资源简介
广东省深圳中学2024~2025学年七年级下学期数学期中考试试卷
1．（2025七下·深圳期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·深圳期中）纸鸢是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，纸鸢的制作融合了竹篾的坚韧、纸张的轻盈以及丝线的柔韧，展现了独特的艺术魅力。在如图所示的纸鸢骨架中，与构成内错角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·深圳期中）《赤壁赋》是北宋文学家苏轼被贬谪黄州时创作的一篇赋，此赋反映了作者由月夜泛舟的舒畅，到怀古伤今的悲咽，再到精神解脱的达观。其中“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟”中的蜉蝣是最原始的有翅昆虫，它的卵十分微小，长度约0.00015m，其中0.00015用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·深圳期中）下列算式中不能使用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·深圳期中）如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（ ）
A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8
6．（2025七下·深圳期中）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来。如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（ ）
A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2
7．（2025七下·深圳期中）将纸片沿EF折叠，使得落在处，已知平分平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·深圳期中）如图，在四边形ABCD中，，点E、F分别是CB、DC延长线上的点，连接EF。已知，，则的周长为（ ）
A．3.9 B．4.6 C．4.9 D．5.1
9．（2025七下·深圳期中）“竹篮打水”属于 事件（填“不可能”“随机”或“必然”）。
10．（2025七下·深圳期中）在中，为偶数，则 。
11．（2025七下·深圳期中）如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若，则 度。
12．（2025七下·深圳期中）已知多项式与的乘积中不含和，则 。
13．（2025七下·深圳期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法。在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去。已知，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为时， 度。
14．（2025七下·深圳期中）计算：
（1）；
（2）。
15．（2025七下·深圳期中）先化简，再求值：，其中，。
16．（2025七下·深圳期中）阅读下面的推理过程，并把解题过程补充完整。
如图，已知，射线AH交BC于点，交CD于点，过点作射线DE，满足，求证：。
证明：（已知），且（ ）
▲ （等量代换），
∥ ▲ （ ），
▲ （ ）
又（已知），
▲ （ ），
。
17．（2025七下·深圳期中）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 173 202
摸到红球的频率 0.520 0.490 0.500 0.494 0.505
（1）上表中的 ▲ ， ▲ （小数形式）；
（2）“摸到红球”的概率估计值为 ▲ ；（精确到0.1）
（3）若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共30个，其中白球的个数比黑球个数的3倍少1个，求摸到黑球的概率。
18．（2025七下·深圳期中）如图，点在边上。
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
19．（2025七下·深圳期中）【知识回顾】借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。用4个完全相同的小长方形拼成如图①的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为。
（1）观察图①，写出之间的等是关系式： ▲ ；
（2）【深入探究】小深在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，小深的解题过程如下：
令，则。
因为，
所以。
请你类比上述方法解决以下问题：
若满足，
① ▲ ；
②求的值；
（3）【应用迁移】图②是某校的花园规划用地示意图：在正方形ABCD空地中开发一个长方形区域EDGF种花，经测量种花区域的面积为，分别以ED，DG为边开发正方形区域MQDE，DHNG种草，开发长方形区域QPHD为休憩区，则整个花园MPNF的面积为 ▲ 。
20．（2025七下·深圳期中）
【模型构建】如图①，两个等腰三角形利中，，，点A为公共顶点，连接BD，CE。如果把的腰看作大手，的腰看作小手，BD、CE可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”。在这个模型中，可证 ▲ ．判定方法为 ▲ ．BD和CE的数量关系是 ▲ ；
【深入探究】如图②，和为等腰直的三角形，，判断直线BD、EC的位置关系并证明；
【抔展应用】如图③，在中，，点为BC的中点，以BC为边在下方构造等边，连接AM，AD，MD。已知点到AD的距离为1，的面积为3.6，求AM的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A. a2 + a2 = 2a2 ，故A错；
B.a3 × a3 = a6 ，故B错；
C.(a3)2= a6 ，故C正确；
D.a6÷a2= a4 ，故D错。
故答案为：C.
【分析】 考查幂的运算性质，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等，需要对每个选项进行判断，利用幂的运算性质进行化简，从而判断选项的正确性。
2．【答案】C
【知识点】内错角的概念；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解： A. ∠2与∠1是由四条不同直线形成的角，不是内错角，A错误，
B. ∠3与∠1为同旁内角，B错误，
C. ∠4与∠1为内错角，C正确，
D. ∠5与∠1为同旁内角，D错误。
故答案为：C.
【分析】 需要理解内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；然后根据这个定义来判断图中各个角与∠1是否构成内错角。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00015=1.5×10-4
故答案为：D.
【分析】 科学记数法的形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，需要确定a和n的值，对于小于1的数，需确定小数点向右移动的位数，移动的位数即为指数的绝对值，且指数为负数。
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.，A正确，
B.，B错误，
C.，C正确；
D.，D正确。
故答案为：B.
【分析】 根据平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2的结构来筛选答案，关键步骤是观察两个二项式是否为“同项和与差的乘积“选项B因变形后呈现完全平方形式，无法应用平方差公式。
5．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点P为直线l外一点，点A，点B为直线l上的两点，
PA=2.1，PB=3.5，
∴点P到直线l的距离小于或等于2.1，
即选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短，点P到直线l的距离≤PA，即可解答。
6．【答案】D
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：S黑=S正×0.45
=4×4×0.45
=7.2
故答案为：D.
【分析】利用频率估计概率的方法，通过大量重复试验得到点落入黑色部分的频率，进而估计黑色部分的面积占正方形面积的比例，从而求出黑色部分的面积。
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：在△AA'BC中，∠BA'C＝118°，
∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-118°=62°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴ ∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，
∴ ∠ABC + ∠ACB=2(∠A'BC+ ∠A'CB) = 62°x 2=124°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=56°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，
由折叠的性质可得∠A'EF= ∠AEF，∠A'FE= ∠AFE，
∴∠A'EA+ ∠A'FA=2(∠AEF+∠AFE)=2x 124°= 248°
∴∠BEA'+∠CFA'=360°-248°=112°，
故答案为：A.
【分析】由三角形内角和可推∠A＝56°，从而可求∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，再根据折叠的性质可得∠A'EF=∠AEF，∠A'FE=∠AFE，最后根据平角的定义求解即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图D-1，如图，在DC上取一点N，使DN=BE，连接AN
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABE+ABC=180°，
∴∠ABE= ∠ADC，
在△ABE和△ADN中，
AB=AD，
∠ABE= ∠ADC，
BE=DN，
∴△ABE△ADN(SAS)，
∴AE= AN，∠BAE= ∠DAN，
∴∠EAN= ∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=∠BAD，
∵∠BAD=2∠EAF，∠EAN=∠EAF+∠NAF，
∴∠EAF= ∠NAF，
在△EAF和△NAF中，
AE= AN，
∠EAF= ∠NAF，
AF = AF，
∴△EAF△NAF(SAS)，
∴EF=NF，
∴DF=DN+NF= BE+EF，
∴BC=1，DC=1.7，CF=1.2，
∴△ECF的周长=EF+CE+CF
=EF+BE+BC+CF
=DF+CF+BC
=CF+CD+CF+BC
=2CF+CD+BC
=2x1.2+1.7+1
=5.1，
故答案为：D.
【分析】在DC上取一点N，使DN= BE，连接AN，利用SAS证明△ABE△ADN、△EAF△NAF，根据全等三角形的性质、线段的和差、三角形周长的计算方法，即可求出答案。
9．【答案】不可能
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“竹篮打水”是一个成语，字面意思用竹篮装水，但水会从篮子的缝隙中漏掉，因此打不到水，结果必然无法成功； 属于不可能事件。
故答案为：不可能.
【分析】根据定义，不可能事件是指在任何条件下都无法发生的事件，即可解答。
10．【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵| a b| < c< a +b
代入a=2.5，b=1，得：
∴| 2.5 1 | = 1.5 < c< 2.5 + 1 = 3.5
即 1.5 < < 3.5
又∵c为偶数
∴c=2
故答案为：2.
【分析】根据 三角形三边关系 ：三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出c的范围，再结合c是偶数即可解答。
11．【答案】138°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图D-1，延长BA，
∵a//b，∠2=48°
∴∠2=∠3=48°
∴∠1=90°+48°=138°
故答案为：138°.
【分析】先 根据平行线内错角相等求出∠3度数，再根据三角形的外角等于与他不相邻的内角和求解∠1。
12．【答案】49
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x2+ax- 3)(x2 -2x + b)
= x4-2x2+bx2+ax2-2ax2+abx-3x2+6x-3b
= x4+(a -2)x3+(b -2a - 3)x2+(ab + 6)x-3b
∵乘积中不含x2和x3，
.a-2=0，b-2a—3=0，
解得：a=2，b=7，
则ba= 72= 49，
故答案为：49.
【分析】通过展开两个多项式的乘积，找到x2和x3项的系数，并令其为零，从而建立方程组求解a和b的值，最后计算ba。
13．【答案】46°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ ∠PDC=28°，
由反射定律可得：∠MDB=∠PDC=28°，∠BMN=∠AMD，
∵∠MNB=60°，
∴∠DMN=60°-28°=32°，
∴∠BMN=∠AMD=（180°-32°）÷2=74°，
∴∠ABC=180°-74°-60°=46°，
故答案为：46°.
【分析】 根据光的反射定律，入射角等于反射角；题目中涉及到两次反射，第一次是在镜面AB上，第二次是在镜面BC上；我们需要根据给定的角度和条件，结合三角形外角的性质及三角形内角和求解∠ABC的度数。
14．【答案】（1）解：原式 = ( 2 )2 3 + 1 × ( 1 )
= 4 3 + 1 × ( 1 )
= 1 1
= 0
（2）解：原式 = 2025 2 ( 2025 1 ) ( 2025 + 1 )
= 2025 2 ( 2025 2 1 )
= 20252 20252+ 1
= 1
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）涉及负整数指数幂、绝对值、零指数幂以及乘方运算，需分步骤计算各部分后再进行加减；
（2）通过观察式子结构，可运用平方差公式简化计算，避免直接展开大数运算。
15．【答案】解：原式=4x2-y2+2y2-4xy
= 4x2+y2- 4xy
= (2x- y)2.
当x=1012，y= 2025时，
原式= (2 ×1012 - 2025)2
= （-1)2
= 1
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先对表达式进行化简，利用平方差公式和多项式除以单项式的法则简化表达式，再合并同类项，最后代入数值计算。
16．【答案】证明：（已知），且（ 对顶角相等 ）
∠2 （等量代换），
∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ），
∠CDE （ 两直线平行， 同旁内角互补 ）
又（已知），
∠B （ 两直线平行，内错角相等 ），
。
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】 要求补充证明过程中的空缺部分，涉及平行线的判定与性质、角度关系的推导，首先利用已知条件∠1=∠2和相关角度的等量代换，推导出平行线，进而结合AB∥CD的条件，通过内错角相等，等量代换即可得出结论。
17．【答案】（1）78；0.504
（2）0.5
（3）解：设黑球有x个，则白球为（3x -1）个，红球数量由概率估计值0.5得红球占总数的一半，
则红球有0.5×30=15个
x+3x-1+15=30
x=4
摸到黑球的概率为：，
答：摸到黑球的概率为 。
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） a = 150 × 0.520 = 78；
故答案为：78；0.504。
（2） 观察频率变化趋势，随着总次数增加，频率在0.5附近波动（如150次时0.520，200次0.490，250次0.504，300次0.500，350次0.494，400次0.505），逐渐稳定在0.5左右。
故答案为：0.5。
【分析】（1）需要根据表格中的数据计算出a和b的值。a是摸球总次数150次中摸到红球的次数，已知其频率为0.520，因此可以通过总次数乘以频率得到具体次数。b是摸球250次时的频率，此时摸到红球的次数为126次，故频率为126除以250；
（2）要求估计“摸到红球”的概率，需观察频率的稳定值，随着试验次数增加，频率逐渐接近概率；
（3）需要结合概率和方程知识，根据红球概率及白、黑球数量关系，设未知数建立方程求解黑球数量，进而得到概率。
18．【答案】（1）证明：在ΔAFD中，∠A+∠AFD+∠EDA=180°，
在ΔAEFC中，∠E+∠EFC+∠ECA=180°，
∴ ∠A=∠E，∠AFD=∠EFC，
∴∠EDA=∠ECA，
又∵∠EDA=∠DCB，
∴ ∠ECA=∠DCB，
∴ ∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD，
∴ ∠ECD=∠ACB，
在ΔECD和ΔACB中，
∴ΔECDΔACB(AAS)；
（2）解：∵ ∠EDA= 40°，
∴ ∠EDA= ∠DCB=40°，
∵ ΔECDΔACB，
∴∠CDE=∠B，CD=CB，
∴ ∠CDB= ∠B，
在ΔCDB中，∠CDB+∠B+∠DCB=180°，
∴2∠B+40= 180°，
∴∠B=70°，
∴∠CDE= ∠B= 70°，
∴ADC= ∠EDA+ ∠CDE=40°+ 70°= 110°，
∵AD=CD，
∴∠A= ∠DCA，
在ΔADC中，∠A+∠DCA+∠ADC=180°，
∴2∠A+110°=180°，
∴∠A= 35°.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得∠A+∠AFD+∠EDA=180°，∠E+∠EFC+∠ECA=180°，再根据∠A=∠E，∠AFD=∠EFC得∠EDA=∠ECA=∠DCB进而得∠ECD=∠ACB，由此可依据“AAS”判定△ECD和△ACB全等；
(2)由已知得∠EDA=∠DCB=40°，根据△ECD和△ACB全等得∠CDE=∠B，CD=CB，则∠CDB＝∠B，再根据三角形内角和定理得∠CDE=∠B=70°，则∠ADC=110°，然后根据AD=CD得∠A=∠DCA，再次根据三角形内角和定理可得∠A的度数。
19．【答案】（1）(a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab
（2）①61
②(2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
(4049- 2x)2
= [(2025 - x) + (2024 - x)]2 = (a - b)2
= (a +b)2 - 4ab
=12-4×(-30)
= 121；
（3）1425
【知识点】完全平方公式的几何背景；完全平方式
【解析】【解答】解：(1) · (a + b)2 = a2 + 2ab + 62，
(a-b)2 = a2 — 2ab + b2，
.. (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab，
故答案为： (a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab；
(2) (2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
①(2025 - x)2 + (x- 2024)2
= a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
=12-2x（-30)
= 61
故答案为：61；
(3)设ED=a， DG=b，
∵AE=15，GC=30，
∴AD=AE+ED=a+15，
∴CD=DG+GC=b+30，
∵四边形ABCD是正方形，
∴a+15=b+30，
∴a-b=15，
∵S矩形EFGD=300，
∴ab=300，
∴S正方形MPNF = (a + b)2
= (a-b)2 +4ab
=225+ 1200
=1425.
故答案为：1425.
【分析】(1)根据完全平方公式，把(a+b)2和(a-b)2展开，即可得到结果；
(2)①仿照示例，令2025-x=a，x-2024=b，得到ab=-30，a+b=1，即可得到结果；
②参照示例，可得到结果；
(3)根据题意，设ED= a，DG=b，a-b=15，ab=300，即可解答。
20．【答案】①；SAS；BD=CE
②直线BD、EC的位置关系是：BD⊥DF，
证明如下：
延长BD交EC于点H，如图D-1所示：
设∠DEH=α，
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∵AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AEC=45°
∴∠AEC=∠AEC+∠DEH=45°+α，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵
∴△ADB△ACE(SAS)，
∴∠ABD= ∠AEC=45°+α，
∴∠ADH=180°- ∠ABD=180°-(45°+a)= 135°-α
∴∠EDH=∠ADH-∠ADE=135°-α-45°=90°-α
在ADEH中，
∵∠DHE=180°-(∠EDH+∠DEH)=180°-(90° - α+α) = 90°
∴DH⊥EC，
即BD⊥DF；
③延长AM到F，使FM=AM，连接FB并延长到E，使BE=BA，连接EC，EA，如图D-2所示：
∴AF=2AM，
∴点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，
∴xADx1=3.6，
∴AM=7.2，
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM，
在△ABFM和△CAM中，
∵
∴△ABFM△CAM(SAS)，
∴∠F=∠CAM，BF=AC，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAM+∠CAM=60°，
∴∠BAM+∠F=60°，
在△ABF中，∠ABF=180°-(∠BAM+∠F)=120°
∴∠ABE=180°-∠ABFD=60°，
∴BE= BA，
∵BAE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，BA= AE= BE，
∴ ∠EAC= ∠BAE+ ∠BAC=120°，
∴ ∠ABF= ∠EAC=120°，
在△ABF和∠EAC中，
∵
∴△ABF∠EAC(SAS)，
∴AF =EC =2AM，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠ABE= ∠CBD=60°，
∴∠ABE+ ∠ABC= ∠CBD+ ∠ABC，
即∠EBC=∠ABD，
在△EBC和△ABD中，
∵
∴△EBC△ABD(SAS)，
∴ EC = AD=2AM，
∴AM=AD=x 7.2 = 3.6.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△ACE中，
∵
∴△ADB△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：△ACE；SAS；BD=CE；
【分析】【模型构建】根据∠BAC＝∠DAE得∠BAD=∠CAE，进而可依据“SAS”判定△ADB和△ACE全等，则BD＝CE，由此即可得出答案；
【深入探究】延长BD交EC于点H，设∠DEH=α，先证明∠BAD=∠CAE，进而可依据“SAS”判定
△BAD和△CAE全等，则∠ABD=∠AEC=45°+α，进而得∠EDH＝90°一α，然后再由三角形内角和定理得∠DHE=90°，由此即可得出直线BD、EC的位置关系；
【拓展应用】延长AM到F，使FM=AM，连接FB并延长到E，使BE=BA，连接EC，EA，先由三角
形的面积公式求出AM=7.2，证明△BFM和C△AM全等得∠F= ∠CAM，BF=AC，则∠BAM+∠F=60°，则∠ABF=120°，∠ABE=60°，继而得∠BAE是等边三角形，则∠ABF＝∠EAC =120°，由此可依据“SAS”判定ABF和△EAC全等，则AF=EC=2AM，然后证明∠EBC和△ABD全等得EC=AD＝2AM，据
此可得AM的长。
1 / 1广东省深圳中学2024~2025学年七年级下学期数学期中考试试卷
1．（2025七下·深圳期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A. a2 + a2 = 2a2 ，故A错；
B.a3 × a3 = a6 ，故B错；
C.(a3)2= a6 ，故C正确；
D.a6÷a2= a4 ，故D错。
故答案为：C.
【分析】 考查幂的运算性质，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等，需要对每个选项进行判断，利用幂的运算性质进行化简，从而判断选项的正确性。
2．（2025七下·深圳期中）纸鸢是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，纸鸢的制作融合了竹篾的坚韧、纸张的轻盈以及丝线的柔韧，展现了独特的艺术魅力。在如图所示的纸鸢骨架中，与构成内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】内错角的概念；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解： A. ∠2与∠1是由四条不同直线形成的角，不是内错角，A错误，
B. ∠3与∠1为同旁内角，B错误，
C. ∠4与∠1为内错角，C正确，
D. ∠5与∠1为同旁内角，D错误。
故答案为：C.
【分析】 需要理解内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；然后根据这个定义来判断图中各个角与∠1是否构成内错角。
3．（2025七下·深圳期中）《赤壁赋》是北宋文学家苏轼被贬谪黄州时创作的一篇赋，此赋反映了作者由月夜泛舟的舒畅，到怀古伤今的悲咽，再到精神解脱的达观。其中“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟”中的蜉蝣是最原始的有翅昆虫，它的卵十分微小，长度约0.00015m，其中0.00015用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00015=1.5×10-4
故答案为：D.
【分析】 科学记数法的形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，需要确定a和n的值，对于小于1的数，需确定小数点向右移动的位数，移动的位数即为指数的绝对值，且指数为负数。
4．（2025七下·深圳期中）下列算式中不能使用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.，A正确，
B.，B错误，
C.，C正确；
D.，D正确。
故答案为：B.
【分析】 根据平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2的结构来筛选答案，关键步骤是观察两个二项式是否为“同项和与差的乘积“选项B因变形后呈现完全平方形式，无法应用平方差公式。
5．（2025七下·深圳期中）如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（ ）
A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点P为直线l外一点，点A，点B为直线l上的两点，
PA=2.1，PB=3.5，
∴点P到直线l的距离小于或等于2.1，
即选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短，点P到直线l的距离≤PA，即可解答。
6．（2025七下·深圳期中）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来。如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（ ）
A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2
【答案】D
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：S黑=S正×0.45
=4×4×0.45
=7.2
故答案为：D.
【分析】利用频率估计概率的方法，通过大量重复试验得到点落入黑色部分的频率，进而估计黑色部分的面积占正方形面积的比例，从而求出黑色部分的面积。
7．（2025七下·深圳期中）将纸片沿EF折叠，使得落在处，已知平分平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：在△AA'BC中，∠BA'C＝118°，
∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-118°=62°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴ ∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，
∴ ∠ABC + ∠ACB=2(∠A'BC+ ∠A'CB) = 62°x 2=124°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=56°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，
由折叠的性质可得∠A'EF= ∠AEF，∠A'FE= ∠AFE，
∴∠A'EA+ ∠A'FA=2(∠AEF+∠AFE)=2x 124°= 248°
∴∠BEA'+∠CFA'=360°-248°=112°，
故答案为：A.
【分析】由三角形内角和可推∠A＝56°，从而可求∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，再根据折叠的性质可得∠A'EF=∠AEF，∠A'FE=∠AFE，最后根据平角的定义求解即可。
8．（2025七下·深圳期中）如图，在四边形ABCD中，，点E、F分别是CB、DC延长线上的点，连接EF。已知，，则的周长为（ ）
A．3.9 B．4.6 C．4.9 D．5.1
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图D-1，如图，在DC上取一点N，使DN=BE，连接AN
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABE+ABC=180°，
∴∠ABE= ∠ADC，
在△ABE和△ADN中，
AB=AD，
∠ABE= ∠ADC，
BE=DN，
∴△ABE△ADN(SAS)，
∴AE= AN，∠BAE= ∠DAN，
∴∠EAN= ∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=∠BAD，
∵∠BAD=2∠EAF，∠EAN=∠EAF+∠NAF，
∴∠EAF= ∠NAF，
在△EAF和△NAF中，
AE= AN，
∠EAF= ∠NAF，
AF = AF，
∴△EAF△NAF(SAS)，
∴EF=NF，
∴DF=DN+NF= BE+EF，
∴BC=1，DC=1.7，CF=1.2，
∴△ECF的周长=EF+CE+CF
=EF+BE+BC+CF
=DF+CF+BC
=CF+CD+CF+BC
=2CF+CD+BC
=2x1.2+1.7+1
=5.1，
故答案为：D.
【分析】在DC上取一点N，使DN= BE，连接AN，利用SAS证明△ABE△ADN、△EAF△NAF，根据全等三角形的性质、线段的和差、三角形周长的计算方法，即可求出答案。
9．（2025七下·深圳期中）“竹篮打水”属于 事件（填“不可能”“随机”或“必然”）。
【答案】不可能
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“竹篮打水”是一个成语，字面意思用竹篮装水，但水会从篮子的缝隙中漏掉，因此打不到水，结果必然无法成功； 属于不可能事件。
故答案为：不可能.
【分析】根据定义，不可能事件是指在任何条件下都无法发生的事件，即可解答。
10．（2025七下·深圳期中）在中，为偶数，则 。
【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵| a b| < c< a +b
代入a=2.5，b=1，得：
∴| 2.5 1 | = 1.5 < c< 2.5 + 1 = 3.5
即 1.5 < < 3.5
又∵c为偶数
∴c=2
故答案为：2.
【分析】根据 三角形三边关系 ：三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出c的范围，再结合c是偶数即可解答。
11．（2025七下·深圳期中）如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若，则 度。
【答案】138°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图D-1，延长BA，
∵a//b，∠2=48°
∴∠2=∠3=48°
∴∠1=90°+48°=138°
故答案为：138°.
【分析】先 根据平行线内错角相等求出∠3度数，再根据三角形的外角等于与他不相邻的内角和求解∠1。
12．（2025七下·深圳期中）已知多项式与的乘积中不含和，则 。
【答案】49
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x2+ax- 3)(x2 -2x + b)
= x4-2x2+bx2+ax2-2ax2+abx-3x2+6x-3b
= x4+(a -2)x3+(b -2a - 3)x2+(ab + 6)x-3b
∵乘积中不含x2和x3，
.a-2=0，b-2a—3=0，
解得：a=2，b=7，
则ba= 72= 49，
故答案为：49.
【分析】通过展开两个多项式的乘积，找到x2和x3项的系数，并令其为零，从而建立方程组求解a和b的值，最后计算ba。
13．（2025七下·深圳期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法。在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去。已知，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为时， 度。
【答案】46°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ ∠PDC=28°，
由反射定律可得：∠MDB=∠PDC=28°，∠BMN=∠AMD，
∵∠MNB=60°，
∴∠DMN=60°-28°=32°，
∴∠BMN=∠AMD=（180°-32°）÷2=74°，
∴∠ABC=180°-74°-60°=46°，
故答案为：46°.
【分析】 根据光的反射定律，入射角等于反射角；题目中涉及到两次反射，第一次是在镜面AB上，第二次是在镜面BC上；我们需要根据给定的角度和条件，结合三角形外角的性质及三角形内角和求解∠ABC的度数。
14．（2025七下·深圳期中）计算：
（1）；
（2）。
【答案】（1）解：原式 = ( 2 )2 3 + 1 × ( 1 )
= 4 3 + 1 × ( 1 )
= 1 1
= 0
（2）解：原式 = 2025 2 ( 2025 1 ) ( 2025 + 1 )
= 2025 2 ( 2025 2 1 )
= 20252 20252+ 1
= 1
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）涉及负整数指数幂、绝对值、零指数幂以及乘方运算，需分步骤计算各部分后再进行加减；
（2）通过观察式子结构，可运用平方差公式简化计算，避免直接展开大数运算。
15．（2025七下·深圳期中）先化简，再求值：，其中，。
【答案】解：原式=4x2-y2+2y2-4xy
= 4x2+y2- 4xy
= (2x- y)2.
当x=1012，y= 2025时，
原式= (2 ×1012 - 2025)2
= （-1)2
= 1
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先对表达式进行化简，利用平方差公式和多项式除以单项式的法则简化表达式，再合并同类项，最后代入数值计算。
16．（2025七下·深圳期中）阅读下面的推理过程，并把解题过程补充完整。
如图，已知，射线AH交BC于点，交CD于点，过点作射线DE，满足，求证：。
证明：（已知），且（ ）
▲ （等量代换），
∥ ▲ （ ），
▲ （ ）
又（已知），
▲ （ ），
。
【答案】证明：（已知），且（ 对顶角相等 ）
∠2 （等量代换），
∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ），
∠CDE （ 两直线平行， 同旁内角互补 ）
又（已知），
∠B （ 两直线平行，内错角相等 ），
。
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】 要求补充证明过程中的空缺部分，涉及平行线的判定与性质、角度关系的推导，首先利用已知条件∠1=∠2和相关角度的等量代换，推导出平行线，进而结合AB∥CD的条件，通过内错角相等，等量代换即可得出结论。
17．（2025七下·深圳期中）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 173 202
摸到红球的频率 0.520 0.490 0.500 0.494 0.505
（1）上表中的 ▲ ， ▲ （小数形式）；
（2）“摸到红球”的概率估计值为 ▲ ；（精确到0.1）
（3）若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共30个，其中白球的个数比黑球个数的3倍少1个，求摸到黑球的概率。
【答案】（1）78；0.504
（2）0.5
（3）解：设黑球有x个，则白球为（3x -1）个，红球数量由概率估计值0.5得红球占总数的一半，
则红球有0.5×30=15个
x+3x-1+15=30
x=4
摸到黑球的概率为：，
答：摸到黑球的概率为 。
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） a = 150 × 0.520 = 78；
故答案为：78；0.504。
（2） 观察频率变化趋势，随着总次数增加，频率在0.5附近波动（如150次时0.520，200次0.490，250次0.504，300次0.500，350次0.494，400次0.505），逐渐稳定在0.5左右。
故答案为：0.5。
【分析】（1）需要根据表格中的数据计算出a和b的值。a是摸球总次数150次中摸到红球的次数，已知其频率为0.520，因此可以通过总次数乘以频率得到具体次数。b是摸球250次时的频率，此时摸到红球的次数为126次，故频率为126除以250；
（2）要求估计“摸到红球”的概率，需观察频率的稳定值，随着试验次数增加，频率逐渐接近概率；
（3）需要结合概率和方程知识，根据红球概率及白、黑球数量关系，设未知数建立方程求解黑球数量，进而得到概率。
18．（2025七下·深圳期中）如图，点在边上。
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：在ΔAFD中，∠A+∠AFD+∠EDA=180°，
在ΔAEFC中，∠E+∠EFC+∠ECA=180°，
∴ ∠A=∠E，∠AFD=∠EFC，
∴∠EDA=∠ECA，
又∵∠EDA=∠DCB，
∴ ∠ECA=∠DCB，
∴ ∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD，
∴ ∠ECD=∠ACB，
在ΔECD和ΔACB中，
∴ΔECDΔACB(AAS)；
（2）解：∵ ∠EDA= 40°，
∴ ∠EDA= ∠DCB=40°，
∵ ΔECDΔACB，
∴∠CDE=∠B，CD=CB，
∴ ∠CDB= ∠B，
在ΔCDB中，∠CDB+∠B+∠DCB=180°，
∴2∠B+40= 180°，
∴∠B=70°，
∴∠CDE= ∠B= 70°，
∴ADC= ∠EDA+ ∠CDE=40°+ 70°= 110°，
∵AD=CD，
∴∠A= ∠DCA，
在ΔADC中，∠A+∠DCA+∠ADC=180°，
∴2∠A+110°=180°，
∴∠A= 35°.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得∠A+∠AFD+∠EDA=180°，∠E+∠EFC+∠ECA=180°，再根据∠A=∠E，∠AFD=∠EFC得∠EDA=∠ECA=∠DCB进而得∠ECD=∠ACB，由此可依据“AAS”判定△ECD和△ACB全等；
(2)由已知得∠EDA=∠DCB=40°，根据△ECD和△ACB全等得∠CDE=∠B，CD=CB，则∠CDB＝∠B，再根据三角形内角和定理得∠CDE=∠B=70°，则∠ADC=110°，然后根据AD=CD得∠A=∠DCA，再次根据三角形内角和定理可得∠A的度数。
19．（2025七下·深圳期中）【知识回顾】借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。用4个完全相同的小长方形拼成如图①的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为。
（1）观察图①，写出之间的等是关系式： ▲ ；
（2）【深入探究】小深在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，小深的解题过程如下：
令，则。
因为，
所以。
请你类比上述方法解决以下问题：
若满足，
① ▲ ；
②求的值；
（3）【应用迁移】图②是某校的花园规划用地示意图：在正方形ABCD空地中开发一个长方形区域EDGF种花，经测量种花区域的面积为，分别以ED，DG为边开发正方形区域MQDE，DHNG种草，开发长方形区域QPHD为休憩区，则整个花园MPNF的面积为 ▲ 。
【答案】（1）(a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab
（2）①61
②(2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
(4049- 2x)2
= [(2025 - x) + (2024 - x)]2 = (a - b)2
= (a +b)2 - 4ab
=12-4×(-30)
= 121；
（3）1425
【知识点】完全平方公式的几何背景；完全平方式
【解析】【解答】解：(1) · (a + b)2 = a2 + 2ab + 62，
(a-b)2 = a2 — 2ab + b2，
.. (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab，
故答案为： (a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab；
(2) (2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
①(2025 - x)2 + (x- 2024)2
= a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
=12-2x（-30)
= 61
故答案为：61；
(3)设ED=a， DG=b，
∵AE=15，GC=30，
∴AD=AE+ED=a+15，
∴CD=DG+GC=b+30，
∵四边形ABCD是正方形，
∴a+15=b+30，
∴a-b=15，
∵S矩形EFGD=300，
∴ab=300，
∴S正方形MPNF = (a + b)2
= (a-b)2 +4ab
=225+ 1200
=1425.
故答案为：1425.
【分析】(1)根据完全平方公式，把(a+b)2和(a-b)2展开，即可得到结果；
(2)①仿照示例，令2025-x=a，x-2024=b，得到ab=-30，a+b=1，即可得到结果；
②参照示例，可得到结果；
(3)根据题意，设ED= a，DG=b，a-b=15，ab=300，即可解答。
20．（2025七下·深圳期中）
【模型构建】如图①，两个等腰三角形利中，，，点A为公共顶点，连接BD，CE。如果把的腰看作大手，的腰看作小手，BD、CE可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”。在这个模型中，可证 ▲ ．判定方法为 ▲ ．BD和CE的数量关系是 ▲ ；
【深入探究】如图②，和为等腰直的三角形，，判断直线BD、EC的位置关系并证明；
【抔展应用】如图③，在中，，点为BC的中点，以BC为边在下方构造等边，连接AM，AD，MD。已知点到AD的距离为1，的面积为3.6，求AM的值。
【答案】①；SAS；BD=CE
②直线BD、EC的位置关系是：BD⊥DF，
证明如下：
延长BD交EC于点H，如图D-1所示：
设∠DEH=α，
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∵AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AEC=45°
∴∠AEC=∠AEC+∠DEH=45°+α，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵
∴△ADB△ACE(SAS)，
∴∠ABD= ∠AEC=45°+α，
∴∠ADH=180°- ∠ABD=180°-(45°+a)= 135°-α
∴∠EDH=∠ADH-∠ADE=135°-α-45°=90°-α
在ADEH中，
∵∠DHE=180°-(∠EDH+∠DEH)=180°-(90° - α+α) = 90°
∴DH⊥EC，
即BD⊥DF；
③延长AM到F，使FM=AM，连接FB并延长到E，使BE=BA，连接EC，EA，如图D-2所示：
∴AF=2AM，
∴点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，
∴xADx1=3.6，
∴AM=7.2，
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM，
在△ABFM和△CAM中，
∵
∴△ABFM△CAM(SAS)，
∴∠F=∠CAM，BF=AC，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAM+∠CAM=60°，
∴∠BAM+∠F=60°，
在△ABF中，∠ABF=180°-(∠BAM+∠F)=120°
∴∠ABE=180°-∠ABFD=60°，
∴BE= BA，
∵BAE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，BA= AE= BE，
∴ ∠EAC= ∠BAE+ ∠BAC=120°，
∴ ∠ABF= ∠EAC=120°，
在△ABF和∠EAC中，
∵
∴△ABF∠EAC(SAS)，
∴AF =EC =2AM，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠ABE= ∠CBD=60°，
∴∠ABE+ ∠ABC= ∠CBD+ ∠ABC，
即∠EBC=∠ABD，
在△EBC和△ABD中，
∵
∴△EBC△ABD(SAS)，
∴ EC = AD=2AM，
∴AM=AD=x 7.2 = 3.6.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△ACE中，
∵
∴△ADB△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：△ACE；SAS；BD=CE；
【分析】【模型构建】根据∠BAC＝∠DAE得∠BAD=∠CAE，进而可依据“SAS”判定△ADB和△ACE全等，则BD＝CE，由此即可得出答案；
【深入探究】延长BD交EC于点H，设∠DEH=α，先证明∠BAD=∠CAE，进而可依据“SAS”判定
△BAD和△CAE全等，则∠ABD=∠AEC=45°+α，进而得∠EDH＝90°一α，然后再由三角形内角和定理得∠DHE=90°，由此即可得出直线BD、EC的位置关系；
【拓展应用】延长AM到F，使FM=AM，连接FB并延长到E，使BE=BA，连接EC，EA，先由三角
形的面积公式求出AM=7.2，证明△BFM和C△AM全等得∠F= ∠CAM，BF=AC，则∠BAM+∠F=60°，则∠ABF=120°，∠ABE=60°，继而得∠BAE是等边三角形，则∠ABF＝∠EAC =120°，由此可依据“SAS”判定ABF和△EAC全等，则AF=EC=2AM，然后证明∠EBC和△ABD全等得EC=AD＝2AM，据
此可得AM的长。
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