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威远中学校2026届高二下期5月月考
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知等差数列满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．展开式的常数项为（ ）
A．20 B．90 C．40 D．120
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
4．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（ ）
A．120 B．60 C．48 D．36
7．记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A．23 B．22 C．24 D．25
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分）
9．2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ）
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
11．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12．一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为 .
13．已知等比数列的前项和为，且，则 .
14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知函数
(1)求曲线在处的切线的方程；
(2)求函数的极值；
16．（15分）已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求的值.
17．（15分）已知函数（其中e为自然对数的底数）.
(1)求函数的最小值；
(2)若，且在上恒成立，求的最大值；
18．（17分）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
19．（17分）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项.
(1)若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”；
(2)若满足，且为等比数列，的“次生数列”为.
（i）求的值；
（ii）求的前项
威远中学校2026届高二下期5月月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D B C C D B ABC BD ABD
4．B【详解】因为，所以，因为在区间上单调递增，所以，对任意恒成立，所以对任意恒成立，因为，，
所以，即实数的取值范围是.
5．C【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且，
故为奇函数，此时可排除BD,当时，，此时排除A，故选：C
6．C【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种，
再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种. 故选：C
7．D【详解】由于，
而，
故.
8．B【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即，令，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，故当时有，所以，
令，则，因为，
当时，，所以，函数在上单调递减，所以，也即，所以，故，
9．ABC【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列，
则有种排法，故A正确；对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定，则有种排法，故B正确；对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列，
则有种排法，故C正确；对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空，则有种排法；
10．BD【详解】若是等差数列，，所以，则，所以使的最大正整数的值为30.故A错误；若是等比数列，，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，故B正确；若是等比数列，则，故C错误；若，所以，所以，所以，
即，所以，所以是以为首项，为公差的递增等差数列，故D正确；
11．ABD【详解】A选项：因为，可知在上单调递增，
且，则，所以，A正确；
B选项：因为，且，则，即，因为在上单调递增，所以，B正确；C选项：令，则，
可知在上单调递增，因为，所以，即，
又因为，则，可得，所以，C错误；
D选项：由C可知，且，则，令
当单调递增，所以，所以，
所以，所以，D正确．
12．10 【详解】相同数字不相邻的个数有323231，132323，232313，323132，231323，313232，312323，321323，323123，323213共有10个 故答案为：10
13． 21【详解】因为为等比数列，其前项和为，所以为等比数列，故为等比数列，故，故，
14．1【详解】依题意：，即，则，设，则在恒成立，所以函数在上单调递增，则，，令，显然在上单调递增，,设，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，.
15．【详解】（1）因为，所以，
所以所以曲线在处的切线的方程为，即
（2）因为所以当时，当时
所以在、上单调递增，在上单调递减所以的极小值为，极大值为
16【详解】（1），，又，.
（2）原式.
17．【详解】（1）因为，所以.当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以.
（2）（2）令，，
由得出；由得出，
；，，
令，；，
时，，单调递增；时，，单调递减，
则是的极大值点，，的最大值为；
18．【详解】（1）函数的定义域为，
，当时，对任意的，，
由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，此时函数的减区间为，增区间为、；当时，对任意的，，此时函数的增区间为；当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为，增区间为、.综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）当时，，即证，
令，即证，即证，因为，则函数在上单调递增，当时，；当时，，所以函数的值域为，令，其中，则，由可得，由可得，所以函数的减区间为，增区间为，则，故，即，故原不等式得证.
（3），因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，，整理可得，即，要证，即证，即证，令，即证，令，其中，则，所以函数在上为增函数，则，即，即，故原不等式得证.
19．【详解】（1）因为，，中各项均不相等，
所以，若，此时“次生数列”为，
若，此时“次生数列”为，若，此时“次生数列”为，
所以“次生数列”的定义可知有3个，分别为或或.
（2）（i）设数列的公比为，
因为为等比数列，且，所以，即，解得，
所以，则.由“次生数列”的定义，可知，
，故.
（ii）由（i）可知当为偶数时，，
①，②
由①-②得
，所以.
当时，，当为奇数且时，为偶数，
则，
显然当时，也符合上式，
故

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