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2024-2025学年高一数学湘教版（2019）下学期期末考试模拟卷B卷（含解析）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在中,,,,则b等于( )
A. B. C. D.
2．已知非零向量，，且，向量在向量方向上投影向量为，则，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．如图,在正方体中,直线与直线BD( )
A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直
5．如图所示,在四棱锥中,底面,且底面为菱形,M是上的一个动点,若要使得平面平面,则应补充的一个条件可以是( )
A. B. C. D.M是棱的中点
6．甲、乙、丙、丁四位同学报名参加4项不同的趣味运动项目，每人只能报一项，则在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率等于( )
A. B. C. D.
7．甲、乙两人各抛掷一枚骰子,则两人抛出的点数之和为4的概率为( )
A. B. C. D.
8．口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28 C.0.7 D.0.3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．袋中有大小和质地均相同的5个球,其中2个红球,3个黑球.现从中随机摸取2个球,下列结论正确的有( )
A.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件
10．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是( )
A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球
C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；全是白球
11．已知,,,则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知是锐角，若，则________.
13．在中,若,则的值是________.
14．已知，，，则___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，，，，求，和的值.
16．已知，且.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
17．已知，，，，求的值.
18．在三棱柱中,,、平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面.
19．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.
(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
(2)求甲校以3:1获胜的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：在中,,,,
由正弦定理可得.
故选:A.
2．答案：A
解析：设向量，的夹角为，
由题意知，则,
则，又，
则，即.
故选：A.
3．答案：A
解析：如图：三角形中，，
则有两解的充要条件为：
即，
故选：A.
4．答案：A
解析：法一：由图形可知,直线与直线不同在任何一个平面,这两条直线为异面直线.
法二：（反证法）假设直线与直线不异面,则直线与直线共面,
设直线与直线确定的平面,又不共线,所以确定平面,
所以平面与平面重合,从而可得平面,与平面矛盾,
所以直线与直线异面.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为四边形是菱形,,又平面,,
又,平面,即有,故要使平面平面,只需或.
故选：B
6．答案：B
解析：乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同有种可能．
四位同学所报项目各不相同有种可能．
在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，
四位同学所报项目各不相同的概率，
故选:B．
7．答案：B
解析：因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子,所以共有种情况,
符合条件的有,,,共3种,
且设概率为P,则,故B正确.
故选:B
8．答案：D
解析：从中摸出一个球,摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的,所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是,故选D.
9．答案：BC
解析：以黑球的个数为切入点,试验的样本空间为.
对于A项,
“恰有一个红球”可用来表示,“都是红球”可用事件来表示.
所以,事件A,B互斥,但A,B不是对立事件,故A项错误;
对于B项,
“恰有一个黑球” 可用来表示,“都是黑球”可用事件来表示.
所以事件A,C互斥,故B项正确;
对于C项,
“至少有一个黑球”可用事件来表示,“都是红球”可用事件来表示.
所以,事件B,D为互斥事件,也是对立事件,故C项正确;
对于D项,
“至少有一个红球” 可用事件来表示,“都是红球”可用事件来表示.
所以,事件,即交事件为“都是红球”,故D项错误.
故选：BC.
10．答案：AB
解析：对于A:“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，
'都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是
红球”不是互斥事件.故A正确;
对于B:“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至
少有1个红球”包含都是红球和一红一白，
所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故
B正确;
对于C:“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含
都是红球，
所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误:
对于D:“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全
是白球”包含都是白球，
所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件,故D错误
故选:AB.
11．答案：AD
解析：,,则,,
,A选项正确;
,B选项错误;
,
C选项错误;
由,有,
,D选项正确.
故选：AD
12．答案：
解析：由得，，
因为是锐角，所以，所以，
整理得，解得或（舍）.
故答案为：
13．答案：或
解析:由,得,
即,又,
所以,则,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：，
，.又，，
，.
.
15．答案：；；
解析：因为，，
所以，
又，所以，
所以.
因为，，
所以.
所以.
易得，所以，，
所以，
，
.
16.
（1）答案：证明见解析
解析：由，
得，
整理，得.
又，所以.
（2）答案：
解析：由（1），知，
又，
所以.
又，所以，所以.
17．答案：
解析：由，可得，
又，所以.
由，可得，
又，所以，
所以.
18．答案：（1）证明详见解析;
（2）证明详见解析.
解析：（1）由于E,F分别是,的中点,所以.
由于平面,平面,所以平面.
（2）由于平面,平面,所以.
由于,,所以平面,
由于平面,所以平面平面.
19．答案：(1);
(2)
解析：(1)恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
甲校连胜3局，概率为；
乙校连胜3局，概率为.
故恰好比赛三局，比赛结束的概率.
(2)甲校以3:1获胜的情况如下：
①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，
第四局比赛甲校胜，
概率为；
②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，
第四局比赛甲校胜，
概率为.
故甲校以3:1获胜的概率.
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