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2024-2025学年高一数学湘教版（2019）下学期期末考试模拟卷A卷（含解析）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,则( )
A. B. C. D.
2．已知,是两个不共线的向量,,,则A,B,C三点共线的充要条件是( )
A. B. C. D.
3．已知,则( )
A. B. C. D.
4．已知角满足,则=( )
A. B. C. D.
5．复数的虚部是( )
A. B.1 C. D.i
6．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是( ).
A.AB和 B.和 C.和 D.和AB
7．如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中的异面直线有( )
A.3对 B.5对 C.6对 D.4对
8．若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线
D.若,,则
10．下列各式中,值为的是( )
A. B. C. D.
11．如图,平行六面体的体积为6,点P为线段上的动点,则下列三棱锥中,其体积为1的有( )
A.三棱锥 B.三棱锥 C.三棱锥 D.三棱锥
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为________.
13．已知，且，，则_________.
14．如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么在,,,这四条线段中,有____________对异面直线？
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面平面，E是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
16．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分,每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”,两部分考试都“通过”者,则考试“通过”,并给予录取.甲 乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6,在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3,笔试和面试是否“通过”是独立的,那么
(1)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试,谁获得录取的可能性大？
(2)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试,求恰有一人获得录取的概率.
17．（例题）已知，其中，求，.
18．如图,在中,点D在线段上,且满足,过点D的直线分别交直线,于不同的两点M,N,若,.
(1),求x的值;
(2)求证：,并求的最小值.
19．分别从集合和集合中各取一个数.
（1）求这两个数之和为7的概率；
（2）求这两个数之和为偶数的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：由有,
由正弦定理有,又,
即,
所以,
又,则.
故选:D
2．答案：A
解析：因为,是两个不共线的向量,故,均不为零向量,
若A,B,C三点共线,则,为共线向量,
故存在实数,使得,故,
而,是两个不共线的向量,故,故,
反之,若,则,故,
故,为共线向量,而,共起点,故A,B,C三点共线,
综上,A,B,C三点共线的充要条件是,
故选:A
3．答案：D
解析：.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：复数z的虚部是.
故选：B.
6．答案：D
解析：因为是正四棱台，所以，故A错误；
侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误；
同理与也相交，所以B，，，D四点共面，所以与相交，故C错误；
与是异面直线，故D正确.
故选：D
7．答案：B
解析：异面直线有5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，EF与BP.
8．答案：C
解析：因为，
所以，
解得.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：A.零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;
B.由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;
C.因为,都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即与反向共线时才成立,故C正确;
D.由向量相等的定义知D正确;
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：由余弦倍角公式,可得,所以A不正确;
由正切的倍角公式,可得,所以B正确;由正弦的倍角公式,可得,所以C正确;
由,所以D不正确.
故选:BC.
11．答案：ACD
解析：记平行六面体的体积为,
对于A,由平行六面体的性质,平面故点到平面的距离等于点B到平面的距离,故,故A正确;
对于B,因为,底面面积固定,点P在线段上位置不同,高不同,故体积不为定值,故B错误;
对于C,因为,平面,平面故平面
点P到平面的距离等于点B到平面的距离,
故,故C正确;
对于D,因为,平面,平面故平面
点到平面的距离等于点B到平面的距离,
故,故D正确;
故选:ACD.
12．答案：
解析：电路接通的概率为：.
故答案为：.
13．答案：或
解析：由和差化积公式可知，.
记，则，
解得或.故的结果为或.
14．答案：3
解析：如图所示：把展开图再还原成正方体,
由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得,,,,这四条线段所在直线是异面直线的有:
和,和,和,共三对,
故答案为：3.
15．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）连接交于点O，连接，
因为四边形为平行四边形，点O为的中点，点E为的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面
（2）在中，，，，
即，因为，，
由，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故，
所以，，两两互相垂直，以B为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，，
所以，取平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
因为，所以.
故平面与平面的夹角的大小为.
16．答案：(1)甲获得录取的可能性大;
(2)0.308.
解析：（1）记“甲通过笔试”为事件,“甲通过面试”为事件,“甲获得录取”为事件A,“乙通过笔试”为事件,“乙通过面试”为事件,“乙获得录取”为事件B,
则,,即,
所以甲获得录取的可能性大.
（2）记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则
.
17．答案：，
解析：因为且，所以.
因此
，
.
18．答案：(1)
(2)证明见解析;4
解析：(1),
故,
(2),D,M,N三点共线,故,
即,
,
当且仅当,即时等号成立,故的最小值为4.
19．答案：(1)；
(2)
解析：(1)从集合和中各取一个数，该试验的样本空间.
设"这两个数之和为7"，则，故.
(2)设"两数之和为偶数"，则，
故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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