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广东深圳南山区2025年九年级下学期中考数学二模试题
1．（2025九下·南山期中）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·南山期中）“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨．将数据60000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·南山期中）若“※”代表一种运算，且※，则“※”代表的运算符号可以是（　　）
A．+ B．－ C． D．
4．（2025九下·南山期中）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乘巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·南山期中）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·南山期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的三角形说法正确的是（　　）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长所对的角是 D．边长所对的角是
7．（2025九下·南山期中）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱AC高为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·南山期中）如图，直线表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　）
方案一： ①将点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点N，MN即桥的位置． 方案二 ①连接AB交于点；②过点作MN，交于点N.MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
9．（2025九下·南山期中）已知是二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
10．（2025九下·南山期中）因式分解：　 　．
11．（2025九下·南山期中）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是　 　cm2.
12．（2025九下·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为　 　．
13．（2025九下·南山期中）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
14．（2025九下·南山期中）计算：．
15．（2025九下·南山期中）先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值．
16．（2025九下·南山期中）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题，分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题：
课题 学校学生对DeepSeek掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 学校学生
数据的整理与描述 分组成绩／分频数频率A80.16B0.24C0.48D6
调查结论 ……
（1）上述表格中，　 　，　 　，　 　；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 ▲ 组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？
17．（2025九下·南山期中）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
18．（2025九下·南山期中）如图，AB是⊙O的直径，，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
19．（2025九下·南山期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚，技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点的坐标为.
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出的取值范围．
20．（2025九下·南山期中）
（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在Rt△ABC中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】
解：
A、观察选项A的纹样，假设其结构具有中心对称性。将A的纹样旋转180°与原图重合，因此A图是中心对称图形；
B、观察选项B的纹样，假设其图案由对称轴或旋转对称性构成；若将图形绕中心点旋转180°后能与原图完全重合，则为中心对称图形；经分析，B的纹样旋转后无法重合，因此B图不是中心对称图形；
C、观察选项C的纹样，分析其旋转对称性；经分析，C旋转180°后部分元素位置错开，因此C图不是中心对称图形；
D、观察选项D的纹样，检查其对称性；经分析，D旋转180°后图案不重合，因此D图不是中心对称图形；
故答案为：A.
【分析】 根据中心对称图形是指图形绕某一点旋转180°后与原图形完全重合，逐一分析每一个选项即可解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 6万=60000=6×104
故答案为：B.
【分析】 本题要求将60000用科学记数法表示，并从选项中选出正确答案；科学记数法的形式为a×10n，其中1≤<10，n为整数；需要确定a和n的具体数值。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：A、 a 4 + a3 ，结果无法合并为a，故A错误；
B、a4 a3 ，同样无法简化为a，故B错误；
C、a4× a3= 7a，故C错误；
D、a4 ÷a3 =a4 3=a，故D正确。
故答案为：D.
【分析】 要使得等式a4※ a3 = a成立，需要逐一验证四个选项中的运算符是否满足条件。
4．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】 在8个基本款盲盒中随机抽取一款，恰好抽中“藕粉哪吒”的概率； 根据：概率=目标事件数÷总样本数求解。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A中，根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故A不符合题意；
B中，根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故B不符合题意；
C中，根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故C符合题意；
D中，根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故D不符合题意；
故选：C．
【分享】本题考查了尺规作图，以及平行线的判定，根据平行线的判定方法，同位角相等、内错角相等，同旁内角互补，此时两直线平行，逐项分析判定，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴Δ = ( 2 b )2 4 ( a + c ) ( a c ) = 4 b2 4 ( a2 c2 ) = 4 b 2 4 a2 + 4 c2=0
∴b 2 a2 + c2=0
∴b 2 + c2=a2
∴∠A=90°
即边长 a 所对的角是90°。
故答案为：D.
【分析】 一元二次方程有两个相等实根，通过判别式为0推导边长关系，再根据勾股定理得逆定理判断三角形类型。
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵tan∠ABC=
∴
∴
故答案为：B.
【分析】 已知立柱高度AC=a，入射角∠ABC=26.5°，需通过三角函数建立AC与BC的关系即可求解。
8．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可；AA'垂直于河岸l2，AA'=d，连接BA'，与另一条河岸相交于点M，作MNL直线l.由平移的性质，知MN//AA'，且MN=AA'=d，MA'=NA.根据“两点之间，线段最短”，知BA'最短，即AN+BM最短，方案一符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题考查最短路径问题，方案一通过平移点A，利用平移性质将桥长转化，依据两点之间线段最短，能确定最短路程；方案二则未合理转化路径，直接连接AB后建桥，无法保证总路程最短；所以方案一可行，方案二不可行。
9．【答案】2
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入到方程中得：
解得：
故答案为：2.
【分析】利用待定系数法代入方程的解从而得到关于k的一元一次方程并解方程即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：5m2 5
=5 ( m2 1 )
= 5 ( m+1 ) ( m 1 )
故答案为： 5 ( m+1 ) ( m 1 ).
【分析】 观察到两项均含有公因数5，首先提取公因式后，剩余部分为m2 - 1，这符合平方差公式的形式，因此可进一步分解即可。
11．【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
12．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图D-1，连接OA，OB，过A作AH丄c轴于H，过B作BG⊥c轴于G，
∴AH//BG，
∵AB=BC，
∴CG = HG，
∴AH=2BG，
∵A、B两点在反比例函数得图像上
设：
∵OD//AB，
∴S△AOC= S△ADC = 12，
∴S△AOB=S△AOC=6，
∴ S△AOH= S△OBG=
∴ S△AOH-S△EOH+ S△AEB = S△OBG-S△EOH +S△AEB，
即S四边形AHGB= S△AOB=6，
∴
解得：k=8
故答案为：8.
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，由OD//AB，得到S△AOB= 12S△AOC =12S△ADC =6=S四边形AHGB，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论。
13．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，AF//GH，FG//EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，且□EFGH□BILK，
∵EH//IL，且EH=IL，
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
∴AE=BC=QL=4，QH=2，
∴EI//HL，且EI=HL=6，
∵HL⊥GH，GH//AF//BC，
∴EI//BC，EI//AD，
∵BI=CI=2，
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
∴∠OED= ∠OIB=90°，DE=AE=4，
连接OD、OB，则OD=OB，
∴ OE2+ DE2= OD2= OB2= BI2+OI2，
∴OE2+ 42 = 22 + (6- OE)2，
解得OE＝2，
∴
∴圆得半径长为.
故答案为：.
【分析】本题需要利用七巧板的性质以及圆的相关知识来求解；首先要找出与圆半径相关的几何关系，通过七巧板中图形的边长和角度特点来计算。
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】此题需依次计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂、立方根，再合并结果，注意运算顺序和符号处理。
15．【答案】解：原式
，
∵，
∴，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】将“1”看作，先利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法得出最简结果；根据分式的分母不为0，选取合适的a的值，代入化简结果计算即可.
16．【答案】（1）12；24；0.12
（2）C组；
（3）解：（名），
答：估计成绩不低于80分的学生有720名．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）8 ÷ 0.16 = 50（人）
m=50 × 0.24 = 12
n=50 × 0.48 = 24
p=6 ÷ 50 = 0.12
（2） 样本总数50，中位数为第25和26个数据的平均值。累计频数：A组8，B组12（前20），C组24（前44），故中位数在C组（80-90分）；
【分析】 题目涉及统计图表的分析，需要根据频数、频率的计算关系解决三个小问；（1）首先需确定样本总人数，进而计算各组的频数和频率；（2）需确定中位数所在组别，并补全直方图；（3）则利用样本比例估算总体人数。
17．【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本万元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．.
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：制作《希望的田野》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为万元，
则．
，
随的增大而增大．
又，
当时，取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每集成本为x，依据两部作品集数相等的关系列分式方程，求解并检验得出每集成本，为后续收益问题奠定基础；
（2）设拍摄集数为m，根据集数限制条件列不等式求m范围，再比较两部作品单集收益，得出多制作收益高的作品可使总收益最大 。
18．【答案】（1）证明：连接BD，OC，OD，如图：
∵，
∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴AB＝2×2＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴．
【知识点】勾股定理；求正切值；圆内知识的综合
【解析】【分析】（1）连接BD，OC，OD，根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得BC＝BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OB垂直平分CD；根据同位角相等，两直线平行，可得CD∥BE，根据两直线平行，同位角相等可得∠ABE＝∠AFD＝90°，根据经过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线即可证明；
（2）先求出直径AB=4，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，根据锐角三角函数求得tan∠ABC的值，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC，再结合已知推得∠AEB＝∠ABC，最后根据等角的同名三角函数值相等即可求解.
19．【答案】（1）点的坐标为，
设抛物线的解析式为：；
（2）轴，，
点的纵坐标为，
当时，，
解得：（舍），，
，
保护网MN（线段MN）的长度至少为9米；
（3）的取值范围是．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵A (0，8)，AB=1，
∴B (1，8)，
如图，过点F作FK⊥r轴于K，过点E作EL⊥FK于L，
∵∠ELF=90°，
∴∠FEC=135°，∠LEC=90°，
∴∠FEL=45°，
∴△LEF是等腰直角三角形，
∴FL=LE，
∴EF=
∴EL=FL=，
∵EC=LK=2.1，
∴FK=LF+LK=1.4+2.1=3.5，
∵OC=11.4，KC=LE=1.4，
∴OC=10，
∴点F的坐标为(10，3.5)，
设抛物线的解析式为：y =ax2+bx + c，
把点B(1，8)，H (0，6)，F(10，3.5)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
故答案为：(10，3.5)，
(3)将点F(10，3.5)代入y = ax2- 8ax+c中，
100a-80a+c = 3.5，
∴20a+c=3.5①，
当抛物线经过点A(0，8)时，c= 8，
代入①中，20a+8=3.5，
∴a=
当抛物线y = ax2 - 8ax+ c中经过点B(1，8)时，
8=a-8a+c②，
联立①②得：a=
∴a的取值范围是．
【分析】（1）作辅助线构建等腰直角 EFL，确定点B，F的坐标，利用待定系数法即可解答；
(2)为使演员在演出时不受伤害，抛物线要经过点M，可得点M的坐标，计算MN的长即可解答；
(3)分别计算边界点时a的值，即将点A和点B的坐标代入y =ax2-8ax+c中即可解答.
20．【答案】（1）2
（2）
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转，
点在以点为圆心，PD为半径的圆上运动，
为圆外一个定点，
当AD与相切时，最大，点为圆心，PD为半径的圆上运动，
，
，
由（2）可得：，
，
，
；
（4）解：如图，将沿BC对折，的对应点为，将沿AC对折，的对应点为，连接，
，
再将沿AC方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
当三点共线时，最短，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】勾股定理的应用；圆内接正多边形；圆的综合题；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质；定点定长辅助圆模型
1 / 1广东深圳南山区2025年九年级下学期中考数学二模试题
1．（2025九下·南山期中）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】
解：
A、观察选项A的纹样，假设其结构具有中心对称性。将A的纹样旋转180°与原图重合，因此A图是中心对称图形；
B、观察选项B的纹样，假设其图案由对称轴或旋转对称性构成；若将图形绕中心点旋转180°后能与原图完全重合，则为中心对称图形；经分析，B的纹样旋转后无法重合，因此B图不是中心对称图形；
C、观察选项C的纹样，分析其旋转对称性；经分析，C旋转180°后部分元素位置错开，因此C图不是中心对称图形；
D、观察选项D的纹样，检查其对称性；经分析，D旋转180°后图案不重合，因此D图不是中心对称图形；
故答案为：A.
【分析】 根据中心对称图形是指图形绕某一点旋转180°后与原图形完全重合，逐一分析每一个选项即可解答.
2．（2025九下·南山期中）“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨．将数据60000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 6万=60000=6×104
故答案为：B.
【分析】 本题要求将60000用科学记数法表示，并从选项中选出正确答案；科学记数法的形式为a×10n，其中1≤<10，n为整数；需要确定a和n的具体数值。
3．（2025九下·南山期中）若“※”代表一种运算，且※，则“※”代表的运算符号可以是（　　）
A．+ B．－ C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：A、 a 4 + a3 ，结果无法合并为a，故A错误；
B、a4 a3 ，同样无法简化为a，故B错误；
C、a4× a3= 7a，故C错误；
D、a4 ÷a3 =a4 3=a，故D正确。
故答案为：D.
【分析】 要使得等式a4※ a3 = a成立，需要逐一验证四个选项中的运算符是否满足条件。
4．（2025九下·南山期中）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乘巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】 在8个基本款盲盒中随机抽取一款，恰好抽中“藕粉哪吒”的概率； 根据：概率=目标事件数÷总样本数求解。
5．（2025九下·南山期中）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A中，根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故A不符合题意；
B中，根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故B不符合题意；
C中，根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故C符合题意；
D中，根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故D不符合题意；
故选：C．
【分享】本题考查了尺规作图，以及平行线的判定，根据平行线的判定方法，同位角相等、内错角相等，同旁内角互补，此时两直线平行，逐项分析判定，即可得到答案.
6．（2025九下·南山期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的三角形说法正确的是（　　）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长所对的角是 D．边长所对的角是
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴Δ = ( 2 b )2 4 ( a + c ) ( a c ) = 4 b2 4 ( a2 c2 ) = 4 b 2 4 a2 + 4 c2=0
∴b 2 a2 + c2=0
∴b 2 + c2=a2
∴∠A=90°
即边长 a 所对的角是90°。
故答案为：D.
【分析】 一元二次方程有两个相等实根，通过判别式为0推导边长关系，再根据勾股定理得逆定理判断三角形类型。
7．（2025九下·南山期中）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱AC高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵tan∠ABC=
∴
∴
故答案为：B.
【分析】 已知立柱高度AC=a，入射角∠ABC=26.5°，需通过三角函数建立AC与BC的关系即可求解。
8．（2025九下·南山期中）如图，直线表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　）
方案一： ①将点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点N，MN即桥的位置． 方案二 ①连接AB交于点；②过点作MN，交于点N.MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可；AA'垂直于河岸l2，AA'=d，连接BA'，与另一条河岸相交于点M，作MNL直线l.由平移的性质，知MN//AA'，且MN=AA'=d，MA'=NA.根据“两点之间，线段最短”，知BA'最短，即AN+BM最短，方案一符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题考查最短路径问题，方案一通过平移点A，利用平移性质将桥长转化，依据两点之间线段最短，能确定最短路程；方案二则未合理转化路径，直接连接AB后建桥，无法保证总路程最短；所以方案一可行，方案二不可行。
9．（2025九下·南山期中）已知是二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入到方程中得：
解得：
故答案为：2.
【分析】利用待定系数法代入方程的解从而得到关于k的一元一次方程并解方程即可.
10．（2025九下·南山期中）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：5m2 5
=5 ( m2 1 )
= 5 ( m+1 ) ( m 1 )
故答案为： 5 ( m+1 ) ( m 1 ).
【分析】 观察到两项均含有公因数5，首先提取公因式后，剩余部分为m2 - 1，这符合平方差公式的形式，因此可进一步分解即可。
11．（2025九下·南山期中）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是　 　cm2.
【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
12．（2025九下·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图D-1，连接OA，OB，过A作AH丄c轴于H，过B作BG⊥c轴于G，
∴AH//BG，
∵AB=BC，
∴CG = HG，
∴AH=2BG，
∵A、B两点在反比例函数得图像上
设：
∵OD//AB，
∴S△AOC= S△ADC = 12，
∴S△AOB=S△AOC=6，
∴ S△AOH= S△OBG=
∴ S△AOH-S△EOH+ S△AEB = S△OBG-S△EOH +S△AEB，
即S四边形AHGB= S△AOB=6，
∴
解得：k=8
故答案为：8.
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，由OD//AB，得到S△AOB= 12S△AOC =12S△ADC =6=S四边形AHGB，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论。
13．（2025九下·南山期中）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，AF//GH，FG//EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，且□EFGH□BILK，
∵EH//IL，且EH=IL，
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
∴AE=BC=QL=4，QH=2，
∴EI//HL，且EI=HL=6，
∵HL⊥GH，GH//AF//BC，
∴EI//BC，EI//AD，
∵BI=CI=2，
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
∴∠OED= ∠OIB=90°，DE=AE=4，
连接OD、OB，则OD=OB，
∴ OE2+ DE2= OD2= OB2= BI2+OI2，
∴OE2+ 42 = 22 + (6- OE)2，
解得OE＝2，
∴
∴圆得半径长为.
故答案为：.
【分析】本题需要利用七巧板的性质以及圆的相关知识来求解；首先要找出与圆半径相关的几何关系，通过七巧板中图形的边长和角度特点来计算。
14．（2025九下·南山期中）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】此题需依次计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂、立方根，再合并结果，注意运算顺序和符号处理。
15．（2025九下·南山期中）先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】将“1”看作，先利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法得出最简结果；根据分式的分母不为0，选取合适的a的值，代入化简结果计算即可.
16．（2025九下·南山期中）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题，分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题：
课题 学校学生对DeepSeek掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 学校学生
数据的整理与描述 分组成绩／分频数频率A80.16B0.24C0.48D6
调查结论 ……
（1）上述表格中，　 　，　 　，　 　；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 ▲ 组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？
【答案】（1）12；24；0.12
（2）C组；
（3）解：（名），
答：估计成绩不低于80分的学生有720名．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）8 ÷ 0.16 = 50（人）
m=50 × 0.24 = 12
n=50 × 0.48 = 24
p=6 ÷ 50 = 0.12
（2） 样本总数50，中位数为第25和26个数据的平均值。累计频数：A组8，B组12（前20），C组24（前44），故中位数在C组（80-90分）；
【分析】 题目涉及统计图表的分析，需要根据频数、频率的计算关系解决三个小问；（1）首先需确定样本总人数，进而计算各组的频数和频率；（2）需确定中位数所在组别，并补全直方图；（3）则利用样本比例估算总体人数。
17．（2025九下·南山期中）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本万元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．.
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：制作《希望的田野》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为万元，
则．
，
随的增大而增大．
又，
当时，取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每集成本为x，依据两部作品集数相等的关系列分式方程，求解并检验得出每集成本，为后续收益问题奠定基础；
（2）设拍摄集数为m，根据集数限制条件列不等式求m范围，再比较两部作品单集收益，得出多制作收益高的作品可使总收益最大 。
18．（2025九下·南山期中）如图，AB是⊙O的直径，，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
【答案】（1）证明：连接BD，OC，OD，如图：
∵，
∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴AB＝2×2＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴．
【知识点】勾股定理；求正切值；圆内知识的综合
【解析】【分析】（1）连接BD，OC，OD，根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得BC＝BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OB垂直平分CD；根据同位角相等，两直线平行，可得CD∥BE，根据两直线平行，同位角相等可得∠ABE＝∠AFD＝90°，根据经过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线即可证明；
（2）先求出直径AB=4，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，根据锐角三角函数求得tan∠ABC的值，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC，再结合已知推得∠AEB＝∠ABC，最后根据等角的同名三角函数值相等即可求解.
19．（2025九下·南山期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚，技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点的坐标为.
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）点的坐标为，
设抛物线的解析式为：；
（2）轴，，
点的纵坐标为，
当时，，
解得：（舍），，
，
保护网MN（线段MN）的长度至少为9米；
（3）的取值范围是．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵A (0，8)，AB=1，
∴B (1，8)，
如图，过点F作FK⊥r轴于K，过点E作EL⊥FK于L，
∵∠ELF=90°，
∴∠FEC=135°，∠LEC=90°，
∴∠FEL=45°，
∴△LEF是等腰直角三角形，
∴FL=LE，
∴EF=
∴EL=FL=，
∵EC=LK=2.1，
∴FK=LF+LK=1.4+2.1=3.5，
∵OC=11.4，KC=LE=1.4，
∴OC=10，
∴点F的坐标为(10，3.5)，
设抛物线的解析式为：y =ax2+bx + c，
把点B(1，8)，H (0，6)，F(10，3.5)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
故答案为：(10，3.5)，
(3)将点F(10，3.5)代入y = ax2- 8ax+c中，
100a-80a+c = 3.5，
∴20a+c=3.5①，
当抛物线经过点A(0，8)时，c= 8，
代入①中，20a+8=3.5，
∴a=
当抛物线y = ax2 - 8ax+ c中经过点B(1，8)时，
8=a-8a+c②，
联立①②得：a=
∴a的取值范围是．
【分析】（1）作辅助线构建等腰直角 EFL，确定点B，F的坐标，利用待定系数法即可解答；
(2)为使演员在演出时不受伤害，抛物线要经过点M，可得点M的坐标，计算MN的长即可解答；
(3)分别计算边界点时a的值，即将点A和点B的坐标代入y =ax2-8ax+c中即可解答.
20．（2025九下·南山期中）
（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在Rt△ABC中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
【答案】（1）2
（2）
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转，
点在以点为圆心，PD为半径的圆上运动，
为圆外一个定点，
当AD与相切时，最大，点为圆心，PD为半径的圆上运动，
，
，
由（2）可得：，
，
，
；
（4）解：如图，将沿BC对折，的对应点为，将沿AC对折，的对应点为，连接，
，
再将沿AC方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
当三点共线时，最短，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】勾股定理的应用；圆内接正多边形；圆的综合题；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质；定点定长辅助圆模型
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