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2024-2025学年湖北省新八校协作体高二下学期5月联考数学试题(A卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对四组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是
A. 图中的y和x之间呈现线性相关关系 B. 图中的y和x之间不存在相关关系
C. 图中的y和x之间呈现正相关关系 D. 图中的y和x之间呈现负相关关系
2.记为递减等差数列的前n项和，若，，则
A. B. C. D.
3.黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的2025款小鹏X9加速度表现出众，其中四驱高性能Max版的加速时间仅需秒.若某款车的速度v关于时间t的函数为，则秒时的加速度为
A. B. C. D.
4.某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有4名男生和5名女生，该小组需要选出3名同学参加，若选出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有种.
A. 35 B. 84 C. 70 D. 140
5.已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是
A. B. C. D.
6.共有20张彩票，其中有2张中奖彩票，从中任取 n张，要使这 n张彩票中至少有一张中奖的概率大于，n至少为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是
A. B. 是增函数
C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称
8.若对于任意的，总存在唯一的使得成立，则实数a取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. r为样本相关系数，越小，则两个变量线性相关性越弱
B. 经验回归方程相对于点的残差为
C. 决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
D. 线性回归直线一定经过样本点的中心
10.已知数列满足，，其前n项和为，其前n项积为，则下列选项正确的是
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系xOy中，P为曲线上任意一点，则
A. 曲线E关于原点中心对称 B. E与曲线有4个公共点
C. P点不可能在圆外 D. P到y轴的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 .
13.已知圆和点，由圆外一点P向圆O引切线，切点分别为M、N，若，则的最小值是 .
14.已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
为了比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样方法抽取120名学生，通过测验得到如下数据：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40
乙校 30 60
合计 120
完成上述样本数据的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙校学生的数学成绩优秀率是否比甲校高;
附：
假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有学生数学成绩是否优秀相互独立，从甲校学生中随机抽取4人，设被抽取的4人中数学成绩优秀的人数为X，求X的数学期望.
16.本小题15分
已知函数
当时，求的解集;
当时，求的单调区间.
17.本小题15分
已知数列的前n项和为，且，在数列中，，满足
求数列的通项公式;
证明：数列为等比数列;
求数列的前n项和，并证明
18.本小题17分
甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球个一起放回盒子里，设事件“第k次摸到白球”.
现在甲、乙分别从A、B两个盒子中摸球，A盒中有10个白球和30个黑球，B盒中有5个白球和20个黑球，，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小;
甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同.请通过计算验证他们的猜测是否正确;
若初始有m个白球和n个黑球，求第r次摸球后，累计摸到白球个数的期望用m，n，r表示
附：若随机变量服从两点分布，且，，2，，
19.本小题17分
已知、分别为椭圆的左右顶点，K为椭圆E上异于A、B的动点，且直线AK和直线BK的斜率之积为
求椭圆E的方程;
若直线，直线AK交l于点P，直线BK与l交于点Q，椭圆E在点K处的切线与l交于R，求证：
求面积S取最小值时K点的横坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为图中的y和x之间存在非线性相关关系.
故选B
2.【答案】A
【解析】解：设等差数列的公差为d，，
根据题意 ，结合，
解得，
则，解得，
得
3.【答案】D
【解析】解：，
，
4.【答案】C
【解析】解：总共有种选法，全男生的选法为，全女生的选法为，
因此符合条件的选法为种.
故选
5.【答案】C
【解析】解：抛物线的标准方程是，故
设，PF的中点
，
点在抛物线上，
，，即
故选
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得出，20张彩票中任取n张奖票的事件数为 ，
没有中奖的事件数为：，
所以使这n张彩票里至少有一张中奖的事件数为：，
所以根据概率化简得出，
验证如下：
当时，，
当时，，
所以根据二次函数可以判断出：n至少为6，
综上，最小。
7.【答案】D
【解析】解：选项A：由正态分布对称性知，，故，错误；
选项B：当 时， ，故是减函数，错误;
选项C：验证对称轴条件，取 ，则对称点为
，
，
，
除非，图象不关于对称，错误;
选项D：因为X服从正态分布，正态曲线关于对称，所以，则，故D正确.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
设，，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，分别研究两函数的性质，然后利用子集即可求解.
【解答】
解：设，，
当时，因为，所以是增函数，
，是减函数，
，
，，
，
时，，
设，，则，
时，单调递减，时，单调递增，
又，，
又存在唯一y使之成立，
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，相关系数r的绝对值越接近于0，两个变量线性相关性越弱，故A正确；
对于B，残差为观测值减预测值，，故B错误；
对于C，决定系数表示的是拟合效果，越大模型的拟合效果越好，故 C正确；
对于D，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故D正确.
10.【答案】BCD
【解析】解：已知数列满足，，
则，
所以数列是以3为周期的周期数列，
对于A项，，故A项错误;
对于B项，，
所以，故B项正确;
对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，
则，故C项正确;
对于D项，，
，
所以，D项正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A：将点替换为，代入曲线方程，等式仍成立，且，故曲线关于原点对称，A正确；
选项B：联立与E的方程得，由，故左边，与右边1矛盾，无解，B错误；
选项C：设，由方程得，利用均值不等式，推导得，故所有点均在圆内或圆上，C正确；
选项D：由得，
设，，
则关于n的方程有非负实根，
设，，
显然在上单调递增，
由，得，
则极小值，
解得，即，
所以，且等号可取到，D正确.
12.【答案】5
【解析】解：根据题意，若，则或，且，即，3，4，5，6，
解得不合题意舍去或，
故，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：设点P的坐标为，
由圆的切线性质可知，，
根据题意，即： ，
两边平方得：，
展开整理得
求的最小值即求点O到直线的距离，
代入公式得：
故答案为
14.【答案】
【解析】解：，
设：，
所以
当时，，则，，
当时，，则，，不存在这样的x，
当时，存在，当，，
当，，
此时必有：，
综上所得：
15.【答案】解：完善列联表，如下：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40 20 60
乙校 30 30 60
合计 70 50 120
零假设为甲、乙两校学生数学成绩无差异.
根据表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异.
依题意得，从甲校随机抽取一名同学，数学成绩优秀的概率为，
，
因此
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解： 当时，函数为2，，
则，
，判别式，
则在上恒成立，
所以函数在单调递减，
又，
所以时，即的解集为；
求导得；
设，
；
当，即，，故在单调递减；
当，即时，的两根为 ，，
当时，则在单调递增，在和上单调递减；
当，仅有一个正根，此时在递增，在递减.
综上得，，的单调减区间为，无增区间；时，的单调增区间为单调递增，单调减区间为和；，的单调增区间为，单调减区间为.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：由题意：S ，
当时，a ，
当时，a

检验时，a ，
故通项公式为：a
已知，
即
又，
，，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
由，
可得
，
设，
对于，这是首项为，公比为的等比数列的前n项和，
根据等比数列求和公式，
可得
对于，这是首项为，公比为的等比数列的前n项和，
根据等比数列求和公式可得，
所以
当n为偶数时，，
因为n为偶数，，，；
当n为奇数时，，
因为n为奇数，，，
综上，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：甲从A盒摸球：初始白球10，黑球30，总40个，
由全概率公式，甲第二次摸到白球的概率为：
，
乙从B盒摸球：初始白球5，黑球20，总25个，
同理，乙第二次摸到白球的概率为：
，
比较大小：
设第k次摸球时盒子里有个白球和个黑球，
则，，，
由全概率公式可得：所以，即每一次摸到白球的概率都相等.
设表示第i次摸到白球的次数或，其期望为。
累计摸到白球次数的期望：

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：由已知得，设，则，所以，
又，得，
故椭圆方程为；
由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在，可设切线的方程为，
联立直线与椭圆E方程消y得，，
由直线与椭圆相切，则，
化简得，，
由，得，代入上式得，
解得，故，令，得，
直线，令得
直线，令得
由，
故R为线段PQ的中点，，得证.
由，得，
又K到直线l的距离为，所以的面积令，，则，
由解得，当时，，在上单调递减：
当时，，在上单调递增：
故当时，函数取最小值.即面积S取最小值时K点的横坐标为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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