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2024-2025学年高一数学湘教版（2019）下学期期末考试模拟卷C卷（含解析）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在平行四边形中，E是对角线上靠近点C的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
2．若,则( )
A. B. C. D.
3．已知，，则( )
A. B. C. D.
4．如图,有三个相同的正方形相接,若,,则( )
A. B. C. D.
5．已知,则( )
A. B. C.i D.
6．若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7．在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为( )
A.96 B.80 C.64 D.32
8．甲、乙、丙、丁四位同学报名参加4项不同的趣味运动项目，每人只能报一项，则在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率等于( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．袋中有大小和质地均相同的5个球,其中2个红球,3个黑球.现从中随机摸取2个球,下列结论正确的有( )
A.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件
10．如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则直线与平面平行的是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知,是平面内的一组基底,则下列向量中能作为一组基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
12．在中,已知,,,则角A的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
13．已知,则____________.
14．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),,,,,则这块菜地的面积为________.
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．某环保小组共有5名成员,其中男成员有2人,现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率;
(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.
17．甲袋子中装有2个红球、1个白球,乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明,球除颜色外完全一样）.
(1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球,求选出的2个球的颜色相同的概率;
(2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球,求选出的2个球来自同一袋子的概率.
18．甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过解题思路甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为, 乙发球甲赢的概率为, 不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
19．小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率;
（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：因为E是对角线上靠近点C的三等分点，所以，
则.
故选：A
2．答案：B
解析：因为,所以,解得.
3．答案：D
解析：，，
.
故选D.
4．答案：B
解析：设正方体边长为1,由图可得,,
则且,
所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：
故选:B.
6．答案：A
解析：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，
点E为的中心，
设O为外接球的球心，外接球的半径为R，
由正三角形的性质，，
；
由，
得，
解得，
该球的表面积为.
故选：A.
7．答案：D
解析：连接，，设与交于点O，连接.
易知，就是正四棱锥的高，且.
又，所以，所以该正四棱锥的体积为.
故选：D.
8．答案：B
解析：乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同有种可能．
四位同学所报项目各不相同有种可能．
在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，
四位同学所报项目各不相同的概率，
故选:B．
9．答案：BC
解析：以黑球的个数为切入点,试验的样本空间为.
对于A项,
“恰有一个红球”可用来表示,“都是红球”可用事件来表示.
所以,事件A,B互斥,但A,B不是对立事件,故A项错误;
对于B项,
“恰有一个黑球” 可用来表示,“都是黑球”可用事件来表示.
所以事件A,C互斥,故B项正确;
对于C项,
“至少有一个黑球”可用事件来表示,“都是红球”可用事件来表示.
所以,事件B,D为互斥事件,也是对立事件,故C项正确;
对于D项,
“至少有一个红球” 可用事件来表示,“都是红球”可用事件来表示.
所以,事件,即交事件为“都是红球”,故D项错误.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：对A：如图：
连接，交于点E，连接，则，平面，
且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误；
对B：如图：
因为，平面，
平面，所以平面，故B正确；
对C：如图：
取中点F，易证M，N，Q，F四点共面，
且，平面，
平面，所以平面，故C正确；
对D：如图：
连接，则，
平面，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD
11．答案：ACD
解析：对于A,令,由,不共线,得且,矛盾,
与不共线,A能;
对于B,,和共线,B不能;
对于C,令,由,不共线,得且,矛盾,
和不共线,C能;
对于D,,由,不共线,得且,矛盾,和不共线,D能.
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：由正弦定理得,得,
因为,且,所以或.
故选：BC.
13．答案：
解析：由,得,
则,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由几何关系可得,斜二测图形中:,
由斜二测图形还原平面图形,则原图是一个直角梯形,其中上下底的长度分别为1,2,高为,其面积.
15．答案：0.18
解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，
甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，
甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知该环保小组女成员有3人,记为a,b,c;男成员有2人,记为d,e.
从5名成员随机选出3人的情况有,,,,,,,,,共10种.
所选的3人中恰有1名男成员的情况有,,,,,共6种,
则所选的3人中恰有1名男成员的概率.
(2)所选的3人中至少有2名女成员的情况有,,,,,,共7种,
则所选的3人中至少有2名女成员的概率.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)甲袋子中2个红球分别用A,B表示,白球用C表示,乙袋子中红球用D表示,2个白球分别用E,F表示.
从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为,,,,,,,,,共9种,
从中选出的2个球的颜色相同的有,,,,共4种,
故选出的2个球的颜色相同的概率.
(2)从6个球中任选2个球的所有可能结果为,,,,,（B,C）,,,,,,,,,,共15种,
从中选出2个球来自同一袋子的结果有,,,,,,共6种,
所以选出的2个球来自同一袋子的概率.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C,
由题意可知：,,,,且,
可得,
所以该局打4个球甲赢的概率为.
(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F,
可知事件D,E为互斥事件,且,,,
则,
,
可得,
所以该局打5个球结束的概率为.
19．答案：（1）0.398
（2）0.994
（3）0.092
解析：（1）由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为
.
（2）由题意得,三列火车至少有一列正点到达的概率为
.
（3）由题意得,恰有一列火车正点到达的概率为
.
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