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广东省深圳南外集团2024-2025学年七下数学期中试卷
1．（2025七下·深圳期中） 近日，我国半导体技术有了新突破，中科院计算技术研究所成功研制出2m的超导神经形态处理器原型芯片“苏轼”，其中数据2m（即0.000002m）用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000002=2×10-6m.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1|a|10，n为整数).数据“2×10-6m”中的a=2，指数n等于-6，所以，需要把2的小数点向左移动6位，就得到原数。
2．（2025七下·深圳期中） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
3．（2025七下·深圳期中） 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：3÷(3+2)=
故答案为：A.
【分析】 计算从袋中摸出红球的概率。解题的关键在于确定红球数量和总球数，然后应用概率公式： 概率=红球数量÷总球数进行计算。
4．（2025七下·深圳期中） 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．105° C．125° D．135°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=55°，
∴∠2+∠3=180°，
又∵∠1=∠3°，
∴∠2=180°-55°=125°.
故答案为：C.
【分析】 根据平行线的性质，结合已知角的度数，通过同位角或同旁内角的关系找到∠2与∠1的联系，进而计算出∠2的具体度数。
5．（2025七下·深圳期中）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA=14m，PB=10m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．4m B．15m C．20m D．22m
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： PA -PB< AB< PA+PB
∴14 -10∴4m < AB < 24m
则A不满足。
故答案为：A.
【分析】 需确定AB间的距离不可能的选项，利用三角形三边关系，AB的长度应满足：两边之差小于第三边且小于两边之和。
6．（2025七下·深圳期中）下列说法中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．某彩票中奖率是，则买100张彩票一定有一张中奖
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．等腰三角形的一边长4，一边长9，则它的周长为17或22
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；等腰三角形的性质；概率的意义；同位角的概念
【解析】【解答】解：A、如图，
与是同位角，但显然，A错误；
B、中奖率是买彩票中奖的可能性，买100张彩票不一定会中奖，B错误；
C、如图，，，
，，
，，
，
，C正确；
D、当等腰三角形的腰长为4时，则三角形三边分别为4、4、9，
4+4=8<9，
长度分别为4、4、9的三条线段不能组成三角形，
当等腰三角形的腰长为9时，则三角形三边分别为4、9、9，
4+9=13>9，
长度分别为4、9、9的三条线段能组成三角形，
周长=4+9+9=22，
等腰三角形的周长为22，D错误，
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等；
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；
利用平行线的性质证得相等，进而得到平行于同一条直线的两条直线平行；
确定三角形的边长时需考虑三条线段长度是否符合三角形三边关系.
7．（2025七下·深圳期中） 如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是（ ）
A．360° B．315° C．225° D．270°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
= (∠1+∠7)+(∠2+∠6)+(∠3+∠5)+∠4
= 3×90°+45° = 315°。
故答案为：B.
【分析】 由图可得∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，继而得到∠1+∠7=90°，同理可得∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°；接下来∠1+∠7、∠2+∠6、∠3+∠5、∠4的值代入待求式，计算即可得到答案。
8．（2025七下·深圳期中）我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．210 B．171 C．191 D．190
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 观察“杨辉三角”中的第三列，可以发现规律为连续自然数之和：
( + )3 的第三项系数为3 = 1+2 ；
( + )4 的第三项系数为6 = 1+2+3 ；
( + )5 的第三项系数为10 = 1+2+3+4 ；
......
( + )20 的第三项系数为1+2+3+4+ +19=190.
故答案为：D.
【分析】 观察“杨辉三角”中的第三列，发现其规律为连续自然数之和。接着，基于此规律，推导出 ( + ) 的第三项系数的计算公式。最后，根据公式计算 ( + )20 的第三项系数，并选择正确答案。
9．（2025七下·深圳期中）一个角等于55度，则这个角的补角等于 度.
【答案】125
【知识点】补角
【解析】【解答】解： 180° 55°=125°。
故答案为：125.
【分析】 补角的定义是两个角相加等于180度，因此只需用180度减去已知角度即可得到补角。
10．（2025七下·深圳期中） 如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，若S△ABC=12，AC=3，则点D到AC的距离为 .
【答案】4
【知识点】点到直线的距离；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∵ S△ABC=12
∴ S△ACD= 12S△ABC=6
∵AC=3
∴ D到AC的距离 =6×2÷3=4.
故答案为：4.
【分析】 即AD是三角形ABC中BC边上的中线，三角形ACDDE的面积是三角形ABC的面积的一半，然后根据三角形的面积公式反求解点D到AC的距离。
11．（2025七下·深圳期中）已知2a＝3，4b＝5， 则 的值是 .
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵2a＝3，4b＝5，
∴ = .
故答案为：15.
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
12．（2025七下·深圳期中）近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°，当∠MAC为 度时，AM与CB平行.
【答案】66
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AE//CD，∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∵∠BAC=54°，
∴∠ACB=180°-60°=54°=66°，
∵AM//CB，
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为：66.
【分析】 首先，我们需要根据题目给出的条件，利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系，然后，结合平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线会平行。
13．（2025七下·深圳期中） 如图，中，，，。点P从A点出发沿路径运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径运动，终点为A点，点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动.若分别过点P和Q作于E，于F. 当与全等时，点P的运动时间t为 s.
【答案】1或12或
【知识点】全等三角形的应用；三角形-动点问题；同侧一线三垂直全等模型
14．（2025七下·深圳期中）计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式=-8+9-1
=0
（2）解：原式=9x4y2(-2xy3)-6x4y5 = -18x5y5 -6x4y5
（3）解：原式=
=116x2+12x-1
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】 （1）运用幂运算规则，分别计算乘方、负指数幂、零指数幂，再进行加减；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘法，最后进行整式加减运算 ；
（3）先计算出除数(-2x)2的值，再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，最后将所得的商相加。
15．（2025七下·深圳期中） 先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
16．（2025七下·深圳期中）填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F.
证明：∵∠1= ∠2 (已知)，
∠1=∠3（ ）
∴∠2=∠3(等量代换），
∴BD //CE （ ）
∴∠D=∠ ▲ （ ）
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠ ▲ (等量代换），
∴ ▲ // ▲ （ ）
∴∠A=∠F （ ）
【答案】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴BD//CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠4(等量代换)，
∴AC//DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】 本题需要证明∠A=∠F，通过观察图形和已知条件，我们可以采用平行线的性质和等量代换的方法来证明。
17．（2025七下·深圳期中）某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的散子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖.
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为 .
（2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为 .
（3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）解：6朝上的概率：
方式一：
数字为3的倍数的概率
方式二：
比较两种方式的获奖概率：因为，所以方式二的获奖概率更大，小明应该选择方式二来增加获奖机会。
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】（1）“5”朝上的概率为，
故答案为：.
(2)指针指向的数字为“5”的概率为：，
故答案为：.
【分析】 题目涉及两种不同的摇奖方式，一种是正二十面体骰子，另一种是等分的转盘。问题要求计算在两种方式中特定事件发生的概率，以及比较两种方式的获奖概率，从而为小明选择更有利于获奖的方式提供建议。
18．（2025七下·深圳期中）如图所示，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且.AE=CF，CE、BF交于点P.
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数.
【答案】（1）证明：∵ 三角形ABC 是等边三角形
∴AC=CB，∠A=∠BCF=60°
在△ACE和△CBF中
∵
∴△ACE△CBF（SAS)
∴CE=BF
（2）解：∵△ACE△CBF
∴∠CBF=∠ACE
∵∠BPE=∠CBF+∠BCP
∴∠BPE=∠ACE+∠BCP=∠ACB=60°
∴ ∠BPC =180°-60°=120°
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 本题主要涉及等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质。
（1）通过等边三角形的性质得出边和角的关系，再利用全等三角形的判定定理（SAS）证明两个三角形全等，从而得出对应边相等；
（2）利用全等三角形的性质得到角的关系，再结合三角形内角和定理及外角的性质求出∠BPC的度数。
19．（2025七下·深圳期中）【阅读理解】
在学习《整式的乘法》时，我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，体会了“以数解形、以形助数”的思想方法.
（1）①观察图1，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 .
②根据上面的信息回答：若a+b=10，ab=19，则a2+b2的值为 .
（2）【知识延伸】
若x满足(10-x)(x-30)=20，求(10-x)2+(x-30)2的值.我们可以作如下解答：
设a=10-x， b=x-30，则(10-x)(x-30)=ab=20，a+b=(10-x)+(x-30)=-20.
所以(10-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-20)2-220=360
请根据你对上述内容的理解，解答问题：
若x满足(x-2024)2+(2025-x)2=21， 求(x-2024)(2025-x)的值
（3）【拓展探索】
如图2，将正方形ABCD叠放在正方形HMFN上，重叠部分是面积为32的长方形AEFG，延长线段DA，BA分别交MH，HN于点Q、P，若四边形QMEA和四边形PAGN都是正方形，GD=2，EB=6，求正方形HMFN的边长
【答案】（1）a2+b2 = (a+b)2 - 2ab；81
（2）解：设a= x-2024，b=2025-x；
∴a+b=1，a2+b2=21
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=1-21=-20
∴ab=-10
∴(x-2024)(2025-x) =-10
（3）解：设正方形QMEA的边长为a，正方形PAGN的边长为b，
由题意知AB= AG，
∴a+6=b+2，即a-b=-4，
∵长方形AEFG的面积为32，
∴ab= 32，
∴(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = (a - b)2 + 4ab，
∴(a +b)2 = a2 +b2 +2ab = (a - b})2 + 4ab = 16 +128=144
∴该正方形的边长为.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） ①通过两种表达方式相等，得到等式：a2+b2 = (a+b)2 - 2ab；
故答案为：a2+b2 = (a+b)2 -2ab
②a2+b2 = (a+b)2 -2ab
=102-19
=81
故答案为：81.
【分析】 (1)根据(a+ b)2= a2 + b2 + 2ab代入计算即可；
(2)设a=x-2024，b=2025-x，由题意得a+b= 1， a2+b2 =21， 由(a+b)2=a2+b2+2ab代入计算即可；
(3)设正方形QMEA的边长为a，正方形PAGN的边长为b，由题意得a-b=-4，ab=32，根据
(a+b)2=(a-b)2 +4ab代入计算即可。
20．（2025七下·深圳期中） “千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个.其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯.假定湖两岸是平行的，如图1所示，EF//GH、AB⊥GH，灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立即回转，两灯不停旋转交叉照射.若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足|a+b-4|+(b-3)2=0.
（1）填空：a= ，b= .
（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达AE之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BH之前，两灯射出的光束交于点C.点D在射线AF上，在转动过程中，∠ABC=k·∠ACD(k为常数）且∠BCD度数保持不变，请求出k的值和∠BCD的度数.
【答案】（1）1；3
（2）解：①设B灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0∵EF//GH，
∴∠FAC = ∠ACG，
∵AC//BD，
∴∠GBD= ∠ACG，
∴∠GBD= ∠FAC，
∴3t = 1x(20+t)，
解得t=10；
②当90＜t160时，如图，
∵EF//HG，
∴∠FAC+ ∠ACG=180°，
∵AC//BD，
∴∠HBD=∠ACG，
∴∠FAC+∠HBD=180°，
∴1 x (20 + t) + (3t - 180) = 180，
解得t=85，
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：设灯B射线转动时间为t秒，
∵∠CBH=180°-3t，
∴∠ABC= 90°-(180°- 3t) = 3t- 90°，
又∵∠BAC=90°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2t，
而∠ABC=k·∠ACD，
∴∠BCD= ∠ACD+∠BCA
=
=
当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，
∴k=
∴∠BCD=
=120°
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】（1）∵| + 4 | + ( 3 )2 = 0 ，
∴
解得：a=1，b=3
故答案为：1，3.
【分析】（1）根据绝对值和平方项的非负性质，将已知条件转化为方程组，解方程组求得a和b的值；
（2）利用旋转角度与时间的关系，建立等式关系，解方程求得t的值；
（3）根据角的性质，建立角与角之间的等式关系，解方程求得k和∠BCD的值。
1 / 1广东省深圳南外集团2024-2025学年七下数学期中试卷
1．（2025七下·深圳期中） 近日，我国半导体技术有了新突破，中科院计算技术研究所成功研制出2m的超导神经形态处理器原型芯片“苏轼”，其中数据2m（即0.000002m）用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·深圳期中） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·深圳期中） 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·深圳期中） 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．105° C．125° D．135°
5．（2025七下·深圳期中）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA=14m，PB=10m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．4m B．15m C．20m D．22m
6．（2025七下·深圳期中）下列说法中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．某彩票中奖率是，则买100张彩票一定有一张中奖
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．等腰三角形的一边长4，一边长9，则它的周长为17或22
7．（2025七下·深圳期中） 如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是（ ）
A．360° B．315° C．225° D．270°
8．（2025七下·深圳期中）我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．210 B．171 C．191 D．190
9．（2025七下·深圳期中）一个角等于55度，则这个角的补角等于 度.
10．（2025七下·深圳期中） 如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，若S△ABC=12，AC=3，则点D到AC的距离为 .
11．（2025七下·深圳期中）已知2a＝3，4b＝5， 则 的值是 .
12．（2025七下·深圳期中）近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°，当∠MAC为 度时，AM与CB平行.
13．（2025七下·深圳期中） 如图，中，，，。点P从A点出发沿路径运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径运动，终点为A点，点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动.若分别过点P和Q作于E，于F. 当与全等时，点P的运动时间t为 s.
14．（2025七下·深圳期中）计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
15．（2025七下·深圳期中） 先化简，再求值：，其中，．
16．（2025七下·深圳期中）填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F.
证明：∵∠1= ∠2 (已知)，
∠1=∠3（ ）
∴∠2=∠3(等量代换），
∴BD //CE （ ）
∴∠D=∠ ▲ （ ）
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠ ▲ (等量代换），
∴ ▲ // ▲ （ ）
∴∠A=∠F （ ）
17．（2025七下·深圳期中）某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的散子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖.
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为 .
（2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为 .
（3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由.
18．（2025七下·深圳期中）如图所示，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且.AE=CF，CE、BF交于点P.
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数.
19．（2025七下·深圳期中）【阅读理解】
在学习《整式的乘法》时，我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，体会了“以数解形、以形助数”的思想方法.
（1）①观察图1，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 .
②根据上面的信息回答：若a+b=10，ab=19，则a2+b2的值为 .
（2）【知识延伸】
若x满足(10-x)(x-30)=20，求(10-x)2+(x-30)2的值.我们可以作如下解答：
设a=10-x， b=x-30，则(10-x)(x-30)=ab=20，a+b=(10-x)+(x-30)=-20.
所以(10-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-20)2-220=360
请根据你对上述内容的理解，解答问题：
若x满足(x-2024)2+(2025-x)2=21， 求(x-2024)(2025-x)的值
（3）【拓展探索】
如图2，将正方形ABCD叠放在正方形HMFN上，重叠部分是面积为32的长方形AEFG，延长线段DA，BA分别交MH，HN于点Q、P，若四边形QMEA和四边形PAGN都是正方形，GD=2，EB=6，求正方形HMFN的边长
20．（2025七下·深圳期中） “千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个.其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯.假定湖两岸是平行的，如图1所示，EF//GH、AB⊥GH，灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立即回转，两灯不停旋转交叉照射.若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足|a+b-4|+(b-3)2=0.
（1）填空：a= ，b= .
（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达AE之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BH之前，两灯射出的光束交于点C.点D在射线AF上，在转动过程中，∠ABC=k·∠ACD(k为常数）且∠BCD度数保持不变，请求出k的值和∠BCD的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000002=2×10-6m.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1|a|10，n为整数).数据“2×10-6m”中的a=2，指数n等于-6，所以，需要把2的小数点向左移动6位，就得到原数。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
3．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：3÷(3+2)=
故答案为：A.
【分析】 计算从袋中摸出红球的概率。解题的关键在于确定红球数量和总球数，然后应用概率公式： 概率=红球数量÷总球数进行计算。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=55°，
∴∠2+∠3=180°，
又∵∠1=∠3°，
∴∠2=180°-55°=125°.
故答案为：C.
【分析】 根据平行线的性质，结合已知角的度数，通过同位角或同旁内角的关系找到∠2与∠1的联系，进而计算出∠2的具体度数。
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： PA -PB< AB< PA+PB
∴14 -10∴4m < AB < 24m
则A不满足。
故答案为：A.
【分析】 需确定AB间的距离不可能的选项，利用三角形三边关系，AB的长度应满足：两边之差小于第三边且小于两边之和。
6．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；等腰三角形的性质；概率的意义；同位角的概念
【解析】【解答】解：A、如图，
与是同位角，但显然，A错误；
B、中奖率是买彩票中奖的可能性，买100张彩票不一定会中奖，B错误；
C、如图，，，
，，
，，
，
，C正确；
D、当等腰三角形的腰长为4时，则三角形三边分别为4、4、9，
4+4=8<9，
长度分别为4、4、9的三条线段不能组成三角形，
当等腰三角形的腰长为9时，则三角形三边分别为4、9、9，
4+9=13>9，
长度分别为4、9、9的三条线段能组成三角形，
周长=4+9+9=22，
等腰三角形的周长为22，D错误，
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等；
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；
利用平行线的性质证得相等，进而得到平行于同一条直线的两条直线平行；
确定三角形的边长时需考虑三条线段长度是否符合三角形三边关系.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
= (∠1+∠7)+(∠2+∠6)+(∠3+∠5)+∠4
= 3×90°+45° = 315°。
故答案为：B.
【分析】 由图可得∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，继而得到∠1+∠7=90°，同理可得∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°；接下来∠1+∠7、∠2+∠6、∠3+∠5、∠4的值代入待求式，计算即可得到答案。
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 观察“杨辉三角”中的第三列，可以发现规律为连续自然数之和：
( + )3 的第三项系数为3 = 1+2 ；
( + )4 的第三项系数为6 = 1+2+3 ；
( + )5 的第三项系数为10 = 1+2+3+4 ；
......
( + )20 的第三项系数为1+2+3+4+ +19=190.
故答案为：D.
【分析】 观察“杨辉三角”中的第三列，发现其规律为连续自然数之和。接着，基于此规律，推导出 ( + ) 的第三项系数的计算公式。最后，根据公式计算 ( + )20 的第三项系数，并选择正确答案。
9．【答案】125
【知识点】补角
【解析】【解答】解： 180° 55°=125°。
故答案为：125.
【分析】 补角的定义是两个角相加等于180度，因此只需用180度减去已知角度即可得到补角。
10．【答案】4
【知识点】点到直线的距离；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∵ S△ABC=12
∴ S△ACD= 12S△ABC=6
∵AC=3
∴ D到AC的距离 =6×2÷3=4.
故答案为：4.
【分析】 即AD是三角形ABC中BC边上的中线，三角形ACDDE的面积是三角形ABC的面积的一半，然后根据三角形的面积公式反求解点D到AC的距离。
11．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵2a＝3，4b＝5，
∴ = .
故答案为：15.
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
12．【答案】66
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AE//CD，∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∵∠BAC=54°，
∴∠ACB=180°-60°=54°=66°，
∵AM//CB，
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为：66.
【分析】 首先，我们需要根据题目给出的条件，利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系，然后，结合平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线会平行。
13．【答案】1或12或
【知识点】全等三角形的应用；三角形-动点问题；同侧一线三垂直全等模型
14．【答案】（1）解：原式=-8+9-1
=0
（2）解：原式=9x4y2(-2xy3)-6x4y5 = -18x5y5 -6x4y5
（3）解：原式=
=116x2+12x-1
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】 （1）运用幂运算规则，分别计算乘方、负指数幂、零指数幂，再进行加减；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘法，最后进行整式加减运算 ；
（3）先计算出除数(-2x)2的值，再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，最后将所得的商相加。
15．【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
16．【答案】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴BD//CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠C=∠4(等量代换)，
∴AC//DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】 本题需要证明∠A=∠F，通过观察图形和已知条件，我们可以采用平行线的性质和等量代换的方法来证明。
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：6朝上的概率：
方式一：
数字为3的倍数的概率
方式二：
比较两种方式的获奖概率：因为，所以方式二的获奖概率更大，小明应该选择方式二来增加获奖机会。
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】（1）“5”朝上的概率为，
故答案为：.
(2)指针指向的数字为“5”的概率为：，
故答案为：.
【分析】 题目涉及两种不同的摇奖方式，一种是正二十面体骰子，另一种是等分的转盘。问题要求计算在两种方式中特定事件发生的概率，以及比较两种方式的获奖概率，从而为小明选择更有利于获奖的方式提供建议。
18．【答案】（1）证明：∵ 三角形ABC 是等边三角形
∴AC=CB，∠A=∠BCF=60°
在△ACE和△CBF中
∵
∴△ACE△CBF（SAS)
∴CE=BF
（2）解：∵△ACE△CBF
∴∠CBF=∠ACE
∵∠BPE=∠CBF+∠BCP
∴∠BPE=∠ACE+∠BCP=∠ACB=60°
∴ ∠BPC =180°-60°=120°
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 本题主要涉及等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质。
（1）通过等边三角形的性质得出边和角的关系，再利用全等三角形的判定定理（SAS）证明两个三角形全等，从而得出对应边相等；
（2）利用全等三角形的性质得到角的关系，再结合三角形内角和定理及外角的性质求出∠BPC的度数。
19．【答案】（1）a2+b2 = (a+b)2 - 2ab；81
（2）解：设a= x-2024，b=2025-x；
∴a+b=1，a2+b2=21
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=1-21=-20
∴ab=-10
∴(x-2024)(2025-x) =-10
（3）解：设正方形QMEA的边长为a，正方形PAGN的边长为b，
由题意知AB= AG，
∴a+6=b+2，即a-b=-4，
∵长方形AEFG的面积为32，
∴ab= 32，
∴(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = (a - b)2 + 4ab，
∴(a +b)2 = a2 +b2 +2ab = (a - b})2 + 4ab = 16 +128=144
∴该正方形的边长为.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） ①通过两种表达方式相等，得到等式：a2+b2 = (a+b)2 - 2ab；
故答案为：a2+b2 = (a+b)2 -2ab
②a2+b2 = (a+b)2 -2ab
=102-19
=81
故答案为：81.
【分析】 (1)根据(a+ b)2= a2 + b2 + 2ab代入计算即可；
(2)设a=x-2024，b=2025-x，由题意得a+b= 1， a2+b2 =21， 由(a+b)2=a2+b2+2ab代入计算即可；
(3)设正方形QMEA的边长为a，正方形PAGN的边长为b，由题意得a-b=-4，ab=32，根据
(a+b)2=(a-b)2 +4ab代入计算即可。
20．【答案】（1）1；3
（2）解：①设B灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0∵EF//GH，
∴∠FAC = ∠ACG，
∵AC//BD，
∴∠GBD= ∠ACG，
∴∠GBD= ∠FAC，
∴3t = 1x(20+t)，
解得t=10；
②当90＜t160时，如图，
∵EF//HG，
∴∠FAC+ ∠ACG=180°，
∵AC//BD，
∴∠HBD=∠ACG，
∴∠FAC+∠HBD=180°，
∴1 x (20 + t) + (3t - 180) = 180，
解得t=85，
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：设灯B射线转动时间为t秒，
∵∠CBH=180°-3t，
∴∠ABC= 90°-(180°- 3t) = 3t- 90°，
又∵∠BAC=90°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2t，
而∠ABC=k·∠ACD，
∴∠BCD= ∠ACD+∠BCA
=
=
当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，
∴k=
∴∠BCD=
=120°
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】（1）∵| + 4 | + ( 3 )2 = 0 ，
∴
解得：a=1，b=3
故答案为：1，3.
【分析】（1）根据绝对值和平方项的非负性质，将已知条件转化为方程组，解方程组求得a和b的值；
（2）利用旋转角度与时间的关系，建立等式关系，解方程求得t的值；
（3）根据角的性质，建立角与角之间的等式关系，解方程求得k和∠BCD的值。
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