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2.3.4 圆与圆的位置关系
第二章 平面解析几何
1. 理解圆与圆的位置关系；
2. 能根据两圆的方程判断两圆的位置关系.
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
外离
外切
相交
内含
内切
讨论：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系
(1)代数法：通过两圆的方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
归纳总结
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 个 个 个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
2
1
0
（2）几何法：若两圆的半径分别为 ， ，两圆的圆心距为 ，则两圆的位置关系的判定方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|d=|r1－r2|
d<|r1－r2|
若圆C1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12，圆C2:(x-x2)+(y-y2)=r22，则两个圆的圆心分别为C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，半径分别为r1，r2.于是圆心距
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2
(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
解：对圆C1、C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2
(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆相离．
(4)当|C1C2|<3即0归纳总结
用几何法判断圆与圆的位置关系的一般步骤：
1.将两圆的方程化为标准方程(若原方程已是标准形式，此步骤不需要)．
2.分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
3.求两圆的圆心距d.
4.比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
5.根据大小关系确定位置关系．
例2 求以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程.
解：设所求圆的半径为r，
则＝|8－r|，
所以r＝3或r＝13，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
例3 判断已知圆与圆的位置关系；
若相交，求出它们交点所在的直线方程
解：两圆的圆心距为
又因为，所以与相交.
解方程组，
可得 或 ，
因此两圆的交点为(2，0)，(，)，
从而可以求得交点所在的直线方程为.
例3 判断已知圆与圆的位置关系；
若相交，求出它们交点所在的直线方程
(方法二)设C1与C2的交点为A，B，
则A，B的坐标都满足方程组，
将方程组的第一式减去第二式，化简得，
即交点所在的直线方程为.
归纳总结
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
两圆的公切线：同时与两个圆相切的直线.
讨论：两个圆的公切线的条数分别有多少条？
外离：4条
外切：3条
相交：2条
内切：1条
内含：0条
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
2.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y-3)2=1内切，则此圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x±4)2+(y-6)2=16
C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36
D
D
3.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A.1条　　　　B.2条　　　　C.3条　　　　D.4条
4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0，则(　　)
A.E=-4，F=8 B.E=4，F=-8
C.E=-4，F=-8 D.E=4，F=8
C
C
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点数 0 1 2 1 0
几何法 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜
|r1－r2|
代数法

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