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2024-2025 学年山东省桓台第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2i.若复数 满足 = 2 i (i 为虚数单位)，则 的模| | =( )
A. 1 B. 55 C. 5 D.
5
3
2.cos40°cos20° sin40°sin160° =( )
A. 12 B.
1
2 C.
3 3
2 D. 2
3.已知向量 = (1, 2), = (1, 1), = (3,4).若 ⊥ ( ∈ )，则 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 113
4.已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 cos + cos = 3 tan ，若 = 10，则
外接圆的面积为( )
A. 16π B. 25π C. 36π D. 49π
5.下列说法中正确的是( )
A.向量 1 = (2, 3), 2 = (
1 3
2 , 4 )能作为平面内所有向量的一组基底
B.若 // , // ，则 //
C.若 = (3, 4) 4 3 4 3，则与 垂直的单位向量坐标为( 5 , 5 )或( 5 , 5 )
D.若 < 0，则 与 的夹角是钝角
6.长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经 900 多年风雨侵蚀，仍巍然屹
立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度 ，选取与塔底 在同一水平面内的两个测量
基点 与 ，现测得∠ = 30 ，∠ = 45 ， = 32m，在 点测得塔顶 的仰角为60 ，则塔的总高度
为( )
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A. 96 32 6 m B. 96 32 3 m C. 92 32 2 m D. 92 32 3 m
7 ∈ π , 3π 6tan π.若 4 4 ， 4 + + 4cos
π
4 = 5cos2 ，则 sin2 =( )
A. 24 B. 12 7 125 25 C. 25 D. 5
8.已知函数 ( ) = sin + cos ∈ ，则正确的是( )
A.对任意正整数 ， ( )为偶函数
B. 3π当 = 1 时， ( )的单调递增区间是 4 + π,
π
4 + π ∈ Z
C.当 = 4 时， ( ) 1的值域是 2 , 1
D. 5π对任意正整数 ， ( )的图象都关于直线 = 4 对称
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数 1, 2，其共轭复数分别为 1, 2，则下列选项正确的是( )
A. 1 + 21 ∈ R B. 1 1 = 1 C. 1· 2 = 1 2 D. 21 = 21
10.在 中，( )
A.若 sin > sin ，则 >
B.若 sin2 = sin2 ，则 为等腰三角形
C.若 sin + cos = 0，则 为钝角三角形
D.若 , 是锐角，sin > cos ，则 为锐角三角形
11 π.如图所示，设 ， 是平面内相交成 ( ≠ 2 )角的两条数轴， 1， 2分别是与 ， 轴正方向同向的单位
向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若 = 1 + 2，则把有序数对( , )叫做向量 的斜坐标，记
为 = ( , ).在 = 5π6的斜坐标系中， = ( 3, 2)， = ( 2, 3)，则下列结论中正确的是( )
A. 2 = ( 3 + 4,2 2 3)
B. | | = 7
C. ⊥
D. 在 方向上的投影向量为( 3 313 , 26 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.设 为复数，若| | = 1，则 + 2i 的最大值为 ．
13.若非零向量 , 满足| | = 2| | = | + 3 |，则 , 夹角的余弦值为 ．
14.在 中， = ， 边上的中线 = 6，则 面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = ，其中向量 = (2cos , 1)， = (cos , 3sin2 )( ∈ )．
(1)求 ( )的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 3 + 所对的边，已知 ( ) = 2， = 1，△ 的面积为 2 ，求sin +sin
的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 4， 、 分别为 、 的中点，且 = 2，
是线段 上的一个动点．
(1)若 = + ，求 的值；
(2)求 的长；
(3)求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0,0 < < π (0, 3 ) ( π , 32 在一个周期内的图象如图所示， 2 与 3 2 )为该图象
π
上两点，且函数 ( )的一个零点为 12．
(1)求 ( )的解析式；
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(2)将 = ( ) π 1的图象向左平移6个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的3，得到 =
( )的图象．令 ( ) = ( ) ( )，求 ( )的最大值，若 ( )取得最大值时 的值为 0，求 tan4 0．
18.(本小题 17 分)
π
如图，在平面四边形 中， = 2 = 4 2，∠ = 2，∠ =
π
6．
(1)若 cos∠ = 53 ，求 的面积；
(2) 若∠ = ∠ ，求 sin(∠ + 3 )的值．
19.(本小题 17 分)
在锐角 3中，设角 , , 的对边分别为 , , ，且 = 4，cos = 5．
(1) 5 3 求 cos 的值；
(2)求 + 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 34/ 0.75
14.24
15. (1) ( ) = 2cos2 + 3sin2 = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin(2 + 解： 由题设， 6 ) + 1，
sin(2 + 所以，当 6 ) = 1 时 ( )的最小值为 1．
(2) ( ) = 2 2sin(2 + 由 ，得： 6 ) + 1 = 2，则 sin(2 +

6 ) =
1
2，又 ∈ (0, )，
2 + ∈ ( , 13 所以 6 6 6 )，故 2 +
= 5 6 6，则 = 3．
1由 = 2 sin =
1 × 1 × × 3 32 2 = 2 ，可得： = 2．
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3，
所以 = 3．
= = = 3 = 2 + = 2sin +2sin 由sin sin sin 3 ，则sin +sin sin +sin = 2．
2
16. (1) , , // = 1解： 由 分别为 的中点，则 ， 2 ，
1 1
由图可得 = = 2 2
= + ，则 = 12 , =
1
2，
1
所以 = 4．
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(2)由(1) 1可知 = 2
1 2 ，
= 1 2
+ ，
由 ⊥ ，则 = 0，
= 1 + 1 1 = 1
2
1
2
2 2 2 4 2 = 2，
1 2
可得 4 = 2，解得 2 = 2．
(3)由图可得 = + + = + + 1 = 1 4 4 +
，
=
1 1
+ = (1 ) + 2 = (1 )
+ 2 + +

= (1 ) 12
+ 1 + 12 4
= 34
+ 1 2 ，
1 3 1 1 3 2 1 2
= 4
+ 4
+ 2 = 4 4
+ 2

3 2= + 216 × 16 +
1
2 × 4 = 16
2 16 + 5 = 16 12 + 1，
由 0 ≤ ≤ 1，则 ∈ [1,5]．
17.解：(1) 3 π观察图象，该图象过点(0, 2 )与( 3 ,
3 ) = π π2 ，则 6为函数 ( )图象的对称轴，而 12为函数 ( )的一
个零点，
π π 2π
因此函数 ( )的周期 = 4( 6 + 12 ) = π， = = 2，
由 ( π π12 ) = 0，得 2 × ( 12 ) + = π, ∈ Z = π +
π
，即 6 , ∈ Z，而 0 < <
π = π2，则 6，
于是 ( ) = sin(2 + π6 )，由 (0) =
3 1 3
2，得2 = 2，解得 = 3，
所以函数 ( ) π的解析式为 ( ) = 3sin(2 + 6 )．
(2)由(1)知， = ( ) π的图象向左平移6个单位长度得 = 3sin[2( +
π
6 ) +
π
6 ] = 3cos2 的图象，
1
将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的3，得到 = cos2 的图象，则 ( ) = cos2 ，
因此 ( ) = ( ) ( ) = 3sin(2 + π 36 )cos2 = 3( 2 sin2 +
1
2 cos2 )cos2
= 3 3 3 24 sin4 + 2 cos 2 =
3 3
4 sin4 +
3
4 cos4 +
3 3 π 3
4 = 2 sin(4 + 6 ) + 4，
π π π π 9
当 4 + 6 = 2 + 2 π, ∈ ，即 0 = 12 + 2 , ∈ Z 时， ( )有最大值4，
此时 tan4 π π0 = tan( 3 + 2 π) = tan 3 = 3．
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18.解：(1) ∵ cos∠ = 53 > 0，∴ sin∠ = 1 cos
2∠ = 23，
tan∠ = sin∠ 2 2 5所以 cos∠ = 5 = 5 ，
在 Rt ABD 中，tan∠ = = 2 2 = 2 2 5 5 = 5 ，
∴ = 10，
∴△ 1的面积 = 2 =
1
2 × 10 × 2 2 = 2 5．
(2) ∵ ∠ = π6，∴ ∠ + ∠ =
5π
6，
∴ ∠ = ∠ = 5π6 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ π6 =
2π
3 ∠ ，
在 Rt ABD 中，cos∠ = ，∴ =
2 2
，
cos(2π3 ∠ )
在 中，由正弦定理有sin∠ = sin∠ ，
2 2
即 = 4 2 ，
cos(2π3 ∠ )sin(
5π
6 ∠ ) sin∠
cos( 2π由积化和差公式有， 3 ∠ )sin(
5π
6 ∠ )
1 3π π
= 2 [sin( 2 2∠ ) sin( 6 )]
1 1
= 2 ( cos2∠ + 2 )
= 12 (2sin
2∠ 12 )，
将此结果代入式中化简可得：4sin2∠ 2sin∠ 1 = 0，
5+1
解得 sin∠ = 4 (舍负)，
∴ sin(∠ + π3 ) = sin(
2π
3 ∠ +
π
3 ) = sin(π ∠ ) = sin∠ =
5+1
4 ．
19.解：(1) 3在锐角 中，cos = 5，则 sin = 1 cos
2 = 45，

由正弦定理得sin = sin = sin =
4
4 = 5，则 = 5sin , = 5sin
5
又 sin = sin π = sin( + ) = sin cos + cos sin = 45 cos +
3
5 sin ，
5 3 = 25sin 15sin = 20cos +15sin 15sin 则 cos cos cos = 20．
2 2 2 2 2
(2)由余弦定理得 cos = + + 16 3 6 62 = 2 = 5，所以
2 + 2 = 5 + 16
2 + 2 = 5 + 16，
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则 + =
2 2
+ + 2 = 2 + 2 + 2 cos cos =
12
5 + 16
3
5 ，

由正弦定理得sin = sin = sin = 5，
所以 + = 5sin + 5sin = 5sin + 5sin( + ) = 5sin + 5 45 cos +
3
5 sin = 8sin + 4cos =
4 5sin( + ) 1，其中 tan = 2，sin =
5
5 ，cos =
2 5
5 ，
π π π
由锐角三角形可知 ∈ 2 , 2 ，则 + ∈ 2 + ,
π
2 + ，
因为 0 < < π2，
π
2 < < 0，则 <
π
2 + <
π
2 + ，
又 sin π2 + = cos( ) = cos cos + sin sin =
2 5 × 3 + 5 4 2 55 5 5 × 5 = 5 ，
sin π2 + = cos =
2 5
5 ，
所以 sin( + ) ∈ 2 55 , 1 ，故 + ∈ 8,4 5 ,
2 + 2 = 6 + 16 = 5由 5 得 16 ( + )
2 5，故 ∈ (15,20],
= 12令 + 16 3 1，则 ∈ 2 13, 8 , = 25 5 4 4,
所以 + = 1 24 + + 4 =
1
4 ( 2)
2 + 5， ∈ 2 13, 8 ,
因为函数 = 14 ( 2)
2 + 5 在 ∈ 2 13, 8 上单调性递减，
所以 = 14 ( 2)
2 + 5 ∈ 4,2 13 9 ，即 + 的取值范围为 4,2 13 9 ．
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