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2024-2025 学年广东省佛山市顺德区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 1 + i = i，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. i D.
2 .已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 6，圆心角为3的扇形，则圆锥的高为
A. 33 B. 34 C. 35 D. 5
3.sin68°sin67° sin23°cos68°的值为( )
A. 22 B.
2 3
2 C. 2 D. 1
4. = 1 + sin52° + 1 sin52°， = 4cos31°cos59°， = tan115° tan55° 3tan115°tan55°，则 ，
， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.平面向量 = ( ,2), = ( 2,4)，若 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6 π 4π.已知函数 = sin( + ) > 0, ∈ 0,2π 的一条对称轴为 = 6，且 ( )在 π, 3 上单调，则 的最
大值为( )
A. 53 B. 2 C.
8 10
3 D. 3
7.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周 东
汉 魏 西晋 北魏 隋 唐 后梁 后唐 9 个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱
的顶端，端放着一座按 1：1 比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶
嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底 在同一平面内的两个测量基点
与 ，现测得∠ = 75.52 , = 66m，在 点测得九龙鼎顶端 的仰角为45 ，在 点测得九龙鼎顶端 的
仰角为26 ，则九龙鼎的高度 = ( )(参考数据：取 tan64 = 2, cos75.52 = 14 )
A. 44m B. 33m C. 40m D. 30m
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8.已知平面向量 , ，且| | = | | = 2, = 2，向量 满足| 2 + 2 | = | |,则| |( ∈ R)的最小
值为( )
A. 2 2 2 B. 2 3 2 C. 2 3 D. 2 3 + 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知复数 = 3 + ( 为虚数单位)， 为 的共辄复数，若复数 0 = ，则下列结论正确的是( )
A. 0在复平面内对应的点位于第四象限 B. 0 = 1
C. 1 D. 30的实部为2 0的虚部为 2
10 + .若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 + 4 sin2 2 = 0，则下列结论正确的
是( )
A.角 一定为锐角 B. 2 + 2 2 2 = 0 C. 3tan + tan = 0 D. tan 3的最小值为 3
11.已知正方形 的边长为 2，将 沿 翻折到 ′的位置，得到四面体 ′ ，在翻折过
程中，点 ′始终位于 所在平面的同一侧，且 ′的最小值为 2，则下列结论正确的是( )
A.四面体 ′ 6的外接球的表面积为 8 B.四面体 ′ 体积的最大值为 3
C. 2 2 2 2 点 的运动轨迹的长度为 3 D.边 旋转所形成的曲面的面积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知| | = 1, | | = 3, = 0|，点 在∠ 内，且∠ = 30°，设 = + ( , ∈ )，

则 等于 ．
13.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 cos + 3 sin = + 2 .则角 = ．
14.如图，在 中， = 1 ， = 1 2 3
， 与 交于点 ， = 2， = 4， = 2，则
的值为 ；过点 的直线 交 ， 于点 ， ，设 = ， = ( > 0, > 0)，则 + 的最
小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知 = (2, 1), = (0,1), = (1, 2)
(1)若 = + ，求实数 、 的值；
(2)若( + )//( + )，求| |的最小值．
16.(本小题 15 分)
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 60cm 的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一
样的正四面体得到．
(1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价 50 元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
( 3 ≈ 1.73)
17.(本小题 15 分)
1
在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，且满足 sin cos + 6 = 4．
(1)求角 的大小；
(2) = 2 = 现给出三个条件：① ；② 4；③ = 3 .试从中选出两个可以确定 的条件，写出你的选择
___________，并以此为依据求 的面积. (注：只需写出一个选定方案即可)
18.(本小题 17 分)
如图， , 分别是矩形 的边 和 上的动点，且 = 2, = 1．
→ →
(1)若 , 都是中点，求 ．
→ →
(2)若 , 都是中点， 是线段 上的任意一点，求 的最大值．
→ →
(3)若∠ = 45°，求 的最小值．
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19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = sin + cos ，称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时
称函数 ( )为向量 的相伴函数．
(1) 8 记向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( )，若当 ( ) = 5且 ∈ 3 , 6 时，求 sin 的值；
(2)已知 ( 2,3)， (2,6)， = ( 3, 1)为 ( ) = sin 6 的相伴特征向量， ( ) = 2 3 ，请
问在 = ( )的图象上是否存在一点 ，使得 ⊥ .若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
(3) 11 记向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( )，若当 ∈ 0, 12 时不等式 ( ) + + 2 > 0 恒成立，求实数
的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.2π3
14.2；
3+ 2 2
5
15.解：(1)由 = (0,1), = (1, 2)，得 + = (0,1) + (1, 2) = ( , 2 )，
而 = + ， = (2, 1)，则( , 2 ) = (2, 1) = 2，即 2 = 1 ,
所以 = 3, = 2．
(2)设 = ( , )，则 + = ( + 2, 1)，而 + = (1, 1)，
由( + )//( + )，得 1 = ( + 2)，即 = 1，
| | = 2 + 2 = 2 + ( 1)2 = 2 2 + 2 + 1 = 2( + 1 )2 + 1 2 12 2 ≥ 2 ，当且仅当 = 2时取等号，
| | 2所以 的最小值为 2 ．
2
16. 1 1 3 2解：(1)因为棱长为 的正四面体的体积 = × 23 2 × sin60° ×
2 3 =
3
12 ，
如图补全正四面体，依题意正四面体 的棱长为正四面体 1的3，
3
所以
1 1 4 23
= 3 = 27，所以截去部分的体积为27 ，剩下部分的体积为 ， 27
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23 23
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为27 : = 27．
(2)因为正四面体 的棱长为 60cm，
1
所以 2 2 = 2 × 60 × sin60° = 900 3 cm ，
则 1 2 2 = = 2 × 20 × sin60° = 100 3 cm ，
所以 2 = 3 = 600 3 cm ，
所以石凳的表面积 = 4 + 2 = 2800 3 ≈ 4844 cm ，
即石凳的表面积约为 0.4844m2，
所以粉刷一个石凳约需要 0.4844 × 50 = 24.22 元.
17.解：(1)sin cos + 1 3 1 16 = 4，sin 2 cos 2 sin = 4，
3 sin cos 1 sin2 = 1 3 sin2 12 2 4， 4 2 ×
1 cos2
2 =
1
4，
3
2 sin2 +
1
2 cos2 = 1, sin 2 +

6 = 1，
0 < < , < 2 + < 13 2 + = 由于 6 6 6 ，所以 6 2 , =

6．
(2) 若选②③，三个已知条件是 = 6 , = 4 , = 3 ，没有一个是具体的边长，无法确定 ．

若选①②，三个已知条件是 = 6 , = 4 , = 2，
2
由正弦定理得sin =6 sin
= 2 2，
4
sin = sin( + ) = 1 × 2 + 3 2 6+ 22 2 2 × 2 = 4 ，
= 1 sin = 1 × 2 × 2 2 × 6+ 2所以 2 2 4 = 3 + 1．

若选①③，三个已知条件是 = 6 , = 3 , = 2，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 4 = 2 + 3 2 2 × 3 × 32 ，解得 = 2, = 2 3，
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= 1 2 sin =
1
2 × 2 × 2 3 ×
1
2 = 3．
18.解：(1) 1 1以点 为原点建系，得 (1,1), (2, 2 ), (2,1)， = (1, )， 2 = (2,1)，
∴ = 32．
(2)由(1)知，设 ( , ), = = (1, 12 ) = ( ,
1
2 ) = ( 1, 1)，
∴ (1 + , 1 1 ), 0 ≤ ≤ 1 1， = ( + 1, + 1), 12 2 = ( + 1, 2 1)，
1 1 5 5 2 1∴ = ( + 1)( + 1) + ( 22 + 1)(2 1) = 4 + = 4 ( )
2
5 + 5
当 = 2 ∈ [0,1]时， 15 最大值5．
(3)设∠ = ，则∠ = 45° ，
∴ = | || |cos45° = 2 1 2 2 2 2cos cos(45° ) 2 = = = =cos ( 2 2 2 2 1+cos2 +sin2 2 cos + 2 sin ) 2 (cos +sin cos ) 2 2
2
2 ≥
2 = 4 2 4，
2 sin(2 +45°)+
1 2
2 2 +
1
2
当且仅当 2 + 45° = 90°时 = 22.5°，等号成立，故 最小值是 4 2 4．
19.(1)解：向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( ) = sin + 3cos ，
所以 ( ) = sin + 3cos = 2 12 sin +
3
2 cos = 2sin +

3
∵ ( ) = 85，
∴ sin + = 43 5．
∵ ∈ 3 ,

6 ，∴ + 3 ∈ 0, 2 ，∴ cos + 3 = 1 sin
2 + = 33 5．
所以 sin = sin + = 1 3 4 3 33 3 2 sin + 3 2 cos + 3 = 10 ．
(2)解：由 = ( 3, 1)为 ( ) = sin 6 =
3 1
2 sin 2 cos 的相伴特征向量知： = 2
( ) = 所以 2 3 = 2sin
2 3 6 = 2sin 2 2 = 2cos 2．
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设 , 2cos 12 ，∵ ( 2,3)， (2,6)，∴
= + 2,2cos 1 3 ， 2 = 2,2cos
1
2 6 ，
又∵ ⊥ 1 1，∴ = 0 ∴ ( + 2)( 2) + 2cos 2 3 2cos 2 6 = 0．
2
2 4 + 4cos2 12 18cos
1
2 + 18 = 0，∴ 2cos
1 9 25 2
2 2 = 4 ( )
∵ 2 ≤ 2cos 1 ≤ 2 ∴ 132 ， 2 ≤ 2cos
1 9 ≤ 52 2 2，
∴ 25
2
4 ≤ 2cos
1 9 169 25 2 25
2 2 ≤ 4 .又∵ 4 ≤ 4，
∴ 1 9
2 25 25
当且仅当 = 0 时， 2cos 2
2
2 和 4 同时等于 4，这时( )式成立．
∴在 = ( )图像上存在点 (0,2)，使得 ⊥ ．
(3)解：向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( ) = sin + 3cos = 2sin + 3
∈ 0, 11 ( ) + + 当 12 时， 2 = 2sin +

3 + 2 cos + 3 > 0，
即 sin + 3 + cos +

3 > 0， cos +

3 > sin + 3 恒成立．

sin +
所以①当 0 ≤ < 6，即3 ≤ +

3 <

2时，cos +

3 > 0，所以 >
3 = tan + ，
cos + 33
即 > tan + 3 ，由于3 ≤ +

3 <

2，所以 tan +

3 的最小值为 tan = 3，所以 > tan +max 3

3 = 3；max
= ②当 6， +

3 =

2，不等式 sin + 3 + cos + 3 > 0 化为 1 > 0 成立．
sin +
③当6 < ≤
11 5
12 ，
3
2 < + 3 ≤ 4时，cos + 3 < 0，所以 < = tan + ，cos + 33
即 < tan + 5 5 3 ，由于2 < + 3 ≤ 4，所以 tan + 3 的最大值为 tan 4 = 1，所以 < tan +min

3 = 1．min
综上所述， 的取值范围是( 3, 1)．
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