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2024-2025学年浙江省余姚中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“”的否定形式是“”
D. “”是“”的充分不必要条件
3.函数的部分图象是( )
A. B. C. D.
4.有张分别标有数字，，，的红色卡片和张分别标有，，，的蓝色卡片，从这张卡片中，取出张排成一行，如果取出的张卡片所标的数字之和等于，则不同的排法共有种．
A. B. C. D.
5.已知函数且，若对任意实数，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.下列结论不正确的是( )
A. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强
B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过
7.已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，分别为随机事件，的对立事件，已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，是相互独立事件，则
D. 若，是互斥事件，则
10.已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有( )
A. B. 展开式中常数项为
C. 展开式系数的绝对值的和 D. 展开式中含项的系数为
11.已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是( )
A. 图象关于点中心对称
B. 为的周期
C.
D. 方程在上共有个不同的实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，若，则 ．
13.函数的最大值为 ．
14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，集合，其中．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取名学生进行调查，其中上课转笔的有人经调查，得到这名学生近期考试的成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示分组区间为记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格．
成绩 转笔 合计
上课转笔 上课不转笔
合格
优秀
合计
请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联单位：人
现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这人中抽取人，再从这人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值；
若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中上课转笔的人数为，求的均值和方差．
附：参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”已知函数
若，求的“准不动点”：
若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
设函数若使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
若当时，有最小值，证明：．
19.本小题分
甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球次，进一球积分；方式二，投三分球次，进一球积分甲和乙投进两分球的概率分别为和，投进三分球的概率分别为和，且两人投篮互不影响先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式．
试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式；
现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：由得：，解得：，
即，；
当时，，
解得：，即；
；
由知：；
由得：，
即，
由得
，解得：，
即实数的取值范围为．

16.解：由频率分布直方图可知，抽取的名学生中成绩合格的有人，
则成绩优秀的有人
列联表如下表所示单位：人
成绩 转笔 合计
上课转笔 上课不转笔
合格
优秀
合计
零假设为：学生成绩是否优秀与上课是否转笔无关联，
计算得，
依据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，可以认为学生成绩是否优秀与上课是否转笔有关联；
根据频率分布直方图可知，这名学生中成绩优秀的频率为，
成绩合格的频率为，
故从这名学生中抽取的人中，成绩合格的有人，成绩优秀的有人，
则的可能取值为，
，
故的分布列为
．
由题意知，从全市所有在校学生中随机抽取人，其上课转笔的概率为，
故，
所以．

17.解：当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为或；
由得，，
即在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
的取值范围；
由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则
又在上均为增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为．

18.解：由题可知的定义域，，
令，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由可知在上单调递增，
即在时恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
可得当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
又时，，所以
所以，
即实数的取值范围是．
由题可知，
令，，则，
因为，，所以，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，即，即．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，即，
所以．

19.解：设甲选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为；
乙选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为．
可分别求出随机变量，，，的分布列．
，
，
所以．
同理可得
所以，．
因为，，所以甲，乙两人都会优先选择方式一．
记最终结果为甲获胜为事件，乙以一分之差惜败为事件．
由
，
得．
由，
得．
又，
，
所以，
即在最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为．

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