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2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高一下学期期中考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.向量，，则( )
A. B. C. D.
5.向量在正方形网格中的位置如图所示若向量与共线，则实数( )
A. B. C. D.
6.若向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
8.函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是( )
A. 先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的倍
B. 先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的
C. 先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位
D. 先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的倍，再将图象向左平移个单位
9.若函数的部分图象如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断：
函数是周期函数，最小正周期为；
函数的值域为；
函数在区间上单调递增．
其中判断正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11. ．
12.已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为 ．
13.已知向量，，若，则 ，若存在实数，使得方向相反，则的取值范围为 ．
14.若为所在平面内一点，且，则的形状为 ．
15.已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为 写出一个即可
16.已知，，其中表示不超过的最大整数．
例如：，，
．
若对任意都成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知向量，，点，若
求与向量方向相同的单位向量的坐标；
求点的坐标；
若点满足，求与的值．
18.已知函数．
请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象先列表，再画图；
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最小值，并写出相应的值．
19.已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件．
确定的解析式；
若图象的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围．
条件：的最小值为；
条件：图象的一个对称中心为；
条件；的图象经过点．
20.如图，在四边形中，是边长为的等边三角形，点是边上的动点不含端点．
若，求实数的值；
求的最小值．
21.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，，转动时间为秒．
当时，求点绕转动的弧度数；
分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；
若函数，当时，恒成立，求的取值范围．
22.已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，，如此经过次变换后得到的向量记为特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
设，直接写出的所有可能结果；
求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
设，求的聚数的所有可能结果．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.直角三角形
15.不唯一
16.
17.因为，所以，
与向量方向相同的单位向量；
因为，所以，
整理得，
因为点，所以；
因为，所以，所以，
即，解得，

18.按个关键点列表如下：
描点连线作图如下：
令
解得
所以函数的单调递增区间是
因为
所以
所以函数在区间上的最小值为，此时，．

19.解：Ⅰ由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，．
此时．
选条件：
因为的最小值为，所以．
因为图象的一个对称中心为，
所以，
所以，
因为，所以，此时，
所以．
选条件：
因为的最小值为，所以．
因为函数的图象过点，
则，即，．
因为，所以，
所以，，
所以．
选条件：
因为函数的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，此时．
所以．
因为函数的图象过点，
所以，即，，
所以，
所以．
Ⅱ因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，
所以，
得，
所以的取值范围为．
20.由是边长为的等边三角形，
所以，又，故，
故，则，又，
所以．
令且，则，
又，，
所以
，
则，
所以当时最小值为．

21.当时，点绕转动弧度，点与点处转过的弧长相等，
则点绕转动的弧度数为
转动时间为秒，点绕转动弧度，点绕转动弧度，
，，
当，解得，
由，得，，
所以满足条件的的集合为．
在时恒成立，
所以在时恒成立，
当时，，
根据二次函数性质可得，当时，取得最小值，
故，
故的范围为

22.，，，
所以或或；
设，，则，，，，，
，，所以，
，，所以，
即，
所以维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量，
这样经过次变换后变成一个数，
所以对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
替#换#一#换#替#定义运算#：，首先证明这个运算满足交换律与结合律：
，即运算“”满足交换律，
又，
，
所以，即运算“”满足结合律，
所以维可聚向量经过变换后所得可聚数与实施的具体操作过程无关，
因此可作如下操作：
由，易得，，，，
原来向量记作，则，再进行次变换化为一项，
综上可知，的聚数为．

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