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（小专题冲刺训练）反比例函数压轴题-2025年中考数学专题突破
1．如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点．
(1)求b，的值．
(2)过点C作y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积
2．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
(1)求的值及曲线的函数表达式．
(2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当时，直接写出的自变量x的取值范围；
(3)如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为，求t的值．
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．若C为反比例函数第一象限图象上一点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直线与反比例函数图象另一交点为D，若四边形为矩形，求点C的坐标．
(3)如图2，射线交x轴于D，连接交x轴于F，当时，求的值．
5．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴、轴相交于点、．
(1)①求反比例函数和一次函数的表达式；
②直接写出关于的不等式的取值范围．
(2)如图2，点为一次函数的图象上一点，过点作反比例函数，连接，若面积为，当时，求的取值范围．
6．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值．
x 0 1 2
y a 1 2 b
(1)填空：________，________；
(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)结合图象，写出函数的一条性质：______________；
(4)若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接）
7．【问题背景】已知点在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在轴上方，与轴的夹角为．
【构建联系】
（1）如图1，当点在轴上时，直接写出的度数 　　 ，点坐标 　　 ；
【深入探究】
（2）如图2，当时，与轴相交于点，若，求经过点的双曲线解析式；
（3）如图3，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标．
【探索规律】
（4）若，，则坐标为 　　 ．
8．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点旋转180°后得到的点，称是关于点的“对称关联点”，且满足，．
对于函数，其图象上所有点关于点的“对称关联点”所构成的新函数，函数成为原函数关于点的“对称关联函数”．
例如：和是关于点的“对称关联点”，函数和是关于点的对称关联函数．
(1)已知点，当时，点关于点的“对称关联点”的坐标为__________．
(2)若点关于点的“对称关联点”在反比例函数的图象上，求出的值．
(3)当时，二次函数的图象顶点为A，关于点的“对称关联函数”的图象顶点为．
①若，求的值；
②已知点关于点的“对称关联点”为点，当和组成的图象与线段有一个公共点时，请直接写出的取值范围．
9．在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
(1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标：
(2)如图2，当，连接时，，求的值；
(3)当时，若，求的值．
10．立竿见影．
如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索．
(1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”）
(2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置．
①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？
②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理．
(3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？
①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹；
②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）．
（参考数据：，．）
《（小专题冲刺训练）反比例函数压轴题-2025年中考数学专题突破》参考答案
1．(1)．
(2)2
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键．
（1）把点A代入正比例函数、反比例函数关系式可求出b，的值；
（2）先求出点坐标为，把代入， 求出反比例函数．继而求出D点坐标为，再求出，点到的距离，即可解答．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得．
把代入，
得，
∴，
把代入，得，
解得．
（2）∵是的中点，，，
∴点坐标为，即．
把代入，得，
解得，
∴反比例函数．
∵轴，，
把代入，得，
∴．
∴，
点到的距离为，
∴．
2．(1)，
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）把代入函数解析式，求出的值，进而求出点坐标，待定系数法求出曲线的函数表达式即可；
（2）求出时的自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴；
（2）能，理由如下：
当时，对于，解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题；
3．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）直接根据图象，进行求解即可；
（3）先求出点坐标，平移，求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即为的值．
【详解】（1）解：将点代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为．
将点代入，得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）由图象可知，当时，直接写出的自变量x的取值范围为：．
（3）将代入，得，
∴点C的坐标为．
∵，
∴设直线的表达式为．
将代入，得，解得，
∴点D的坐标为．
又∵，
∴，
∴．
4．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先由正比例函数求出A点坐标，再代入反比例函数求出k值即可；
（2）由矩形的性质可得，进而利用两点距离公式求解即可；
（3）先证，可得，再求出点D坐标，进而求出直线解析式，可得C坐标，再求出解析式可得F坐标，进而得解．
【详解】（1）解：将代入,得，
∴，
再将A代入中得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或（负值舍去），
当时，与A点重合（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，即，
设直线解析式为，
∴，
解得，
由A和D坐标可得直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴，
同理可得直线解析式为，
令，解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合、涉及反比例函数解析式、一次函数解析式、函数交点问题、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．(1)①；②或
(2)
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，数形结合是关键．
（1）①利用待定系数法解答即可；②根据图象的位置关系得到答案；
（2）求出，进一步解不等式即可求出答案．
【详解】（1）①点，点在反比例函数上，
，
反比例函数的关系式为：
将点代入
得，解得，
一次函数的关系式为：；
②由图象可知，当或时， 一次函数的图象在反比例函数的上方，
∴关于的不等式的取值范围是或，
（2）设点坐标为由题意知
当时，；
当时，；
因此，
6．(1)，1
(2)见解析
(3)当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小
(4)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出的值，再求出和的函数值即可；
（2）描点，连线，画出函数图象即可；
（3）根据图象，进行作答即可；
（4）图象法进行判断即可．
【详解】（1）∵，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，；
（2）根据表格，描点，连线，画出的图象如图．
（3）由图象可知：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；
（4）由图象可知，当，；
7．（1），；（2）y；（3）；（4）
【分析】（1）过点作轴于点，利用正方形性质可得：，为等腰直角三角形，，，，设，则，，根据，建立方程求解得出，则，即可求得点的坐标；
（2）过点作轴于点，过作交的延长线于点，交轴于点，根据，可得，设点，代入反比例函数解析式求得的值，再证得，可得，，进而求得点的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（3）过点作轴于点，过点作轴于，交于，由，可得，，再证得，得出，，得出，代入反比例函数解析式求解即可求得答案；
（4）过点作轴于点，过作轴于点，交于，由，可得，设，则，可得，代入反比例函数解析式求解可得点的坐标，同理可得：，四边形是矩形，即可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，过点作轴于点，
四边形为正方形，
，为等腰直角三角形，，，
，
，
设，则，，
，
解得：（舍去），，
，
，点坐标为；
故答案为：；；
（2）如图2，过点作轴于点，过作交的延长线于点，交轴于点，
，
，
，即，
设点，则，
解得：，（舍去），
，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
点坐标为，
设经过点的双曲线解析式为，把点的坐标代入得：，
解得：，
经过点的双曲线解析式为；
（3）如图3，过点作轴于点，过点作轴于，交于，
则，
，，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
设，则，，
，代入，得：，
解得：，（舍去），
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
点的坐标为；
（4）如图2，过点作轴于点，过作轴于点，交于，
则，
，
，即，
设，则，
，代入，得：，
解得：，（舍去），
，
，，
同理可得：，四边形是矩形，
，，
或，
，
当时，点在第二象限，；
当时，点在第一象限，；
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
8．(1)
(2)；
(3)①或；②的取值范围是或．
【分析】（1）根据“对称关联点”的定义求解即可；
（2）根据“对称关联点”的定义得，再利用待定系数法求解即可；
（3）①根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，再利用两点之间的距离公式求解即可；
②求得是关于点的“对称关联函数”，，分四种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
根据“对称关联点”的定义，，
这里，，，
∴，，
∴点关于点的“对称关联点”的坐标为；
故答案为：；
（2）解：∵，，
根据“对称关联点”的定义得，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
（3）解：①当时，点，
对于二次函数，
其顶点坐标为，
根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，即，
∵，
∴，
整理得，
∴，
解得或；
②点关于点的“对称关联点”为点，，
是关于点的“对称关联函数”，，
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与性质，正确理解“对称关联点”和“对称关联函数”是解题的关键．
9．(1)反比例函数解析式为，
(2)或
(3)的值为或
【分析】（1）根据题意得到，根据中点坐标的计算得到，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得，可求出直线的解析式为，，根据三角形面积的计算即可求解；
（3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可 ．
【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
解得，，
∴，
把点代入反比例函数解析式得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，，
解得，，
∴；
（2）解：当时，同理，，，
∵点是的中点，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
∴，，
解得，，，
∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴
，
整理得，，
∴，
解得，或，
∴或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，，
∴，则，
∴，则点，，
∴，
把点代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴，
当时，，即设一次函数与轴交点，
∴，
同理，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
当时，，
∴，，如图所示，
当时，，
∴，，如图所示，
∴若，的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点坐标的计算，图形面积的计算方法，相似三角形的性质，解直角三角形的计算等知识是关键．
10．(1)秋冬
(2)①；②见解析
(3)①见解析；②
【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案；
（2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答；
（3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解．
影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解．
【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向，
结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节．
故答案为：秋冬．
（2）解：①月日在春分日和夏至日之间，
结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的；
②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点，
道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向．
（3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求：
②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为，
∴，
∴；
设于点，设，则
如图，
∵斜坡坡角为，即，
∴，
∴
∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向
∴，
∴
∴
∴
解得：
答：到地平面的距离为．
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