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（小专题冲刺训练）一次函数压轴题-2025年中考数学专题突破
1．某车企在新能源汽车的制造过程中，需要用到某种规格的动力电池零部件，现有两种供应这种零部件的方案．
方案一：从新能源汽车配件生产公司直接定制购买，每个动力电池零部件的单价为10万元；
方案二：由车企引进一套汽车配件机器人自动化生产线进行加工制作，车企需要一次性投入生产线建设费用16000万元，且每加工一个动力电池零部件还需支付成本费2万元；
设该车企需要使用到这种规格的动力电池零部件的数量为x个，选择方案一需要花费的总费用为万元，选择方案二需要花费的总费用为万元．
(1)请分别写出和关于x的函数解析式；
(2)如果你是该车企决策者，为了让车企所花费的总费用最低，你认为应该选择哪种方案？请说明理由．
2．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
(1)求停放点之间的距离；
(2)求甲追上乙的时间；
(3)若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
3．小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务．
素材一：如图（1），曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
素材二：如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点G在上，点F在曲线上，且．
任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式．
任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由．
4．血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
(1)求关于的函数关系式；
(2)已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练
无氧耐力训练
5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴负半轴于点，交轴于点，，点在轴正半轴上，．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，点在的延长线上，点的横坐标为，过点作轴的平行线交线段于点，设的长为，求与之间的函数关系式，不必写出自变量的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，点在的延长线上，点在轴正半轴，连接，连接交于点，，分别过点作的垂线，点为垂足，，点在上，的延长线交的延长线于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若的面积与四边形的面积相等，求的正切值．
6．在平面直角坐标系中，已知和外一点，给出如下定义：在上存在一点，将点绕点旋转后得到点，点恰好落在上，我们把点称为关于点的“中对点”，也可简单的把点称为的“中对点”．

(1)如图1，在平面直角坐标系中，的半径是，与轴交于点、（点在点的左侧）．
①若点在轴上，且点是关于点的“中对点”，则点的坐标是_________；
②如图2，点是第四象限内一点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，过点画直径，连接交于点，点是关于点的“中对点”吗？说明理由；
(2)已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为圆心，1长为半径作⊙，若线段上所有的点都是的“中对点”，直接写出的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，过点作轴的平行线，点是第一象限直线上的一点，连接，取的中点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，，连接，点是线段上一点，连接，，过点作轴交的延长线于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，线段的延长线交线段于点，连接，当时，求直线的解析式．
8．在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为．
(1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度．
(2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？
9．如图1，直线与x，y轴分别交于A，B两点．
(1)求的长；
(2)如图2，点C的坐标．点F为线段上一点（A、B点除外），连接交于点G．当时．求点F坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，分别以线段，的长度为长和宽，在x轴的上方作矩形．过A、G两点的抛物线的顶点M在矩形的边上．请直接写出a的值．
10．如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）．
(1)请说明：入射光线必过点；
(2)求入射光线照射到镜面上时，的取值范围；
(3)一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光．
《（小专题冲刺训练）一次函数压轴题-2025年中考数学专题突破》参考答案
1．(1)；；
(2)当零部件需求量小于2000个时，选择方案一；当零部件需求量大于2000个时，选择方案二；当零部件需求量等于2000个时，两种方案任选，理由见解析．
【分析】本题是关于列函数关系式解应用题的题目，关键是找出题目中的等量关系；
（1）根据题意列出函数关系式即可，；；
（2）分为三种情况：①当时，即；②当时，即；③当时，即，求出即可．
【详解】（1）解：；；
（2）（2）当时，即，解得，
当时，即，解得，
当时，即，解得，
当零部件需求量小于2000个时，选择方案一；
当零部件需求量大于2000个时，选择方案二；
当零部件需求量等于2000个时，两种方案任选．
2．(1)停放点之间的距离1500米；
(2)甲追上乙的时间为10分钟；
(3)会比原来早到2分钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
（1）根据题意列式求解即可；
（2）解法一：首先求出甲的速度，然后求出时的路程差，然后列式求解即可；
解法二：首先求出和的表达式，然后联立求解即可；
（3）首先求出乙的速度，然后求出修改后的时间，进而求解即可．
【详解】（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
3．任务1：；任务2：找来的木棍不符合要求，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
任务1：根据题意，设曲线所在抛物线的函数表达式为，先求得，，进而得到该抛物线的对称轴为直线，则，再将代入求得，进而可求解；
任务2：设点坐标为，点坐标为，且．先求得直线的解析式为，根据题意，可得，整理得，利用判别式可得该方程无实数解，进而可得结论．
【详解】解：任务1：因为曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，所以设曲线所在抛物线的函数表达式为．
已知，，，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，．
∴该抛物线的对称轴为直线，则，
把代入得：，
解得，
∴曲线所在抛物线的函数表达式为；
任务2：找来的木棒不符合要求．理由：
设点坐标为，点坐标为，
因为，所以．
设直线的解析式为，
将，代入可得
，解得，
所以直线的解析式为．
由于点在抛物线上，点在直线上，且，则，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，
所以不存在的值使得，
即小华的爸爸找来的木棍不符合要求．
4．(1)
(2)小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）将代入，求得，然后根据无氧耐力训练的血乳酸浓度占最大浓度的百分比计算即可．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入中，
得 ，解得，
关于的函数关系式为．
（2）解：当时，．
28岁的小刘最大血乳酸浓度为是．
，
，
小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由点在轴负半轴，，得，代入求得，进而可得，在中，由，求得，即可求解；
（2）延长交轴于点，由轴，得，进而得，得， ，得，进而可得，，即可求得；
（3）由，求得，可得，，进而可求，，，证明，得，作，点为垂足，求得，设，证明，进而求得（负值舍去），，设与交于点，由的面积与四边形的面积相等，推出 ，证明，进而可证明，四边形是矩形，求得，， ，求得，，，，根据三角形函数的定义可求得．
【详解】（1）解：∵点在轴负半轴，，
∴，
当时，，
，
，
，
在中，，
，
∵点在轴正半轴上，
∴点坐标为；
（2）解：如图，延长交轴于点，
点的横坐标为，轴，
，
∴，
∵点在轴负半轴上，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵点在直线上，
当时，，
，
点E在第二象限，
∴，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：，
，
，
，
，，
，，，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
如图，作，点为垂足，
，
，
，
设，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
，即，，
①，
，，
，
∴，
，
即②
，联立①②求得（负值舍去），，
垂直平分，
，
，
，
，
， ，
设与交于点，由的面积与四边形的面积相等，
得，
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，，
∴
，
，，
，
即，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
中，，
，
即的正切值为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的综合，涉及三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，正确作出辅助线是解题的关键．
6．(1)①；②是，见解析
(2)或
【分析】（1）①根据新定义可得：，且在的右侧，从而可得答案；②如图，连接，证明，即，结合，可得，结合新定义可得结论；
（2）如图，，的半径为，当过圆心时，，可得的“中对点”在以为圆心，半径为与半径为的圆环内，包括外圆边界，不包括内圆边界，求解，，再分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①如图，

∵，，
∴，
∵点在轴上，且点是关于点的“中对点”，
∴，且在的右侧，
∴．
②点是关于点的“中对点”，理由如下：
如图，连接，

∵为直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点是关于点的“中对点”．
（2）解：如图，，的半径为，

当过圆心时，，
∴的“中对点”在以为圆心，半径为与半径为的圆环内，包括外圆边界，不包括内圆边界，
∵一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，
∴当时，，当时，则，
∴，，
如图，当时，

∴，
如图，当过时，

∴此时，
∴此时线段上所有的点都是的“中对点”时，的取值范围为．
如图，当与直线切于时，则，，

∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图，当过时，

同理可得：此时，
∴此时线段上所有的点都是的“中对点”时，的取值范围为．
综上：的取值范围为或．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，圆的基本性质，切线的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标，锐角三角函数的应用，本题难度较大，理解新定义的含义是解本题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直线过点，可得，再进一步求解即可；
（2）先表示，过作轴于，延长交于，证明，而点的横坐标为，，可得，，证明四边形为矩形，可得，进一步可得结论；
（3）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，，证明，进一步证明，可得，连接，证明，四边形为矩形，可得，，连接，而轴，证明，设，，求解，过作轴于，过作轴于，交的延长线于点，证明，设，则，求解，可得，证明四边形为矩形，可得，而为的中点，则，求解，进一步求解，，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴的纵坐标等于的纵坐标；
∵，
∴，
过作轴于，延长交于，
∴，
∵的中点为，
∴，而，
∴，而点的横坐标为，，
∴，
∵线段的长为，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：取的中点，连接，，
∵，，
∴，，
∵，轴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
连接，而轴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作轴于，过作轴于，交的延长线于点，
在中，，
在中，，
∴设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，而为的中点，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线为：，
∴，
解得：，
∴直线为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．(1)
(2)
发球器出口的高度应向上调整
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用．
（1）令，求出x的值，然后把代入，求出n的值，再令，得即可解答；
（2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，即，把代入，解方程求出得值即可.
【详解】（1）解：令，
解得．
把代入，得，
解得．
∴．
令，得．
∴“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为；
（2）解：由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为．
∴．
设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
∴要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应向上调整．
9．(1)5
(2)
(3)或或
【分析】（1）分别求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可；
（2）在上取点M，使，连接，过M作于N，证明，求出，，则，根据待定系数法求出直线解析式为，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）分当顶点M在上时；顶点M在上；当顶点M在上时；顶点M在上时，四种情况讨论，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在上取点M，使，连接，过M作于N，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴；
（3）解：根据题意得，
对于，当时，，
∴，
当顶点M在上时，M和A重合，则，
设抛物线解析式为，
把代入，得，
∴；
当顶点M在上时，M和A重合，则，
同理求出，
当顶点M在上时，设，
则可设抛物线解析式为，，
把，代入，得，
解得，经检验，符合题意，
∴；
当顶点M在上时，设，，
则可设抛物线解析式为，
把，代入，得，
化简，得
∴
∴，
解得，（舍去）
∴，
解得，
综上，a的值为或或．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
(3)入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光，见解析，将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光
【分析】本题主要涉及一次函数的性质、直线与线段的位置关系以及光的反射原理．
（1）通过对一次函数表达式的变形可证明直线过定点；
（2）求出直线经过线段两个端点时k的值，从而确定k的取值范围；
（3）要根据光的反射规律，找出反射光线与感光带的关系，进而求解k的取值
范围或平移距离．
【详解】（1）解：当时，；
∴入射光线必过点
（2）解：将代入得：；
将代入得：；
∴的取值范围是．
（3）解：入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光．
理由：入射光线照射到镜面上点时，根据入射角和反射角的关系可知反射后的光线与轴的交点为，即，而的坐标为，所以不能使感光带发光．
将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光．
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