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高2024级2024—2025学年下学期半期考试
数学试题
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2． 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．10
4．设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．1
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知向量，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中错误的有（ ）
A．若，，则
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，，则
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
11．《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值域为
C．在区间上单调递增
D．将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12、若向量与向量的夹角为则 --------------
13、复数，，则 -------
14、在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为-----------
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值
16．（15分）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线．
(1)求；
(2)求的面积
17．（15分）已知向量与的夹角为，且.
(1)；
(2)求向量与向量的夹角.
18．（17分）的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围.
19．（17分）已知：函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求函数在上的单调区间
答案
CBBCADDC
9、AD 10．ACD 11．AC
12． 13、 14 ．
15、（1）设点，则,.
因为，
所以，即得.
所以点的坐标为.
（2）由题意得，
所以，.
因为，所以，
解得.
16、（1）因为向量，向量，且与共线，
则，整理可得，因为，解得.
（2）因为，，则，
所以，的面积为.
17.【详解】（1）由，向量与的夹角为可知；
所以，
即；
（2）记向量与向量的夹角为，
结合（1）可得，
又，因此可得.
即向量与向量的夹角为.
18.【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得：，
即，所以，
由于，所以，又，
所以.
（2）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以
，
因为，所以，
故，所以.
故的周长的取值范围为：.
19、【详解】（1）
故最小正周期为．
（2），
令
解得：
又，得，
即单调减区间为：，单调增区间为：

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