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2024-2025 学年广东省佛山市顺德区德胜学校高一下学期期中试卷
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin15° =( )
A. 6+ 2 B. 6+ 2 C. 6 2 D. 6 24 2 4 2
2.下列四个函数中，以π为最小正周期的是( )
A. = sin B. = 2 sin C. = cos 2 D. = tan2
3.已知向量 = (1,2)， = (2, )，若 ⊥ ，则 = ( )．
A. 3 2 B. 5 C. 2 5 D. 4 2
4.要得到函数 = 2sin(2 + π4 )的图象，只需将函数 = 2sin 的图象上所有的点的( )
A. 1横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)
π
，再向左平行移动8个单位长度
B. 1 π横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8个单位长度
C. π横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4个单位长度
D. π横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度
5.已知单位向量 ， 的夹角为 60°，则在下列向量中，与 垂直的是( )
A. + 2 B. 2 + C. 2 D. 2
6.设在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 cos + cos = sin ，则 的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
7.已知 外接圆圆心为 ，半径为 1，2 = + ，且 3 = ，则向量 在向量 上的投
影向量为( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 3 4 4 4 4
8.已知 , 均为锐角，sin = 2sin cos( + )，则 tan 的最大值为( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 23 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为 1 的是( )
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A. cos72°cos12° + sin72°sin12° B. 4sin π π12 cos 12
C. tan10°+tan35° 3 11 tan10°tan35° D. 2 sin15° + 2 cos15°
10.已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π2 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. = π6
B.函数 ( ) π的图象可由 = sin2 的图象向左平移6个单位长度得到
C. = 11π6 是函数 ( )图象的一条对称轴
D.若 1 2 = 2，则 2
π
1 的最小值为2

11.已知 = 2, = 2, 与 π夹角为 ，若 = 2 且 3 =
+ ( ≥ 0, ≥ 0)，则 + 的可
能值为( )
A. 2 B. 32 C.
5
2 D. 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ∠ = 2 .在 中， 3， = 1， = 2，则 的长为 ．
13.如图，在直角梯形 中， // ，∠ = 90°， = 3， = 2， 为 中点，若 = 3，
则 = ．
14.折扇(图 1)是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图 2 中
2π
的扇形 为一把折扇展开后的平面图，其中∠ = 3 ， = = 1，点 在弧 上(包括端点)运动，
其中 ， 分别是 ， 的中点，则 的范围为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1) sin +sin2 化简1+cos +cos2 ；
tan(π ) sin( +3π)
(2)已知 tan = 2，sin + cos < 0，求 2cos(π+ ) sin( π )的值．
16.(本小题 15 分)
已知 的周长为 2 + 1，且 sin + sin = 2sin ．
(1)求边 的长；
(2) 1若 的面积为6 sin ，求角 的度数．
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 3sin cos cos2 12；
(1)写出函数 ( )的单调递增区间；
(2)若 ∈ [ π π4 , 2 ]，求函数 ( )的最值及对应的 的值；
(3)若不等式| ( ) | < 1 在 ∈ [ π , π4 2 ]恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 = (1,2)
(1)若 = 2 5，且 // ，求 的坐标；
(2)若 = 52 ，且 + 2
与 2 垂直，求 与 的夹角 ．
(3)若 = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
某幢大楼前由两条小路 、 围成的一个角状区域，在区域内修建一个正三角形花园 (如图)，已知
∠ = π π π3， = 4 3，设∠ = ( ∈ [ 6 , 2 ])．
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(1)用 表示 + ，并求 + 的最大值；
(2)问 为何值时，花园出口 与 之间的距离最近？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. 7
13. 3
14.[ 3 58 , 8 ]
15.(1) sin +sin2 1+cos +cos2 =
sin +2sin cos sin (1+2cos )
cos +2cos2 = cos (1+2cos ) = tan ．
tan(π ) sin( +3π sin
(2) 2
)
= tan ( cos ) = cos 1cos(π+ ) sin( π ) cos sin sin = cos ，
由 tan = 2，得 sin = 2cos ，而 sin + cos < 0，则 sin < 0, cos < 0，
而sin2 + cos2 = 1 1 1，则cos2 = 5，解得 cos = 5，
所以原式= 5．
16.(1) 解：由正弦定理知sin = sin = sin ，
∵ sin + sin = 2sin ，
∴ + = 2 ，
∵△ 的周长为 2 + 1，
∴ + + = 2 + 1 = 2 + ，
∴ = = 1．
(2)解： 的面积 = 12 sin =
1
6 sin ，
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∴ = 13，
由(1)知， + = 2， = 1，
2 2 2 2 2 2 2×1 1
由余弦定理知 cos = + = ( + ) 2 3 12 2 = 2×1
= 2，
3
∵ ∈ (0, )，
∴ = 3．
17.(1) 3 cos2 +1 1 π依题意， ( ) = 2 sin2 2 2 = sin(2 6 ) 1，
由 π π π π π2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，得 6 + π ≤ ≤ 3 + π, ∈ Z，
所以 ( ) π的单调递增区间为[ 6 + π,
π
3 + π]( ∈ Z)．
(2)由(1)知 ( ) = sin(2 π6 ) 1，当 ∈ [
π
4 ,
π
2 ]时，2
π
6 ∈ [
π , 5π3 6 ]，
则当 2 π π π π6 = 2，即 = 3时， ( )max = ( 3 ) = 0；
2 π = 5π = π ( ) = ( π ) = 1当 6 6，即 2时， min 2 2，
( ) 1 π π所以函数 的最小值为 2，对应 = 2，最大值为 0，对应 = 3．
(3)不等式| ( ) | < 1 1 < ( ) < + 1，
由(2)知，当 ∈ [ π4 ,
π
2 ]时， ( )
1
min = 2， ( )max = 0，
π π
依题意，当 ∈ [ 4 , 2 ]时， 1 < ( ) < + 1 恒成立，
1 < 1 + 1 > 0 1 < < 1因此 2且 ，解得 2，
1
所以 的取值范围为( 1, 2 )．
18.解：设 = ( , )，
∵ = 2 5，且 // ，
2 = 0
∴ = 2 = 2 2 + 2 = 20，解得 = 4或 = 4 ,
∴ = (2,4)或 = ( 2, 4)；
(2) ∵ + 2 与 2 垂直，
∴ ( + 2 ) (2 ) = 0，
2
即 2 2 + 3 2 = 0，
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∴ = 52，
5
∴ cos = =
2 = 1，
| || | 5 52
∴ 与 的夹角为 ；
(3) ∵ 与 + 的夹角为锐角
则 + > 0，且 与 + 不同向共线，
∴ + = 2 + = 5 + (1 + 2) > 0，
解得： > 53，
若存在 ，使 = + ， > 0
∵ + = (1,2) + (1,1) = (1 + , 2 + )
则(1,2) = (1 + , 2 + )，
∴ + = 1 = 12 + = 2，解得： = 0 ,
> 5所以 3且 ≠ 0，
5
实数 的取值范围是 3 , 0 ∪ (0, + ∞)．
19.(1)在 π中，∠ = 3 , = 4 3, ∠ =
2π
3 ，
4 3
由正弦定理得sin = sin∠ = sin∠ ，即sin = = ，sin(2π ) sinπ3 3
则 = 8sin , = 8sin( 2π3 ) = 8sin(
π
3 + )，
因此 + = 8sin + 8( 12 sin +
3
2 cos ) = 12sin + 4 3cos = 8 3sin( +
π
6 )，
由 ∈ [ π , π π π 2π6 2 ]，得 + 6 ∈ [ 3 , 3 ]，当 +
π π π
6 = 2时，即 = 3时，( + )max = 8 3，
所以 + 的最大值为 8 3．
(2)由 π是正三角形，得 = = = 4 3，∠ = 3 + ，
π
由(1)知 = 8sin( 3 + )，在 中，由余弦定理得
π π π π
2 = 2 + 2 2 cos( 3 + ) = 64sin
2( 3 + ) + 48 64 3sin( 3 + )cos( 3 + )
2π 2π 2π 2π
= 32[1 cos( 3 + 2 )] + 48 32 3sin( 3 + 2 ) = 32[ 3sin( 3 + 2 ) + cos( 3 + 2 )] + 80
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5π π
= 64sin( 6 + 2 ) + 80 = 64sin(2 6 ) + 80
由 ∈ [ π , π6 2 ] 2
π π 5π π 1
，得 6 ∈ [ 6 , 6 ], sin(2 6 ) ∈ [ 2 , 1]，
当 sin(2 π6 ) =
1
2，即 =
π
2时，
2取最小值 112，即 取最小值 4 7，
π
所以当 = 2时，花园出口 与 之间的距离最近．
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