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2024-2025 学年上海市莘庄中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“ = 2 π + π6 , ∈ Z”是“sin =
1
2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 .下列函数中，既是奇函数，又在 0, 2 上是严格增函数的是( )
A. = cos( + ) B. = sin + 2 C. = cos

2 D. = sin( )
3.设点 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置 0(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向转动角
0 < < π π 32 后到达点 1，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4到达 2.若点 2的横坐标为 5，则点 1
的纵坐标( )
A. 2 B. 2 C. 3 210 5 5 D.
7 2
10
4.函数 ( ) = sin , ∈ ( , )，且( , ) [0, ]，若任意 1, 2, 3 ∈ ( , )， 1 、 2 、 3 都能构成
某个三角形的三条边，则 的最大值为( )
A. 6 B.
2
3 C. 3 D.
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5 π.函数 = tan 2 6 的最小正周期为 ．
6.已知一扇形的圆心角为 2 弧度，半径为 1 ，则此扇形的面积为 2
7.已知角 的终边经过点 (3, 4)，则 sin = ．
8.已知 sin = 3 ∈ (0, π5， 2 )，则 tan(
π
4 )的值为
9.已知 tan = 3 sin cos ，则sin +cos = ．
10.在 中， , , 是 的三边且满足 2 = 2 + 2 + ，则角 的大小为 ．
11.将函数 ( ) = sin2 1的图像向右平移6个单位，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的2倍，
纵坐标不变，得到函数 = ( )的图像，则 ( ) =
12.已知函数 = sin( + ) > 0, > 0, | | < π 图像如图，则函数 = sin( + )的解析式为 ．
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13 1.在平面直角坐标系中，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，若 sin = 3，则 cos2 = ．
14.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 ≤ < π) 3 是 上的奇函数，在区间 2 , 2 上单调递增，则 的最
大值是 ．
15.某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中 是圆心，直径 为 400 米， 是弧 的中点．一个急救
中心 在栈桥 中点上，计划在弧 上设置一个瞭望台 ，并在 间修建浮桥．已知∠ 越大，瞭望台
处的视线范围越大，则 处的视线范围最大时， 的长度为 米．(结果精确到 1 米)
16.已知函数 ( ) = 2025 + cos , ∈ [ π, π](其中 , 为常数，且 > 0)有且仅有 5 个零点，则 的取值
范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 的内角 , , 所对边的长度分别为 , , ．
(1)若 = 5, = 6, cos = 45，求 和 外接圆半径 的值；
(2)若(3 )cos = cos ，求 sin 的值．
18.(本小题 14 分)
已知 ( ) = cos ( > 0).
(1) ( ) 3的周期是 ，求当 ∈ [0,2 ]，方程 ( + 6 ) = 2 的解集；
(2)已知 = 1， ( ) = 2( ) + 3 ( ) ( ) ∈ [0, 2 ， 4 ]，求 ( )的值域．
19.(本小题 14 分)
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2025 年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如
π
图，是文化园的规划图．已知 为直角三角形，其中∠ = 2，道路 = 100 米， = 100 3米，
点 为道路 上一点．
(1) ∠ = π若 4，求 的长；(本题结果精确到 0.1 米， 2 ≈ 1.414， 6 ≈ 2.449)
(2)以 为半径做弧，交 于点 ，现将扇形 设计为种植区．种植区的“综合利用率”与 和

面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为： = cos∠ .则当∠ 为多
少时， 为最大值？并求出 的最大值．
20.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = sin + cos ．
(1)若 > 0 且 ( )的最大值为 2，求函数 = ( )在 0, π 上的单调递增区间；
(2)若 = 0，已知 ( ) = 3 ( ) ( + π2 ) ( ) ( + π)，若关于 的方程 ( ) =
1 π
2在 ∈ 0, 2 时有两
解，求实数 的取值范围；
(3) π 2π π已知 = ( )的一条对称轴方程为 = 6，若对于任意 ∈ [ 3 , 2 ]，在区间 0, 上总存在唯一确定的 ，
π
使得 ( ) + ( 6 ) = 0，求实数 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 2 2 1， ( ) = sin ．
(1)若 ( )为偶函数，求 的值；
(2) π π若对任意 ∈ 3 , 2 ，不等式 cos < sin 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ( )在 0,4π 内恰有 6 个零点，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.π2/0.5π
6.1
7. 45
8. 17
9.12/0.5
10.2π3
11.sin 4 3
12. = 4sin 12 +

3
13.79
14.13
15.173
16.[4,6)
17.(1)因为 cos = 4 π5，则 ∈ 2 , π ，且 sin = 1 cos
2 = 35．

由正弦定理得sin = sin = 2 ( 为
5 6
外接圆的半径)，即sin = 3 = 2 ，
5
即 sin = 12， = 5，
因为 < ，所以 ∈ 0, π2 ，
因此 = π6， = 5；
(2)因为(3 )cos = cos ，
由正弦定理可得 3sin cos sin cos = sin cos ，
所以 3sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin ，
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又 ∈ 0, π ，所以 sin > 0，所以 3cos = 1 1，则 cos = 3，
又 ∈ 0, π ，所以 sin = 1 cos2 = 2 23 ．
18.(1) ( ) 的周期是 ，故 = 2，原方程为 cos(2 + 3 ) =
3
2 ，
2 + 则 3 =± 6 + 2 , ∈ ，解得 =

4 + 或 = 12 + , ∈ ，
{ | = + = 故原方程的解集为 4 或 12+ , ∈ }
(2) ( ) = 2( ) + 3 ( ) ( 2 ) = cos
2 + 3sin cos ，
( ) = 3 1 12 sin2 + 2 cos2 + 2 = sin(2 +

6 ) +
1
2，
∈ [0, 4 ]时，2 +

6 ∈ [
, 2 6 3 ]，
则 sin(2 + 6 ) ∈ [
1
2 , 1]， ( ) ∈ [1,
3
2 ]
19.(1)在 π为直角三角形，∠ = 2， = 100， = 100 3，
所以 tan∠ = π = 3，则∠ = 3，
又∠ = π4，所以∠ = π
π π = 5π4 3 12，
5π π π π π π π 2+ 6
所以 sin∠ = sin 12 = sin 6 + 4 = sin 6 cos 4 + cos 6 sin 4 = 4 ，
100在 中由正弦定理sin∠ = sin∠ ，即 3 = 2+ 6，
2 4
= 200 3所以 2+ 6 = 150 2 50 6 ≈ 89.7(米)．
(2) π设∠ = 0 < < 2 ，则∠ =
2π
3 ，
在 100中由正弦定理sin∠ = sin∠ ，即 3 = sin 2π
，

2 3
= 50 3所以 ，
sin 2π3
所以 1 1 50 3 = 2 sin = 2 × 100 × 2π sin =
2500 3sin
2π ，sin 3 sin 3
2
1 2 π 1 50 3 3750cos = 2 sin 2 = 2 × cos = ，sin 2π sin2 2π3 3
2500 3sin
sin
2π
所以 = cos∠ = 3
2 3 2π
3750cos
cos = 3 sin sin 3
sin2 2π3
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2 3 2π 2π
= 3 sin sin 3 cos cos 3 sin
2 3 3 1
= 3 sin 2 cos + 2 sin
3
= sin cos + 3 sin
2
1 3 1 cos2
= 2 sin2 + 3 2
1 3 3 3 3 1 3
= 2 sin2 6 cos2 + 6 = 3 2 sin2 2 cos2 + 6
= 33 sin 2
π 3
6 + 6 ，
因为 0 < < π π π π 32，所以当 2 6 = 2，即 = 3时 为最大值，且最大值为 2 ，
即当∠ = π 33时， 为最大值，最大值为 2 ．
20.(1)解：由函数 ( ) = sin + cos = 1 + 2sin( + )，其中 tan = ，
因为函数 ( )的最大值为 2，可得 2 + 1 = 2，解得 = 3，
所以 ( ) = sin + 3cos = 2sin + π3 ，
令 2 π π2 ≤ +
π π 5π
3 ≤ 2 π + 2 , ∈ Z，可得 2 π 6 ≤ ≤ 2 π +
π
6 , ∈ Z，
当 = 0 5π π时，可得 6 ≤ ≤ 6，
因为 ∈ [0, π] π，所以函数 ( )在区间[0, π]上的递增区间为[0, 6 ]．
(2)解：当 = 0 时， ( ) = sin ，
则 ( ) = 3 ( ) ( + π2 ) ( ) ( + π) = 3sin sin( +
π
2 ) sin sin( + π)
= 3sin cos sin2 = sin(2 π6 ) +
1
2，
因为 ( ) = 12在 ∈ 0,
π
2 时有两解，所以 = sin(2
π π
6 )在 ∈ [0, 2 ]上有两解，
令 = 2 π π 5π6，可得 ∈ [ 6 , 6 ]，
转化为 = 与 ( ) = sin 在 ∈ [ π6 ,
5π
6 ]上有两个交点，
π 1 π
又由 ( 6 ) = 2 , ( 2 ) = 1, (
5π 1
6 ) = 2，
1 1
结合正弦函数的性质，可得2 ≤ < 1，即实数 的取值范围为[ 2 , 1)．
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(3) π 1 3解：因为 ( 26 ) = 2 + 2 =± + 1，解得 = 3，
π
所以 ( ) = sin + 3cos = sin(2 + 3 )，
因为 + π π π3 ∈ [ 3 , 6 ]，可得 sin(2 +
π ) ∈ 33 2 ,
1
2 ，所以 ( ) ∈ 3, 1 ，
对任意 ∈ [ 2π π3 , 2 ]，总存在唯一确定的 ∈ [0, ]，
( ) + ( π ) = 0 [1, 3] ∈ { | = 2sin( + π使得 6 成立，所以 6 ), ∈ [0, ]}，
且 ( ) = ( π6 )有且仅有唯一解，
π π π π π
令 = + 6，则 ∈ [ 6 , 6 + ]，所以 = 2sin , ∈ [ 6 , 6 + ]，
π ≤ π + ≤ 2π π ≤ ≤ π π π π π所以3 6 3，解得6 2，所以 ∈ [ 6 , 2 ]，即实数 的范围为[ 6 , 2 ]．
21.(1)因为 ( ) = 2sin2 sin 1 是偶函数
所以 ( ) = ( ) 2sin2 + sin 1 = 2sin2 sin 1，
所以 = 0．
(2) π π因为对任意 ∈ 3 , 2 ，不等式 2cos
2 cos 1 < 2sin2 sin 1 恒成立
π π
∴ 2 cos + sin cos sin < cos sin ∵ ∈ 3 , 2
∴ cos sin < 0 ∴ 2 < cos + sin 在 ∈
π , π3 2 恒成立．
∴ π2 < 2sin + 4 ，min
因为 ∈ π , π3 2 ，所以 +
π ∈ 7π 3π4 12 , 4
+ π = 3π π π 2所以当 4 4即 = 2时， sin + 4 = ．min 2

所以2 < 1，即 < 2．
所以实数 的取值范围是：( ∞,2)
(3) ∵ ( ) = 2sin2 sin 1 在 ∈ 0,4π 有 6 个零点
令 = sin , ∈ [ 1,1]，∴ 2 2 1 = 0 在 ∈ [ 1,1]
Δ = 2 + 8 > 0
∵ 1 + 2 =

2 ∴方程必有两个异号实根，不妨设 1 < 0, 2 > 0
11 2 = 2 < 0
①当 2 > 1 时， 1 =
1 1
2 ∈ , 02 2
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因为 2 = sin 无解， 1 = sin 有 4 个解．
所以 ( )有 4 个零点(不合题意，舍去)
= 1 = 1 = 1②当 2 时， 1 2 2，2
因为 2 = sin 有 2 个解， 1 = sin 有 4 个解．
所以 ( )有 6 个零点(满足题意)
③当 0 < 1 12 < 1 时， 1 = 2 ∈ ∞, 2 2
因为 2 = sin 有 4 个解，所以 1 = sin 应恰有 2 个解．
所以 1 = 1
1
，此时 2 = 2．
∴ = 2 1 + 2 = 1
综上： =± 1．
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