会了“以数解形、以形助数”的思想方法.
(1)①观察图1,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 .
②根据上面的信息回答:若a+b=10,ab=19,则a2+b2的值为 .
(2)【知识延伸】
若x满足(10-x)(x-30)=20,求(10-x)2+(x-30)2的值.我们可以作如下解答:
设a=10-x, b=x-30,则(10-x)(x-30)=ab=20,a+b=(10-x)+(x-30)=-20.
所以(10-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-20)2-220=360
请根据你对上述内容的理解,解答问题:
若x满足(x-2024)2+(2025-x)2=21, 求(x-2024)(2025-x)的值
(3)【拓展探索】
如图2,将正方形ABCD叠放在正方形HMFN上,重叠部分是面积为32的长方形AEFG,延长线段DA,BA分别交MH,HN于点Q、P,若四边形QMEA和四边形PAGN都是正方形,GD=2,EB=6,求正方形HMFN的边长
20.(2025七下·深圳期中) “千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市,全市公园数量达到1290个.其中一个公园为吸引游客,在公园湖边布置了“灯光秀”,为了强化灯光效果,在湖的两岸安置了可旋转探照灯.假定湖两岸是平行的,如图1所示,EF//GH、AB⊥GH,灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转,灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立即回转,两灯不停旋转交叉照射.若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度/秒,且满足|a+b-4|+(b-3)2=0.
(1)填空:a= ,b= .
(2)若灯A射线转动20秒后,灯B射线开始转动,在灯A射线到达AE之前,B灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图2,两灯同时转动,在灯B射线到达BH之前,两灯射出的光束交于点C.点D在射线AF上,在转动过程中,∠ABC=k·∠ACD(k为常数)且∠BCD度数保持不变,请求出k的值和∠BCD的度数.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解:0.000002=2×10-6m.
故答案为:B.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1|a|10,n为整数).数据“2×10-6m”中的a=2,指数n等于-6,所以,需要把2的小数点向左移动6位,就得到原数。
2.【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;完全平方公式及运用;积的乘方运算;幂的乘方运算
3.【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解:3÷(3+2)=
故答案为:A.
【分析】 计算从袋中摸出红球的概率。解题的关键在于确定红球数量和总球数,然后应用概率公式: 概率=红球数量÷总球数进行计算。
4.【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解:∵a//b,∠1=55°,
∴∠2+∠3=180°,
又∵∠1=∠3°,
∴∠2=180°-55°=125°.
故答案为:C.
【分析】 根据平行线的性质,结合已知角的度数,通过同位角或同旁内角的关系找到∠2与∠1的联系,进而计算出∠2的具体度数。
5.【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解: PA -PB< AB< PA+PB
∴14 -10∴4m < AB < 24m
则A不满足。
故答案为:A.
【分析】 需确定AB间的距离不可能的选项,利用三角形三边关系,AB的长度应满足:两边之差小于第三边且小于两边之和。
6.【答案】C
【知识点】平行公理及推论;等腰三角形的性质;概率的意义;同位角的概念
【解析】【解答】解:A、如图,
与是同位角,但显然,A错误;
B、中奖率是买彩票中奖的可能性,买100张彩票不一定会中奖,B错误;
C、如图,,,
,,
,,
,
,C正确;
D、当等腰三角形的腰长为4时,则三角形三边分别为4、4、9,
4+4=8<9,
长度分别为4、4、9的三条线段不能组成三角形,
当等腰三角形的腰长为9时,则三角形三边分别为4、9、9,
4+9=13>9,
长度分别为4、9、9的三条线段能组成三角形,
周长=4+9+9=22,
等腰三角形的周长为22,D错误,
故答案为:C.
【分析】两直线平行,同位角相等;
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率;
利用平行线的性质证得相等,进而得到平行于同一条直线的两条直线平行;
确定三角形的边长时需考虑三条线段长度是否符合三角形三边关系.
7.【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解: ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
= (∠1+∠7)+(∠2+∠6)+(∠3+∠5)+∠4
= 3×90°+45° = 315°。
故答案为:B.
【分析】 由图可得∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等,继而得到∠1+∠7=90°,同理可得∠2+∠6=90°,∠3+∠5=90°,∠4=45°;接下来∠1+∠7、∠2+∠6、∠3+∠5、∠4的值代入待求式,计算即可得到答案。
8.【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解: 观察“杨辉三角”中的第三列,可以发现规律为连续自然数之和:
( + )3 的第三项系数为3 = 1+2 ;
( + )4 的第三项系数为6 = 1+2+3 ;
( + )5 的第三项系数为10 = 1+2+3+4 ;
......
( + )20 的第三项系数为1+2+3+4+ +19=190.
故答案为:D.
【分析】 观察“杨辉三角”中的第三列,发现其规律为连续自然数之和。接着,基于此规律,推导出 ( + ) 的第三项系数的计算公式。最后,根据公式计算 ( + )20 的第三项系数,并选择正确答案。
9.【答案】125
【知识点】补角
【解析】【解答】解: 180° 55°=125°。
故答案为:125.
【分析】 补角的定义是两个角相加等于180度,因此只需用180度减去已知角度即可得到补角。
10.【答案】4
【知识点】点到直线的距离;三角形的中线
【解析】【解答】解:∵ AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∵ S△ABC=12
∴ S△ACD= 12S△ABC=6
∵AC=3
∴ D到AC的距离 =6×2÷3=4.
故答案为:4.
【分析】 即AD是三角形ABC中BC边上的中线,三角形ACDDE的面积是三角形ABC的面积的一半,然后根据三角形的面积公式反求解点D到AC的距离。
11.【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:∵2a=3,4b=5,
∴ = .
故答案为:15.
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
12.【答案】66
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解:∵AE//CD,∠BCD=60°,
∴∠ABC=∠BCD=60°,
∵∠BAC=54°,
∴∠ACB=180°-60°=54°=66°,
∵AM//CB,
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为:66.
【分析】 首先,我们需要根据题目给出的条件,利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系,然后,结合平行线的判定定理,根据内错角相等,两直线会平行。
13.【答案】1或12或
【知识点】全等三角形的应用;三角形-动点问题;同侧一线三垂直全等模型
14.【答案】(1)解:原式=-8+9-1
=0
(2)解:原式=9x4y2(-2xy3)-6x4y5 = -18x5y5 -6x4y5
(3)解:原式=
=116x2+12x-1
【知识点】单项式乘单项式;零指数幂;负整数指数幂;多项式除以单项式
【解析】【分析】 (1)运用幂运算规则,分别计算乘方、负指数幂、零指数幂,再进行加减;
(2)先算积的乘方,再算单项式乘法,最后进行整式加减运算 ;
(3)先计算出除数(-2x)2的值,再根据多项式除以单项式的法则,将多项式的每一项分别除以单项式,最后将所得的商相加。
15.【答案】解:原式
,
当,时,
原式.
16.【答案】证明:∵∠1=∠2(已知),
∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴BD//CE(同位角相等,两直线平行),
∴∠D=∠4(两直线平行,同位角相等),
又∵∠C=∠D(已知),
∴∠C=∠4(等量代换),
∴AC//DF(内错角相等,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】 本题需要证明∠A=∠F,通过观察图形和已知条件,我们可以采用平行线的性质和等量代换的方法来证明。
17.【答案】(1)
(2)
(3)解:6朝上的概率:
方式一:
数字为3的倍数的概率
方式二:
比较两种方式的获奖概率:因为,所以方式二的获奖概率更大,小明应该选择方式二来增加获奖机会。
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】(1)“5”朝上的概率为,
故答案为:.
(2)指针指向的数字为“5”的概率为:,
故答案为:.
【分析】 题目涉及两种不同的摇奖方式,一种是正二十面体骰子,另一种是等分的转盘。问题要求计算在两种方式中特定事件发生的概率,以及比较两种方式的获奖概率,从而为小明选择更有利于获奖的方式提供建议。
18.【答案】(1)证明:∵ 三角形ABC 是等边三角形
∴AC=CB,∠A=∠BCF=60°
在△ACE和△CBF中
∵
∴△ACE△CBF(SAS)
∴CE=BF
(2)解:∵△ACE△CBF
∴∠CBF=∠ACE
∵∠BPE=∠CBF+∠BCP
∴∠BPE=∠ACE+∠BCP=∠ACB=60°
∴ ∠BPC =180°-60°=120°
【知识点】三角形全等的判定;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 本题主要涉及等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质。
(1)通过等边三角形的性质得出边和角的关系,再利用全等三角形的判定定理(SAS)证明两个三角形全等,从而得出对应边相等;
(2)利用全等三角形的性质得到角的关系,再结合三角形内角和定理及外角的性质求出∠BPC的度数。
19.【答案】(1)a2+b2 = (a+b)2 - 2ab;81
(2)解:设a= x-2024,b=2025-x;
∴a+b=1,a2+b2=21
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=1-21=-20
∴ab=-10
∴(x-2024)(2025-x) =-10
(3)解:设正方形QMEA的边长为a,正方形PAGN的边长为b,
由题意知AB= AG,
∴a+6=b+2,即a-b=-4,
∵长方形AEFG的面积为32,
∴ab= 32,
∴(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = (a - b)2 + 4ab,
∴(a +b)2 = a2 +b2 +2ab = (a - b})2 + 4ab = 16 +128=144
∴该正方形的边长为.
【知识点】完全平方公式及运用;完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解:(1) ①通过两种表达方式相等,得到等式:a2+b2 = (a+b)2 - 2ab;
故答案为:a2+b2 = (a+b)2 -2ab
②a2+b2 = (a+b)2 -2ab
=102-19
=81
故答案为:81.
【分析】 (1)根据(a+ b)2= a2 + b2 + 2ab代入计算即可;
(2)设a=x-2024,b=2025-x,由题意得a+b= 1, a2+b2 =21, 由(a+b)2=a2+b2+2ab代入计算即可;
(3)设正方形QMEA的边长为a,正方形PAGN的边长为b,由题意得a-b=-4,ab=32,根据
(a+b)2=(a-b)2 +4ab代入计算即可。
20.【答案】(1)1;3
(2)解:①设B灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
①当0∵EF//GH,
∴∠FAC = ∠ACG,
∵AC//BD,
∴∠GBD= ∠ACG,
∴∠GBD= ∠FAC,
∴3t = 1x(20+t),
解得t=10;
②当90<t160时,如图,
∵EF//HG,
∴∠FAC+ ∠ACG=180°,
∵AC//BD,
∴∠HBD=∠ACG,
∴∠FAC+∠HBD=180°,
∴1 x (20 + t) + (3t - 180) = 180,
解得t=85,
综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;
(3)解:设灯B射线转动时间为t秒,
∵∠CBH=180°-3t,
∴∠ABC= 90°-(180°- 3t) = 3t- 90°,
又∵∠BAC=90°-t,
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2t,
而∠ABC=k·∠ACD,
∴∠BCD= ∠ACD+∠BCA
=
=
当时,在转动过程中,存在一点D,使得k为定值,
∴k=
∴∠BCD=
=120°
【知识点】平行线的判定与性质;平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】(1)∵| + 4 | + ( 3 )2 = 0 ,
∴
解得:a=1,b=3
故答案为:1,3.
【分析】(1)根据绝对值和平方项的非负性质,将已知条件转化为方程组,解方程组求得a和b的值;
(2)利用旋转角度与时间的关系,建立等式关系,解方程求得t的值;
(3)根据角的性质,建立角与角之间的等式关系,解方程求得k和∠BCD的值。
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