资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
（小专题冲刺训练）二次函数压轴题-2025年中考数学专题突破
1．小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
(3)为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
2．我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”．
(1)点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______；
(2)已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围．
(3)已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为．
①当时，求n的取值范围；
②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值
3．已知二次函数 的图象经过点．
(1)试确定b，c之间的关系；
(2)我们规定：若是一元二次方程 的两个根，则．已知该二次函数的图象与x轴交于点，且点 M 与点 N 之间的距离，求b的值；
(3)若点在该二次函数的图象上，求h的最小值．
4．如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
5．如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)连接AP，交线段BC于点D．
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
(2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
6．如图，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点．
(1)______；
(2)是该二次函数的图像上一点，若，求点的横坐标．
(3)若将该抛物线在间的部分记为图像，并将图像在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图像，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
7．如图，二次函数的图象经过点，和，一次函数过点B，C．点P是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E．
(1)直接写出二次函数和一次函数的解析式；
(2)当是以为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接，连接交于点M，记面积为，面积为，在点P运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，经过点的抛物线与轴交于点．
(1)写出，之间满足的数量关系；
(2)条件Ⅰ：点在抛物线上，且轴；
条件Ⅱ：关于的方程有两个实数根，，且．
请从条件Ⅰ、Ⅱ中任选一个，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的基础上，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．
①定义：对于点，，若点的坐标为，则点为线段的特殊点．已知点，是抛物线上的两个动点，连接，为线段的特殊点．当点在轴的下方时，求点纵坐标的取值范围；
②已知直线与抛物线交于，两点（线段在线段的下方），连接，，直线与直线交于点．如图，当时，点的横坐标是定值，请你直接写出该定值．
9．琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线，内边缘为线段，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（）时，C点到对称轴的距离为（），A点与O点水平距离（），A到对称轴的距离为（）．
(1)如图3，以O为原点，以直线为x轴，建立平面直角坐标系．
①求出对称轴上方抛物线的解析式；
②点E在抛物线上，且点E到对称轴的距离最大，求点E的坐标；
(2)如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称．琪琪说：总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由；
(3)琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值．
10．如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变．
①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系；
②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想；
(3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形．
《（小专题冲刺训练）二次函数压轴题-2025年中考数学专题突破》参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，再代入，求出，即可作答．
（2）理解题意，得，解得，．结合他站在水柱下方而没有被淋湿，故，即可作答．
（3）理解题意，得，然后解得：，．因为，所以设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答．
【详解】（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，
令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，
得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
2．(1)；
(2)
(3)①②或
【分析】（1）根据“L点”和“X抛物线”的定义即可求解；
（2）将点代入先求出原抛物线，再根据“X抛物线”的定义求出其“X抛物线”，将点与点分别代入其“X抛物线”根据建立不等式即可求p的取值范围；
（3）①根据点A的“L点”为点．求得，进而可得，，根据“X抛物线”的定义得的方程为，的顶点为，，，即进而可得，根据二次函数的性质可得当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，即可得出的取值范围；
②根据题意令，解方程，即可求与轴交点长度为，令，同法可求与轴交点长度为2，根据线段即，GK，RT构成直角三角形时，可能的组合为或，分别解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，；
（2）解：将点代入，
得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
；
（3）解：①点A的“L点”为点．
，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及新定义“L点”和“X抛物线”、二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式及特殊三角形的存在性问题，综合性强，难度较大，正确理解题意，准确计算是解题的关键．
3．(1)
(2)或9
(3)h的最小值为
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）直接将点代入二次函数 ，然后整理即可解答；
（2）由(1)得：，则，由二次函数和一元二次方程的关系可得m，n 是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得，再根据两点间距离和完全平方公式可得解得： ，然后代入检验即可解答；
（3）将点代入抛物线解析式可得，再将代入可得，最后配方并根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵已知二次函数 的图象经过点，
，
．
（2）解：由（1）得：，
∵二次函数 的图象与x 轴交于点，
∴m，n 是一元二次方程的两个根，
∴，
，
，
，
，
整理得 解得：
当时，，满足题意；
当时，满足题意；
∴或9．
（3）解：∵点在该二次函数的图象上，
由（1）得，
∴
，
∵，
∴当时，h有最小值，最小值为
4．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；
（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点，
∴解得：
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴拋物线顶点的坐标为．
（2）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：设直线的表达式为，
∵点，
解得：
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，，
∴时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
∴当时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
5．(1)①；②
(2)存在，
【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
②过点P作交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线的解析式；根据点P的横坐标为m，可得点P与Q的坐标，进而表示出，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最大值；
（2）假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F，则由角的关系可得；延长CP交x轴于点M，易得为等腰三角形，求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：①对于，令，则，
∴；
令，解得，
∴，
则；
轴，，
，解得或1，
，
，
轴，
．
②如图，过点P作交BC于点Q，
设直线BC的解析式为：．
把点B的坐标代入得：，解得，
直线BC的解析式为：．
设点P的横坐标为m，
则．
，
，
，
当时，的最大值为．
（2）解：存在满足题意的点P，且；
假设存在点P使得，即．
过点C作轴交抛物线于点F，
，
，
延长CP交x轴于点M，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，
；
设直线CM的解析式为：，
把点M的坐标代入得：，解得，
直线CM的解析式为：，
令，
解得或（舍），
∴存在点P满足题意，此时．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将代入解析式，即可求解；
（2）由待定系数法得直线的解析为，①当在轴是上方时，
过作轴交于，交于，交轴于，设，，同理可求直线的解析式为， 由即可求解；②当在轴是下方时， 交轴于，交轴于，同理可求直线的解析式为，由，即可求解．
（3）、为关于直线对称，可求，①当在的上方时，，可求，此时，，即可求解；②当在的下方时，，解得，此时，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
解得：，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
当时，，
当时，
，
解得：，，
，，
设直线的解析为，则有
，
解得：，
直线的解析为，
①当在轴是上方时，
如图，过作轴交于，交于，交轴于，
设，
，
，
同理可求直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
整理得：，（舍去），
点的横坐标；
②当在轴是下方时，
如图， 交轴于，交轴于，
同理可求直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，（舍去），
点的横坐标；
综上所述：点的横坐标或．
（3）解：、为关于直线对称，
，
，
，
解得：，
①当在的上方时，
，
解得：，
，
，
当时，
，
，，
，
，
解得：，
；
②当在的下方时，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
解得：，
；
综上所述：的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题，待定系数法，能熟练利用割补法求面积，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
7．(1)，
(2)
(3)存在，最大值为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可；
（3）证明，得出，求出，过点作于点，则，设，则，求出，，最后由二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过点，，
所以，
再将代入，得，
解得：，
所以二次函数解析式为，即．
一次函数过点和，
代入，得，解得，
因此一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
因为是以为底边的等腰三角形，
所以，轴，
所以的纵坐标为2，
所以，
即有，
解得：（舍去）或，
因此．
（3）解：解：存在．
在和中，因为，
所以，
于是，
从而，即，
过点作于点，
于是，
可设，则，
于是，
而，
又因为，，
所以，
因此，
又
所以，
因为，
所以存在最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
8．(1)；
(2)；
(3)①；②点的横坐标为定值
【分析】（1）把代入即可；
（2）选Ⅰ利用对称轴的表达式运算求解；选Ⅱ利用韦达定理列式运算即可；
（3）①先平移二次函数的图象得到，即可表达出和的坐标，根据特殊点的运算方式表达出即可得到的表达式，分析求解即可；
②求出直线的解析式，得到直线的值，设点的坐标为，点的坐标为，求出直线和直线的解析式，联立这条直接解答即可．
【详解】（1）解：将点代入中，得到；
（2）解：选条件Ⅰ：
∵轴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，解得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
选条件Ⅱ：
由题意可得，
解得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）①抛物线的解析式为，
由题意可得抛物线的解析式为，
∴，，
∴点的纵坐标，
当时，解得，，
∵点在轴的下方，
∴，
∵，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，，
∴；
②点的横坐标是3．
由①可得，．
当时，，
∴，可得直线的解析式为，
设点的坐标为，点的坐标为
∵∥，设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标可以表示为，
设直线的解析式为，将，代入，解得，，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵直线与交于点，
∴，
整理得，
∵线段在线段的下方，
∴，
∴，即点的横坐标为定值3．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式等知识点，熟悉掌握函数的图象性质是解题的关键．
9．(1)①，②
(2)琪琪的说法对，理由见解析
(3)
【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键，
（1）①用待定系数法求二次函数表达式即可；②求出二次函数顶点坐标即可；
（2）先求出直线表达式为，进而利用二次函数性质求出在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度即可解决问题；
（3）根据图象得出当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，求出此时直线表达式及点坐标，进而求出正方形对角线长度，再利用三角函数求出正方形边长；
【详解】（1）解：①抛物线过点，
设抛物线的解析式为，
由题意得：，
抛物线过点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
②，
点坐标为；
（2）解：琪琪的说法对，理由如下：
设直线表达式为，
直线过点，
，
解得，
直线表达式为，
，
在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是，
安装4条竖直的铁丝总长度小于，总长的铁丝一定够用，
所以琪琪的说法正确；
（3）解：如下图所示，这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中时，所需正方形边长最小，
四边形为正方形，
，
，
设，
则，
设直线表达式为，
把代入，，
解得：，
直线表达式为，
由图可知当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，
有两个相等的实数根，
化简方程，得：，
，即，
解得：，
直线表达式为，
当时，，即，
由（1）知，抛物线的顶点坐标，
抛物线的对称轴为直线，
由对称性可知正方形的顶点，
则，
此时所需正方形边长，
这个正方形托盘边长的最小值是．
10．(1)
(2)①，；②见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据旋转的性质可得，得出，进而根据四边形内角和得出，即可证明；
②根据旋转的性质可得，得出，进而根据四边形内角和得出，即可证明
（3）依题意重合，，轴，进而求得，根据勾股定理求得，即可得证．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：①猜想，，
②证明：如图1，延长交于点，
∵，
∴
∵，点关于对称轴的对称点为
∴，
∴的中点为，在轴上，即，同理可得，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，
又∵,分别为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即；
（3）∵，
∴当点恰好落在上时，此时重合，
，
即，轴
∵，当时，，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑