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2025年5月学情调研九年级数学试卷
（本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.一批零食，标准质量为每袋100．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A.＋2 B.－3 C.－1 D.5
2.计算的结果正确的是（ ）
A.1 B.－1 C. D.
3.如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝40°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.人体红细胞的直径平均约0.0000075，这个数0.0000075用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
6.成语言简意赅，形象生动，使用广泛，是中华文化的瑰宝．下列成语反映的事件是随机事件的是（ ）
A.不期而遇 B.水中捞月
C.刻舟求剑 D.瓮中捉鳖
7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，等腰三角形的底边在轴上，．将等腰三角形向下平移1个单位长度后，点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，半径．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线，与相交于，两点，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线（，，是常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.关于的方程有两个不相等的实数根
D.点，和在抛物线上，则
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.请写出一个其相反数是负数的数为__________．
12.3月14日是国际数学节，2025年国际数学节的主题是“数学、艺术与创意”．某校在今年国际数学节策划了“折纸几何”“拓扑学魔术”和“分形艺术创作”三个动手实验活动，如果小华和小军每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好都选到“拓扑学魔术”的概率是__________．
13.设，是方程的两个实数根，则的值为__________．
14.电阻（单位：）与电阻（单位：）并联后的总电阻为（单位：），它们之间满足关系式．当，时，的值为__________．
15.如图，在中，，，．点在上，且，点在上，将沿直线折叠，点落在点处，若，则
（1）__________，（2）的长为__________．
三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）计算：
17.（6分）如图，已知，点，分别在边，上，且．连接与交于点．求证：．
18.（6分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量市民广场一处灯塔的高度，在现场观察研究后，设计了如下两种测量方案，并测出了相关的数据．
方案一：如图1所示，在周围的平地上选取点，与点在同一水平的直线上，在处用测角仪测出从点观测点的仰角，从点观测点的俯角，再测出测角仪的高度．测量的结果为：，，．
方案二：如图2所示，在周围的平地上选取点，在处铅直放置一标杆，在某时刻，测出的影长和的影长，再测出标杆的长度．测量的结果为：，，．
请从以上两种方案中任选一种，计算出灯塔的高度．（结果取整数，参考数据：，，，，，）
19.（8分）某校为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，在全校开展了“做好家务劳动”倡议活动，家务劳动包括：扫地、拖地、擦门窗、洗碗、洗衣、做饭、整理收纳、简单维修、其它家务等九项．为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了若干名学生就四月份做过上述几项家务劳动的情况进行了调查，并根据调查结果绘制了如下统计图．
（1）本次被抽取的学生人数为______人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应的扇形的圆心角＝______°；
（3）若该校有学生1500人，请估计该校四月份参与家务劳动的项目数量不超过3项的学生人数．
20.（8分）如图，一次函数与反比例函数y＝（k≠0）的图像交于点A（1，6），B（－3，n）两点，与x轴交于点C．
（1）直接写出结果：k＝______，n＝______，b＝______；
（2）点D在x轴正半轴上，连接AD，BD，点D的横坐标为m，若，求m的取值范围．
21.（8分）已知△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，点D为的中点，点E在AB的延长线上，连接AD，DE，∠E＝∠ADC．
（1）如图1，求证：DE为⊙O的切线；
（2）如图2，若，DE＝，求AC与弦AC围成的阴影部分的面积．
22.（10分）民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为20元/件．为了解市场情况，商定先进行15天的试销，第1天销售单价为21元/件，以后每天均涨价1元/件，在销售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为．设销售时间为t（天）（即第t天）．
（1）请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式；
（2）试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价；
（3）在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有多少天？
23.（11分）已知正方形ABCD，点E为AD上一点，将正方形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处．延长EF与CD交于点G，连接BG．
（1）如图1，求证：BG平分∠CBF；
（2）连接AC，与BE交于点H，与BG交于点K，连接EK．
①如图2，请探究△BEK的形状，并说明理由；
②如图3，若点E为AD的中点，请直接写出AH∶HK∶CK的值．
24.（12分）抛物线与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出结果：b＝______，c＝______；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的点，求△PAC周长的最小值；
（3）如图2，点M是抛物线上异于点C的动点，点N在抛物线上，连接MN与y轴交于点H，且H是MN的中点．设点M的横坐标为m．
①设线段MN与y轴相交所成的锐角为，请求出tanα的值；
②以MN为边作菱形MNKJ，对角线轴，当抛物线在菱形MNKJ内的部分对应的函数y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围．
2025年5月学情调研九年级数学试卷
参考答案与评分细则
一、选择题
1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题
11.答案不唯一，是正数即可，如1，…… 12. 13.－12
14.5 15.（1）45°；（2）2（说明：第（1）问1分，第（2）问2分）
三、解答题
16.解：原式＝2－1＋3－1…………4分
＝3.……………6分
17.证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，．
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO．………2分
又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF．
∴△DOE≌△BOF（ASA）．………5分
∴OE＝OF．…………6分
18.解：如选方案一：BE＝CD＝1.5．………1分
在Rt△CEB中，，
∴（）．…………………………3分
在Rt△ACE中，，
∴AE＝CE＝10.5（）．………………5分
∴AB＝AE＋BE＝10.5＋1.5＝12（）．……………6分
如选方案二：∵，∴∠CFD＝∠AEB．
又∵∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CFD∽△AEB．……3分
∴，即，∴AB＝12（）．………6分
19.解：（1）50.………………2分
（2）补全条形图如图，＝36°；
……5分
（说明：补条形图2分，求的度数1分．）
（3）（人）．…………8分
故：该校四月份参与家务劳动的项目数量不超过3项的学生约有1350人．
20.解：（1）k＝，n＝，b＝；…………5分
（说明：填对一个得2分，填对两个得4分，填对三个得5分．）
（2）令，得，∴C（－2，0）．…………6分
∴，
∴m≥1.……8分
21.（1）证明：如图1，连OD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∵点D为的中点，∴∠CAD＝∠BAD．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥CA．
∴∠OFB＝∠ACB＝90°．……………2分
∵∠E＝∠ADC＝∠ABC，
∴BC∥DE，∴∠ODE＝∠OFB＝90°．
∴DE为⊙O的切线；…………………4分
（2）解：如图2，连接OC．
∵，，∴四边形BCDE是平行四边形，∠ABC＝∠DCB．
∴BC＝DE＝．…………………………………………………………………5分
∵点D为的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝∠DCB，∴∠CAD＝∠BAD＝∠ABC．
∴∠ABC＝30°．∴∠AOC＝60°．
在Rt△ABC中，，∴OA＝2.………6分
∴．………8分
图1 图2
22.解：（1），………………1分
；……………3分
（2），……5分
∴当t＝9时，．………6分
此时．…………7分
即：试销第9天日销售利润w最大为162元，此时的销售单价为29元/件．
（3）令，解得t＝6或12.……9分
结合的图象分析可得，日销售利润不低于144元的有7天．
………10分
23.（1）证明：∵是正方形，∴，．
由折叠知，．
∴，．……2分
又公共，∴（）．
∴，即平分．……4分
（2）解：①为等腰直角三角形．…5分
理由如下：由折叠知．
∴．
∵是正方形，∴．
∴．
又，∴，∴．…6分
∴，又，∴．
∴，
∴．
∴，，∴为等腰直角三角形．……8分
②．……………11分
24.解：（1），；………………………3分
（说明：填对一个得2分，填对两个得3分．）
（2）连接，与对称轴交于点，此时的周长最小，且最小值为．
……4分
令，得，∴．
又∵，，
∴，．
∴周长的最小值为．…………6分
（3）①如答案图，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，与交于点，则．由题意有．
∵，∴，∴．
∴，．
∴，．
∴．………………………………………………8分
∵，∴．
∴，即．……………9分
②或．…………12分
（说明：填对一个得2分，填对两个得3分．）
注：以上各题的其他解法，均应参照上述评分细则给与相应的分数．

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