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浙江省杭州市萧山区八校联考2024-2025学年第二学期八年级数学期中考试
1．（2025八下·萧山期中）下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·萧山期中）下列扑克牌中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·萧山期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
4．（2025八下·萧山期中）一元二次方程x2-2x-1=0配方后可变形为（　　）
A．(x-1)2=0 B．(x+1)2=0 C．(x-1)2=2 D．(x+1)2=2
5．（2025八下·萧山期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1)，则点B的坐标是（　　）
A．(-2，-1) B．(2，1) C．(-1，2) D．(1，2)
6．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
7．（2025八下·萧山期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的。设观花道的直角边(如图所示)为x，则可列方程为（　　）
A．(10+x)(9+x)=30 B．(10+x)(9+x)=60
C．(10-x)(9-x)=30 D．(10-x)(9-x)=60
8．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
9．（2025八下·萧山期中）已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（　　）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1
10．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
11．（2025八下·萧山期中）已知二次根式有意义，则x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·萧山期中）已知一个多边形的每个外角都是72度，则该多边形的边数是　 　.
13．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为　 　.
14．（2025八下·萧山期中）如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式2m2-4m+3的值为　 　.
15．（2025八下·萧山期中）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中　 　.
16．（2025八下·萧山期中）如图，在□ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F.
（1）如图1，连接DE，若点F恰好落在边DE上.则BE的长为　 　.
（2）如图2，连接BD，若EFIIBD，则BE的长为　 　.
17．（2025八下·萧山期中）计算.
（1）
（2）
18．（2025八下·萧山期中）解方程.
（1）x2-4x+1=0
（2）5x(x+2)=3(x+2).
19．（2025八下·萧山期中）如图，在5x5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上.请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的.
（1）在图1中画一个面积为6的.
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于的.
20．（2025八下·萧山期中）某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x(分)表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均分 中位数 众数 方差
八年级 92 a 92 23.4
九年级 92 94 b 29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a= ▲ ，b= ▲ ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）：
（3）规定成绩在95分以上（含95分)的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
21．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
22．（2025八下·萧山期中）杭州市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同。
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
23．（2025八下·萧山期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
24．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，
（1）探究：如图1，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请你证明四边形的四条边长满足：AB2+CD2=AD2+BC2.
（2）应用一：如图2，若AF，BE分别是△ABC中BC，AC边上的中线.且AF⊥BE垂足为P，求证：AC2+BC2=5AB2；
（3）应用二：如图3，□ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点.若BE⊥EG，AD=2，AB=3.求线段AF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，故选项A符合题意；
B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 最简二次根式需满足两点：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】对于A，B，D上下图案不一样，无法旋转180°重合，C可以旋转180°重合，故选C.
【分析】直接验证选项中的图案旋转180°后是否与原图形重合更可知结果.
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x-1=0
x2-2x-1+2=2
x2-2x+1=2
(x-1)2=2
故答案为：C.
【分析】 配方法的关键是通过配方构造平方项，需将方程左边配成一个完全平方式，右边为常数.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1）
故答案为：A.
【分析】 利用平行四边形关于其对角线交点中心对称的性质 ，对角线上的B，D两点关于O点成中心对称.
6．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为xm，
根据题意得：，
∴（9-x）（10-x）=60.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出两个三角形的面积和等于矩形面积的，列出方程进行化简，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH
∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC
∴∠ADB=∠CBD
∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC
∴ED=FB
又∵BG=DH
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG
∴EH=GF，∠DHE=∠BGF
∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥GF又
∵EH=GF
∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；
∵G是BD上的动点
∴EG的长度在变化
∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
设方程甲的判别式为，乙的判别式为
若甲有两个不相等的实数解，则
即4a2<4b2
此时
则乙没有实数解
故A不符合题意；
若甲有两个相等的实数解，则
即4a2=4b2
此时
则乙也有两个相等的实数解
故B不符合题意；
若x=1是甲的解，代入方程甲得
2a+2b=0
将x=1代入方程乙，可得
2b+2a=0
所以x=1也是乙的解
故C不符合题意；
将x=n分别代入甲，乙方程，
得
①-②得：
∵a≠b
两边同时约去a-b
∴n2-2n+1=0
（n-1）2=0
∴n=1
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】
由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2＜0，根据判别式的意义可对A进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对B进行判断；
若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对C进行判断；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得n=1，可对D进行判断.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，令AC与PQ的交点为O
∵PA沿BC方向平移至CQ
∴AP平行且等于CQ
∴四边形APQC为平行四边形
∴PO=OQ=PQ，AO=OC=AC
当PQ取得最小值时，PO也取最小值
∵P为BC上的动点
∴当OP⊥BC时，此时OP最短，即PQ最短
作OP1⊥BC于P1，OQ1⊥AQ于Q1
此时Q1P1即为Rt△ABC斜边BC上的高
在Rt△ABC中，AC==4
根据三角形面积公式
∴=
∴=
∵OC=AC=2
∴在Rt△OP1C中
P1C==
∴BP1=BC-P1C=
故答案为：C.
【分析】 首先需明确PA沿BC方向平移至CQ形成平行四边形，进而利用平行四边形对边平行且相等的性质，将PQ的最小值转化为点P到AQ的最短距离问题，再结合垂线段最短的几何原理确定点P的位置，最后通过勾股定理计算BP长度.
11．【答案】x≧-2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义
则2+x≥0，
解得：x≥-2．
故答案为：x≥-2.
【分析】直接利用二次根式的定义，得出2+x≥0，进而得出答案．
12．【答案】5
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：边数n=360°÷72°=5
故答案为：5.
【分析】 用多边形的外角和360°除以72°即可得到边数．
13．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
14．【答案】15
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∵m是方程x2-2x-6=0的一个根，
∴m2-2m-6=0，
∴m2-2m=6．
∴2m2-4m+3=2（m2-2m）+3=2×6+3=15
故答案为：15.
【分析】 将x=m代入已知方程得到m2-2m=6，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
15．【答案】最多有一个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：
用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，
应假设：三角形三个外角中最多有一个钝角．
故答案为：最多（至多）有一个钝角.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立 .
16．【答案】（1）
（2）4
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：
(1) 如图1，作DH⊥BC延长线于点H
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，DC=AB=6，AD∥BC，DC∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠DCH=∠ABC=60°，
由折叠得：∠AEB=∠AED，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=DE=10，
在Rt△DCH中，CH=DC=3
∴DH==
在Rt△DEH中，EH=
∴EC=EH-CH=
∴BE=BC-EC=
故(1)答案为：.
如图2，延长EF交AD延长线于G，作DH⊥BC延长线于H，作GK⊥BC于K
由（1）可知CH=3，DH=
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，即DG∥BE
又∵BD∥EG
∴四边形BEGD为平行四边形
∴BD=EG，DG=BE
同（1），有AG=EG
∵DH⊥BC，GK⊥BC，DG∥BE
∴∠DHK=∠GKH=∠DGK=90°
∴四边形DHKG为矩形
∴HK=DG=BE，DH=GK=
令HK=DG=BE=x
∴EC=10-x
EK=EC+CH+HK=10-x+3+x=13
在Rt△EGK中
EG==14
∴AG=EG=14
∴DG=AG-AD=14-10=4
∴BE=DG=4
【分析】 （1）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，利用翻折性质得到∠AEB=∠AED，利用角平分线和平行线性质，得AD=DE=10，利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得线段CH，DH，利用勾股定理求得EH，进而求得CE，则BE=BC-EC；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，由作法可得到BE=DG，设BE=DG=x，利用勾股定理求得EG长，根据（1）的结论解答即可得出结论．
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）需要计算涉及二次根式的除法和减法运算，可以先将二次根式进行化简，再进行合并计算；
（2）需要应用完全平方公式和平方差公式，通过合并同类项来简化表达式.
18．【答案】（1）解：
x1=2+，x2=2-
（2）解：(5x-3)(x+2)=0
x1=-2，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可 .
19．【答案】（1）解：不唯一
（2）解：一个
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）结合平行四边形的性质按要求画图即可；
（2）结合勾股定理、平行四边形的性质按要求画图即可.
20．【答案】（1）解：92.5；95；如图
（2）解：九年级成绩较好，理由：八九年级学生成绩的平均分相同，但九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高。
（3）解： 1200×30%=360(名)，
答：该校八年级约有360名同学被评为优秀.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】 （1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出九年级10名学生成绩处在“A组”的人数，即可补全条形统计图；
（2）平均数相同，从中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）由样本估计总体的计算方法求解即可．
21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500(1+x)2=720，
解得：x1=0.2=20%，X2=-2.2（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：(y-30）[600-10（y-40）]=10000，
整理，得：y2-130y+4000=0，
解得：y1=80，y2=50，
∵尽可能让顾客得到实惠∴y=50
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可．
23．【答案】（1）解： ∵x2-x-6=0，
∴（x-3）（x+2）=0，
∴x1=3，x2=-2，
∵3≠-2+1，
∴x2-x-6=0不是“邻根方程”
（2）解： x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m，x2=-1，
∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m=-1+1或m=-1-1，
∴m=0或-2．
（3）解： 若关于x的方程ax2+bx+1=0 是邻根方程，则方程必有2个不同实根，则
设该方程的两根为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
∴x1-x2==
∵a>0
∴
当a=2时取等号
∴t最大值=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 （1）首先解方程求根，比较两根差是否为1；
（2）通过因式分解或求根公式找到根的表达式，利用邻根方程的条件建立方程求解m；
（3）利用邻根方程的条件，结合判别式和韦达定理，将t表示为a的函数后求最大值.
24．【答案】（1）解：由勾股定理得
AB2=OA2+OB2，BC2=OC2+OB2，
CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2=BC2+AD2
（2）证明：连接 EF，
（3）解：如图3，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EGIIAC，
∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD IlBC，AD =BC =2，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
四边形 A B F E 是平行四边形，
在 和 中，
分别是 的中线，
由（2）的结论得： ，
【知识点】勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）由勾股定理可得出结论；
（2）连接EF，由AE2=PE2+PA2，AC2=（2AE）2=4AE2，同理BC2=（2BF）2，则可得出结论；
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．
1 / 1浙江省杭州市萧山区八校联考2024-2025学年第二学期八年级数学期中考试
1．（2025八下·萧山期中）下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，故选项A符合题意；
B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 最简二次根式需满足两点：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母.
2．（2025八下·萧山期中）下列扑克牌中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】对于A，B，D上下图案不一样，无法旋转180°重合，C可以旋转180°重合，故选C.
【分析】直接验证选项中的图案旋转180°后是否与原图形重合更可知结果.
3．（2025八下·萧山期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
4．（2025八下·萧山期中）一元二次方程x2-2x-1=0配方后可变形为（　　）
A．(x-1)2=0 B．(x+1)2=0 C．(x-1)2=2 D．(x+1)2=2
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x-1=0
x2-2x-1+2=2
x2-2x+1=2
(x-1)2=2
故答案为：C.
【分析】 配方法的关键是通过配方构造平方项，需将方程左边配成一个完全平方式，右边为常数.
5．（2025八下·萧山期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1)，则点B的坐标是（　　）
A．(-2，-1) B．(2，1) C．(-1，2) D．(1，2)
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1）
故答案为：A.
【分析】 利用平行四边形关于其对角线交点中心对称的性质 ，对角线上的B，D两点关于O点成中心对称.
6．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
7．（2025八下·萧山期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的。设观花道的直角边(如图所示)为x，则可列方程为（　　）
A．(10+x)(9+x)=30 B．(10+x)(9+x)=60
C．(10-x)(9-x)=30 D．(10-x)(9-x)=60
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为xm，
根据题意得：，
∴（9-x）（10-x）=60.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出两个三角形的面积和等于矩形面积的，列出方程进行化简，即可得出答案.
8．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH
∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC
∴∠ADB=∠CBD
∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC
∴ED=FB
又∵BG=DH
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG
∴EH=GF，∠DHE=∠BGF
∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥GF又
∵EH=GF
∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；
∵G是BD上的动点
∴EG的长度在变化
∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
9．（2025八下·萧山期中）已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（　　）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
设方程甲的判别式为，乙的判别式为
若甲有两个不相等的实数解，则
即4a2<4b2
此时
则乙没有实数解
故A不符合题意；
若甲有两个相等的实数解，则
即4a2=4b2
此时
则乙也有两个相等的实数解
故B不符合题意；
若x=1是甲的解，代入方程甲得
2a+2b=0
将x=1代入方程乙，可得
2b+2a=0
所以x=1也是乙的解
故C不符合题意；
将x=n分别代入甲，乙方程，
得
①-②得：
∵a≠b
两边同时约去a-b
∴n2-2n+1=0
（n-1）2=0
∴n=1
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】
由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2＜0，根据判别式的意义可对A进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对B进行判断；
若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对C进行判断；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得n=1，可对D进行判断.
10．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，令AC与PQ的交点为O
∵PA沿BC方向平移至CQ
∴AP平行且等于CQ
∴四边形APQC为平行四边形
∴PO=OQ=PQ，AO=OC=AC
当PQ取得最小值时，PO也取最小值
∵P为BC上的动点
∴当OP⊥BC时，此时OP最短，即PQ最短
作OP1⊥BC于P1，OQ1⊥AQ于Q1
此时Q1P1即为Rt△ABC斜边BC上的高
在Rt△ABC中，AC==4
根据三角形面积公式
∴=
∴=
∵OC=AC=2
∴在Rt△OP1C中
P1C==
∴BP1=BC-P1C=
故答案为：C.
【分析】 首先需明确PA沿BC方向平移至CQ形成平行四边形，进而利用平行四边形对边平行且相等的性质，将PQ的最小值转化为点P到AQ的最短距离问题，再结合垂线段最短的几何原理确定点P的位置，最后通过勾股定理计算BP长度.
11．（2025八下·萧山期中）已知二次根式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≧-2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义
则2+x≥0，
解得：x≥-2．
故答案为：x≥-2.
【分析】直接利用二次根式的定义，得出2+x≥0，进而得出答案．
12．（2025八下·萧山期中）已知一个多边形的每个外角都是72度，则该多边形的边数是　 　.
【答案】5
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：边数n=360°÷72°=5
故答案为：5.
【分析】 用多边形的外角和360°除以72°即可得到边数．
13．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为　 　.
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
14．（2025八下·萧山期中）如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式2m2-4m+3的值为　 　.
【答案】15
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∵m是方程x2-2x-6=0的一个根，
∴m2-2m-6=0，
∴m2-2m=6．
∴2m2-4m+3=2（m2-2m）+3=2×6+3=15
故答案为：15.
【分析】 将x=m代入已知方程得到m2-2m=6，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
15．（2025八下·萧山期中）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中　 　.
【答案】最多有一个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：
用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，
应假设：三角形三个外角中最多有一个钝角．
故答案为：最多（至多）有一个钝角.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立 .
16．（2025八下·萧山期中）如图，在□ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F.
（1）如图1，连接DE，若点F恰好落在边DE上.则BE的长为　 　.
（2）如图2，连接BD，若EFIIBD，则BE的长为　 　.
【答案】（1）
（2）4
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：
(1) 如图1，作DH⊥BC延长线于点H
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，DC=AB=6，AD∥BC，DC∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠DCH=∠ABC=60°，
由折叠得：∠AEB=∠AED，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=DE=10，
在Rt△DCH中，CH=DC=3
∴DH==
在Rt△DEH中，EH=
∴EC=EH-CH=
∴BE=BC-EC=
故(1)答案为：.
如图2，延长EF交AD延长线于G，作DH⊥BC延长线于H，作GK⊥BC于K
由（1）可知CH=3，DH=
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，即DG∥BE
又∵BD∥EG
∴四边形BEGD为平行四边形
∴BD=EG，DG=BE
同（1），有AG=EG
∵DH⊥BC，GK⊥BC，DG∥BE
∴∠DHK=∠GKH=∠DGK=90°
∴四边形DHKG为矩形
∴HK=DG=BE，DH=GK=
令HK=DG=BE=x
∴EC=10-x
EK=EC+CH+HK=10-x+3+x=13
在Rt△EGK中
EG==14
∴AG=EG=14
∴DG=AG-AD=14-10=4
∴BE=DG=4
【分析】 （1）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，利用翻折性质得到∠AEB=∠AED，利用角平分线和平行线性质，得AD=DE=10，利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得线段CH，DH，利用勾股定理求得EH，进而求得CE，则BE=BC-EC；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，由作法可得到BE=DG，设BE=DG=x，利用勾股定理求得EG长，根据（1）的结论解答即可得出结论．
17．（2025八下·萧山期中）计算.
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）需要计算涉及二次根式的除法和减法运算，可以先将二次根式进行化简，再进行合并计算；
（2）需要应用完全平方公式和平方差公式，通过合并同类项来简化表达式.
18．（2025八下·萧山期中）解方程.
（1）x2-4x+1=0
（2）5x(x+2)=3(x+2).
【答案】（1）解：
x1=2+，x2=2-
（2）解：(5x-3)(x+2)=0
x1=-2，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可 .
19．（2025八下·萧山期中）如图，在5x5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上.请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的.
（1）在图1中画一个面积为6的.
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于的.
【答案】（1）解：不唯一
（2）解：一个
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）结合平行四边形的性质按要求画图即可；
（2）结合勾股定理、平行四边形的性质按要求画图即可.
20．（2025八下·萧山期中）某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x(分)表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均分 中位数 众数 方差
八年级 92 a 92 23.4
九年级 92 94 b 29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：a= ▲ ，b= ▲ ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）：
（3）规定成绩在95分以上（含95分)的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
【答案】（1）解：92.5；95；如图
（2）解：九年级成绩较好，理由：八九年级学生成绩的平均分相同，但九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高。
（3）解： 1200×30%=360(名)，
答：该校八年级约有360名同学被评为优秀.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】 （1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出九年级10名学生成绩处在“A组”的人数，即可补全条形统计图；
（2）平均数相同，从中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）由样本估计总体的计算方法求解即可．
21．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
22．（2025八下·萧山期中）杭州市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同。
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500(1+x)2=720，
解得：x1=0.2=20%，X2=-2.2（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：(y-30）[600-10（y-40）]=10000，
整理，得：y2-130y+4000=0，
解得：y1=80，y2=50，
∵尽可能让顾客得到实惠∴y=50
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可．
23．（2025八下·萧山期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
【答案】（1）解： ∵x2-x-6=0，
∴（x-3）（x+2）=0，
∴x1=3，x2=-2，
∵3≠-2+1，
∴x2-x-6=0不是“邻根方程”
（2）解： x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m，x2=-1，
∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m=-1+1或m=-1-1，
∴m=0或-2．
（3）解： 若关于x的方程ax2+bx+1=0 是邻根方程，则方程必有2个不同实根，则
设该方程的两根为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
∴x1-x2==
∵a>0
∴
当a=2时取等号
∴t最大值=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 （1）首先解方程求根，比较两根差是否为1；
（2）通过因式分解或求根公式找到根的表达式，利用邻根方程的条件建立方程求解m；
（3）利用邻根方程的条件，结合判别式和韦达定理，将t表示为a的函数后求最大值.
24．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，
（1）探究：如图1，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请你证明四边形的四条边长满足：AB2+CD2=AD2+BC2.
（2）应用一：如图2，若AF，BE分别是△ABC中BC，AC边上的中线.且AF⊥BE垂足为P，求证：AC2+BC2=5AB2；
（3）应用二：如图3，□ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点.若BE⊥EG，AD=2，AB=3.求线段AF的长.
【答案】（1）解：由勾股定理得
AB2=OA2+OB2，BC2=OC2+OB2，
CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2=BC2+AD2
（2）证明：连接 EF，
（3）解：如图3，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EGIIAC，
∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD IlBC，AD =BC =2，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
四边形 A B F E 是平行四边形，
在 和 中，
分别是 的中线，
由（2）的结论得： ，
【知识点】勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）由勾股定理可得出结论；
（2）连接EF，由AE2=PE2+PA2，AC2=（2AE）2=4AE2，同理BC2=（2BF）2，则可得出结论；
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．
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