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江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷
一、单选题
1．据报道一块废旧手机电池可以使800吨水受到污染，某校三年来发动全体同学共回收废旧手机电池2500块．若这2500块废旧电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示m=（　　）
A．2×105 B．2×106 C．20×104 D．20×105
2．最接近－π的整数是（　　）
A．3 B．4 C．－3 D．－4
3．要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
4．下列说法正确的是（　　）
A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根
C．－2是－4的平方根 D．是的平方根
5．一组不完全相同的数据a1，a2，a3，…，an的平均数为m，把m加入这组数据，得到一组新的数据a1，a2，a3，…，an，m，把新、旧数据的平均数、中位数，众数、方差这四个统计量分别进行比较，一定发生变化的统计量的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．甲乙两地相距8km，下图表示往返于两地的公交车离甲地的距离y（单位：km）与从早晨7：00开始经过的时间x（单位：min）之间的关系．小明早晨7点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇3次，被同向行驶的公交车超越2次，则小明的速度可能是（　　）
A．0.2km/min B．0.15km/min C．0.12km/min D．0.1km/min
二、填空题
7．的相反数是 ，的倒数是 ．
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．分解因式：= ．
10．方程的解是 ．
11．设是方程的两个根，且，则m＝ ．
12．沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该扇形的圆心角的度数为 °．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，M，N分别是边的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是 ．

14．如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．

15．已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值．
16．如图，在中，E是边的中点，连接，若，则对角线的取值范围为 ．

三、解答题
17．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
18．解方程：
19．根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则．
20．如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M．
(1)求证；
(2)若，求的长．
21．疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
(1)此次被调查的学生总人数为 ；
(2)求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
(3)若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
22．贴春联是中华民族的传统文化．不识字的李奶奶不小心将两幅对联弄混了，已知这四张联纸上的文字分别是：①天涯若比邻；②修业勤为贵；③行文意必高；④海内存知己．若他任意取出两张联纸，求这两张联纸恰好组成一副对联的概率．
23．小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了角，即，使光影落在C点正上方的D点，测得cm．求平面镜放置点与墙面的距离．（参考数据：）
24．尺规作图：如图，已知正方形，在边CD上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
25．如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长度．
26．设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
（3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．
27．点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”．
(1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ；
(2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ．
《江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C D D A B
1．B
【详解】解：m=2500×800=2 000 000=2×106吨．
故选B．
2．C
【分析】根据先估算，根据实数的大小比较即可．
【详解】
最接近－π的整数是－3
故选C
【点睛】本题考查了无理数大小估算，掌握实数的性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据矩形的判定定理判定即可．
【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误；
B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误；
C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误；
D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
4．D
【分析】根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根．
【详解】解：A. ，，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故0.2不是0.4的平方根，故该选项不正确，不符合题意；
C.－4没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，故是的平方根，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键．
5．A
【分析】可通过计算两组数据的平均数、众数、中位数、方差，比较得结论．
【详解】解：∵旧数据的平均数为m，则a1+a2+a3+…+an=mn，
∴新数据的平均数为(a1+a2+a3+…+an+m)=(mn+m)=m；
∴新、旧数据的平均数一定不发生改变；
新、旧数据的中位数和众数可能发生改变，也可能不发生改变；
旧数据的方差为s旧=，
新数据的方差为s新=
=，
∴新、旧数据的方差一定发生改变；
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数及方差．掌握求一组数据的平均数、众数、中位数、方差的方法，是解决本题的关键．
6．B
【分析】根据小明途中与甲公交车迎面相遇3次，再利用路程、速度、时间的关系逐一计算比较得出符合题意的选项．
【详解】解：观察图象知，每20分钟发一辆车，同时从乙地发车10分钟后甲公交车出发，
小明途中与甲公交车迎面相遇3次，由图知：第40分钟时，第3辆乙地公交车发车，
∴小明行走时间t<40分钟，
∵(km/min) ，故选项A不符合题意；
当v=0.15 km/min时，(min)，
从图上看min时甲到乙发车3辆，乙到甲发车2辆，故选项B符合题意；
当v=0.12 km/min时，(min)，
从图上看min时第4辆车已经发车，故选项C不符合题意；
∵0.12>0.1，∴选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了速度、时间、路程三者之间的关系，正确理解小明途中与甲公交车迎面相遇3次是解本题的关键．
7．
【分析】根据相反数与倒数的定义即可求解．
【详解】解：的相反数是，的倒数是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数．
8．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
9．a（b+1）（b﹣1）
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
10．
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：
经检验：是原方程的根．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验.
11．2
【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
∵，
∴．
故答案为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
12．
【分析】根据圆锥的底面圆的半径为得到扇形的弧长，再利用弧长公式即可解答．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为，
∴圆锥的底面圆周长为：，
∴扇形的弧长，
∵圆锥的母线长为，
∴扇形的半径为，
∴设扇形的圆心角为，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了弧长公式，圆的周长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．
13．
【详解】过点轴交与点E
∵M，N分别是边的中点，且点M，N的纵坐标分别是3，2
∴，点C的纵坐标是4，即
又∵菱形
∴
在中，
∴点B的坐标

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理求直角边，熟练掌握相关知识点是解题关键
14．105
【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴
∵四边形是正方形，
∴
连接，，如图，

则是等边三角形，
∴
∴
∴四边形是菱形，，
∴
∴，
故答案为：105．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
15．2
【分析】先求出顶点坐标，再根据，，，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：∵函数的顶点坐标为：，
①当，即时，y在处取最小值，
即，
∴，
②当，即时，y在处取最小值，
即，
∵当时，，
∴，即，
③当，即时，y在处取最小值，
即，
∴，
综上所述，a的最大值为0，此时，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．
【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，，在的外接圆上运动，且满足，连接，，可得，证明为等边三角形，可得，直接，过作于，可得，，，当过点，且在的右边时，最长，当在的左边时，最短，可得最长时为，最短时为：．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，

∴，即，
∵，，为中点，
∴，，，，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴在的外接圆上运动，且满足，
连接，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，直接，
过作于，
∴，，
∴，
当过点，且在的右边时，最长，当在的左边时，最短，
∴最长时为，最短时为：；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，求解一点与圆上距离的最值，作出正确的辅助线是解本题的关键．
17．1≤x＜3
【分析】先分别求解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x≥1．
所以，不等式组的解集是1≤x＜3．
它的解集在数轴上表示出来为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组合在数轴上表示解集，正确求得不等式组的解集是解答本题的关键．
18．
【分析】原方程两边同乘以（x-1）得整式方程，解整式方程，最后进行检验即可．
【详解】两边都乘以，得：
经检验，是原方程的解
∴原方程的解为：
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分工方程一定要注意验根．
19．见解析
【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论．
【详解】证明：
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明直线是的垂直平分线即可．
（2）先证明，再判定，证明即可．
【详解】（1）∵，垂足为H，且，
∴ 是的垂直平分线．
∴ ．
∴．
（2）∵ ，，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)100
(2)，见解析
(3)100
【分析】（1）用类型B的人数除以类型B所占的百分比，即可求解；
（2）先求出类型A所占的百分比，可得类型C所占的百分比，继而得到类型C的扇形的圆心角，类型C的七（2）班的人数，即可求解；
（3）用1000乘以类型C所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：此次被调查的学生总人数为人；
故答案为：100
（2）解：根据题意得：类型A所占的百分比为，
∴类型C所占的百分比为，
∴类型C的扇形的圆心角为，
∴类型C的七（2）班的人数为人，
补全折线图，如下：
（3）解：根据题意得：该校七年级学生中类型C学生人数约有：
人．
【点睛】本题主要考查了折线统计图：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了样本估计总体和扇形统计图．
22．．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两张联纸恰好组成一副对联的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中这两张联纸恰好组成一副对联的有4种结果，
所以这两张联纸恰好组成一副对联的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．cm
【分析】先求出的度数，设，分别解，用表示出，再利用，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，
．
设cm，则cm．
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
解得：．
因此，平面镜放置点与墙面的距离是cm．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数，以及平面镜与两条光线形成的夹角相等，是解题的关键．
24．见解析
【分析】作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，以B为圆心，为半径作弧交于点G，作平分交于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）连接，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，得出，最后根据，即可得出结论；
（2）过点O作，垂足为H，可得，再由平行线的性质得出，再证明，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）连接．
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵于E，
∴．
∴．
∴．
又∵是半径，
∴是⊙O的切线．
（2）过点O作，垂足为H．
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．（1）二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）y=3x2﹣2x﹣1（3）a＞0
【分析】（1）先判断，根据二次函数与轴交点个数与的关系得到交点的个数为个或2个.
（2）由于当时，所以C点不在该二次函数图象上;然后将A，B两点坐标分别代入二次函数解析式，得到方程组，然后求得和的值，即可求出二次函数解析式．
（3）将代入该二次函数解析式，得到 用减去消掉，再由，即可求得
【详解】（1）设y=0
∴0=ax2+bx﹣（a+b）
∵△=b2﹣4 a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0
∴抛物线不经过点C
把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得
解得
∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1
（3）当x=2时
m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①
∵a+b＜0
∴﹣a﹣b＞0②
①②相加得：
2a＞0
∴a＞0
【点睛】考查本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.
27．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，，进行分析判断；
（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得．
【详解】（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4．
，，
故答案为：．
（2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标．
由题意得 ．
①当时，．
∴．
②当时，．
∴（不合题意，舍）．
③当时，．
∴．
∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，．
（3）解：设“垂距点”的坐标为，则
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形，
∴
当过点时，上不存在“垂距点”，
此时
∴若存在“垂距点”，则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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