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杭高临平高一5月检测卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（ ）

A． B． C． D．
3．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）

A． B． C． D．
5．《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
6．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（7题） （8题）
8．如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．//平面 C． D．//平面
10．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A．存在点，使得
B．直线与平面所成的最大角为
C．若不共面，则四面体的体积的最大值为
D．若，则点的轨迹的长为
11．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥．设，点分别为棱的中点，为线段上的动点．下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中存在某个位置，使
B．当时，与平面所成角的正弦值为
C．在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2
D．当时，的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为 ．
14．四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为 ；直线l与平面所成夹角的范围为 ．
四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，是的中点．求证：(1)平面； (2)平面平面．
16．如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线．求证：(1)； (2)平面．
17．如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，F是与的交点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由．
19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值．
杭高临平高一5月检测卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D D D C C ACD AC
题号 11
答案 ACD
12．
13．/
14． 1
15．（1）在中，，分别是与的中点，
所以．
又 平面，平面,
所以平面；
（2）连接，因为是的中点，是的中点，
所以且，
故四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
又由（1）得平面，
因为，所以平面平面．
16．（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，又，平面
，
∴平面．
17．（1）在正四棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，
又为的中点，则有，而平面，平面，
所以平面．
（2）在正四棱柱中，，，的面积，
所以求三棱锥的体积．
18．证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
∴，
（2）线段存在点N，使得平面，理由如下：
取中点N，连接，，
∵E，N分别为，的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
取AP中点F,连结EF,BF，，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以.
又面PAB，面PAB，所以平面；
又，
∴平面平面，
∵M是上的动点，平面，
∴平面PAB，
∴线段存在点N，使得MN∥平面．
19．（1）由可得，
易得四边形是矩形，∴，
又平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面
（2）四棱锥的体积为，
要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.
由条件可得，
∴，即，
当且仅当时，取得最大值36.
分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，由，可得
，令可得，
同理可得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成二面角为，
.
由于平面与平面所成角为锐二面角，所以余弦值为.

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