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2024-2025北师大版八年级下数学期末综合复习试题（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
2．若a＜b，则下列不等式变形正确的是（　　）
A．﹣4a＞﹣4b B． C． D．a+3＜b+2
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．a：b：c＝5：12：13
C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣2 C．﹣3 D．﹣2或﹣3
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
7．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　）
A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm
8．已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0．那么△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
9．关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣7≤m＜﹣6 B．﹣7≤m≤﹣6 C．﹣7＜m≤﹣6 D．﹣7＜m＜﹣6
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，则下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OE＝AD；④BD＝2．正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题）
11．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 　 　 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　 　 ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝7，把△ABC向右平移至△DEF后，AD＝CG＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
14．若mn＝﹣4，m+n＝5，则代数式m2n+mn2的值为　 　 ．
15．如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　 　 ．
16．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝10，AC＝8，则△CDE的周长为　 　 ．
17．若关于x的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的平方和为 　 　 ．
18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
三．解答题（共10小题）
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别是（﹣1，1），（0，3）．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
（2）把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（3）直接写出△ABC的面积；
（4）在y轴上是否存在点P，使△PAC的面积是△ABC的面积的2倍，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
21．随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大．某公司为了扩大生产，决定购买甲、乙两种不同型号的机器人若干台．已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同，且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各是多少万元？
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD＝BD，求∠E的度数．
24．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
25．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 　 　 ．
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝8，求图3中阴影部分的面积．
26．如图，在 ABCD中，连结对角线BD，点E和点F是 ABCD外两点，且在直线BD上，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，EF＝8，求AF的长．
27．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　 ；
（2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D D B C D A D
二．填空题（共8小题）
11．12．
12．115°．
13．20．
14．﹣20．
15．x．
16．12．
17．36．
18．4或5．
三．解答题（共10小题）
19．解：
＝
＝
＝，
当m＝+2时，原式＝＝2﹣2．
20．解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标（0，4）；
（3）△ABC的面积＝4×4﹣×4×3﹣×1×2﹣×2×4＝5；
（4）存在．设P（0，m）由题意，×|m﹣3|×4＝2×5，
解得m＝8或﹣2，
∴P（0，8）或（0，﹣2）
21．解：设甲型机器人的单价是x万元，则：
．
x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，
∴x﹣2＝8．
答：甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元．
22．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：AB＝AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE．
23．（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，
∴∠E＝∠APE，
∴AE＝AP，
∴△AEP是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠E＝∠CAD＝45°．
24．解：（1）设A种农产品每件的进价是x元，B种农产品每件的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种农产品每件的进价是120元，B种农产品每件的进价是150元；
（2）设购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
根据题意得：120m+150（40﹣m）≤5400，
解得：m≥20．
设购进的A，B两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m），
即w＝﹣10m+2000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品、20件B种农产品时，获利最多．
25．解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：（a+b+c）2，
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）由（1）结论变形知：
a2+b2+c2＝102﹣2（ab+ac+bc）
＝100﹣2×38
＝24．
（3）S阴影＝SABCD﹣S△DGF﹣S△ABD﹣S正方形FECG
＝
＝
＝
＝
＝，
由条件可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×3＝16，
∵a+b＞0，
∴a+b＝4，
∴．
26．（1）证明：∵点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF，
∴DE+DB＝BF+BD，
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：设点D到AF的距离为h，
∵AD⊥BD，AB＝5，AD＝BC＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∵DE+BF+BD＝2BF+4＝FE＝8，
∴BF＝2，
∴DF＝BD+BF＝4+2＝6，
∴AF＝＝＝3．
27．解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝2×＝2．
28．解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴3×4＝5×PH+3×PC，
∴12＝8PH，
∴12＝8（2t﹣8），
解得t＝．
综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．

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